Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 59

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

^1   _ 2~ -

р1- р2 р1- р2

Отже, А1 = 1,006, А2 =-6 -10-3, g ) = 1,006е"

Графік перехідної характеристики побудовано на рис.7.7,а. Аналіз графіку по­казує, що форма кривої обумовлена тільки впливом складової А1еР11. Це пов'язано зі співвідношенням між опором елемента В та опором заземлення: Яз<< Яь. Якщо зна­чення цих опорів будуть сумірні, форма та швидкість зменшення кривої g ) зміню­ватимуться. Як приклад, на рис.7.7показаний графік за умови Яз = Яь = 1000 Ом .

ё (і)

1,0 0,5 Ч

10-10

2-Ю"

-10

3-10-10 с

0

10-8

210"

-8

а б

Рисунок 7.7 - Графіки перехідних характеристик у прикладі 7.3

3-10-8 1- с

7.2 Імпульсна характеристика кола

є дельта-функція 8(ґ)

Для імпульсної характеристики типовою дією

(функція Дірака2, або одиничний імпульс). Спрощено 5) можно записати так:

Г0  при ґ ф 0;       » +.° 5) Ч і5(ґ=[5)& = 1. (7.17)

Про дельта-функцію, враховуючи запис (7.17), є жартівливе висловлю­вання - «до нуля її ще немає, а після нуля її вже немає». Рівність площі дельта-функції одиниці обумовила ще одну з її назв - одиничний імпульс.

Дельта-функцію, подібно одиничній функції, можна подати аналітично як

0

0

2

Дірак Поль Адрієн Моріс, Бігас (1902-1984) - англійський фізик, член Лондонської королівської спілки. Очолював кафедру в Кембріджському університеті, яку у свій час займав І. Ньютон. Один із засновників квантової механіки. Сформулю­вав закони статичної механіки системи електронів. Побудував релятивістську теорію руху електронів, застосував у квантовій механіці теорію відносності. Лауреат Нобелівської премії (1933) спільно з Шредингером за створення нових, плідних варіантів квантової теорії. Увів у математичну фізику названі його ім'ям: функцію 5(ґ), рівняння (Дірака-Лоренца), матриці.границю спеціальних функцій Ф(ґ, Аґ) часу і параметра Аґ, які мають одиничну площу:

да

5(ґ) = Шп Ф(ґ, Аґ);    [ Ф(ґ, Аґ)<<ґ = 1. (7.18)

АҐ -да

Прикладами таких функций є (рис.7.8, а, б):

1/Аґ при |ґ| < Аґ /2; 0  при |ґ| >Аґ /2;

Фі(ґ, Аґ)

Ф2(ґ, Аґ)

Аґ

змінної х, при якому дельта-функція прямує до нескінченності. Фі(ґ, Аґ) і

а

0

1/Аґ

8(ґ

8(ґ - ґо)І

(7.19)

(7.20)

Ф2(ґ, Аґ) '

(

 

1/ (пАґ)

1/(2пАґУ у

 

 

 

 

б

0

2Аґ ґ

ґ

0

ґ

0

Рисунок 7.8 - До визначення поняття дельта-функції: а, б - приклади функцій, що прямують до дельта-функції; в, г - умовне графічне зображення дельта-функції

ґ

в

г

Графічно дельта-функція зображається по-різному, наприклад, як показа­но на рис.7.8, в. На рис.7.8, г дельта-функція 8(ґ - ґ0) зсунута за часом на ґ0.

Із формули (7.18) виходить так звана фільтрувальна властивість 8(ґ):

оооо

і у(х)^(х)<х =у(0);   і у(х)8 - ґ)<Х (ґ), (7.21)

—да -да

тобто дельта-функція як співмножник функції у(х) визначає інтеграл як величину у(х) для того значення змінної х, за якого дельта-функція прямує до нескінченності.

Дельта-функція  8(ґ)   належить до класу узагальнених функцій, які

дорівнюють нулю поза деякої обмеженої області змінної та мають неперервні похідні усіх порядків. У нестрогій формі ці функції спочатку були застосовані у фізиці (Дірак). Вперше строгі обгрунтування узагальнених функцій зробив

СЛ. Соболев3.

Порівняння, відповідно, виразів (7.1) з (7.19), (7.2) з (7.20) і графіків , А/) і Ф1(/, А/), ^2(/, А/) і Ф2(/, А/) показує, що:

д/ д/ Тому аналогічно пов'язані дельта-функція та одинична функція:

8(/) = 4^ =    ), (7.22)

звідки виходить, що

1(/) = |б(х)Шх. (7.23)

—да

Вельми важливе співвідношення (7.22) можна обгрунтувати інакше, якщо подати прямокутний імпульс Ф1(/,Л/) (рис.7.8, а) за допомогою двох одинич­них функцій (рис.7.9) та зробити граничний перехід до 8(/):

Ф(/, Л/) = 1(/ + Л/ /2) 1(/ — А/ /2) = 1(/ + Л//2) 1(/ — А//2) = Л[1(/)]; (7 24) 1 ' А/ А/ А/ А/   ' '

8(/) = Шп Ф1(/,Л/) = Шп 1 = 4^ = ).

Імпульсна характеристика пасивного ЛЕК чисельно дорівнює відгуку на дію джерела типу дельта-функції за нульових початкових умов. Імпульсну ха­рактеристику позначають Н(/).

Нескінченна потужність функції 8(/) при / = 0 призводить до порушення

законів комутації. Пов'язано це з тим, що у момент часу / = 0 внаслідок дії дельта-функції через незаряджені ємності (ис (0) = 0) протікатимуть струми, а

до розімкнених індуктивностей (і1 (—0) = 0) прикладатимуться напруги, про­порційні 8(/). В результаті початкові значення у колі стануть ненульовими:

1 +о к 1 +о к

ис (+0) = - \кс 8(/)Ш/ = -С- ф 0; іь (+0) = - \^ь 8(/)Ш/ =      ф 0,

де к с с), ки^ с) - розмірні коефіцієнти відповідно для струмів у

ємностях і напруг на індуктивностях у момент часу / = 0.

Вимушені складові відгуків кіл при дії дельта-функції дорівнюють нулю, оскільки 8(/) = 0 при / ф 0.

Соболєв Сергій Львович (1908-1989) - видатний математик, академік. Народився у Петербурзі. З 1957 р. - директор інституту математики Сибірського відділення АН СРСР. Основні праці належать до динаміки твердого тіла і математичної фізики. Вперше (19З6) строго визначив узагальнені функції, за допомогою яких розглянув де­які крайові задачі для рівнянь з частинними похідними. Зробив внесок у розвиток об­числювальної математики та впровадження електронно-обчислювальної техніки.

Отже, імпульсні характеристики фізично відповідають вільним процесам у колі (рис.7.10) за рахунок запасу енер­гії, яку ємності та індуктивності миттєво накопичують від вхідного джерела на­пруги (рис .7.10, а) або струму (рис.7.10, б) типу дельта-функції.

Щоб експериментально визначити імпульсні характеристики, до входу кіл вмикають генератори імпульсів з трива-

1/М

-*г-

Ф1(і, Аґ) 1(; + д/ /2)

1(ґ /2)

Рисунок 7.9 - Подання Фі (ґ, Аґ) двома одиничними функціями

лістю тг значно меншою, ніж часові параметри кіл (у колах першого порядку тг <<т; у коливальних колах другого порядку хі << Твм = 2л/ювм). За допомо­гою осцилографа на виході кола досліджують вільні процеси, пропорційні И(і).

єЦ )=5(ґ)

а

пс (0-) = 0 Іь (0-) = 0 ис (0+) ф 0 іь (0+) ф 0

і'вих (ґ) ивих (ґ) і/^Ч

-04

б

ис (0-) = 0 іь (0-) = 0 ис (0+) ф 0

іь (0+) ф 0

ивих (ґ)

Рисунок 7.10 ■

Фізичне трактування імпульсної характеристики як вільного процесу у колі

Розмірність і методика розрахунку імпульсної характеристики обумовлені її зв'язком з перехідною характеристикою. Щоб встановити цей зв'язок, вико­ристовують подання Ф1(ґ, Аґ) за допомогою двох одиничних функцій (7.24) та

принцип накладання.

Якщо увімкнути до входу кола джерело з миттєвим значенням Ф1 , Аґ),

відгук кола можна описати приблизним виразом для імпульсної характеристики к , Аґ), який записують на підставі принципу накладання за допомогою пе­рехідної характеристики цього кола у вигляді:

g + Аґ /2) - g /2)        )]

к , А)

Імпульсна характеристика є границею виразу (7.25):

к(ґ) = Шп ~(ґ, Аґ) = Шп = ^ = g'{і).

(7.25)

(7.26)

Співвідношення (7.26) показує, що імпульсна характеристика кола є похідною перехідної характеристики, а розмірність імпульсної характеристи­ки дорівнює розмірності перехідної характеристики, поділеної на секунду. То­му розмірностями к(ґ) можуть бути 1/с, Ом/с, См/с.

З виразу (7.26) виходить також зв'язок перехідної характеристики з імпульсною характеристикою:

g(ґ) = І к(х)Іх.

(7.27)

Формально, на підставі принципу накладання вирази (7.26) і (7.27) вихо­дять з аналогічних співвідношень (7.22) і (7.23) для 5(ґ) та 1(ґ).

Співвідношення (7.26) широко застосовують для визначення імпульсної характеристики, коли перехідна характеристика вже знайдена класичним мето­дом. При цьому, щоб уникнути помилок, необхідно записувати перехідну ха­рактеристику у вигляді (див. приклад 7.1):

g(ґ) = gанал(ґ) 1(1), (7.28)

де gанал(ґ) - аналітичний вираз g(ґ) при ґ > 0 (у прикладі 7.1 аналітичні вирази для gil ), gJ.2 ), giс ), guс ) взяті у квадратні дужки).

Враховуючи співвідношення (7.28), результат диференціювання пе­рехідної характеристики становитиме:

анал

= gанал) 1(ґ) + gанал(+0) ■ 5(*). (7.29)

Якщо gанал (+0) = 0, то імпульсна характеристика не містить дельто­подібного доданку.

Приклад 7.4. Визначити та побудувати імпульсні характеристики кола (рис.7.4), вважаючи дією е(ґ), а відгуками - і1 ), г'2 ), С ) та ис ).

Розв 'язання. Скористаємось знайденими у прикладі 7.1 перехідними характери­стиками даного кола gil ), gІ2 ), giс ), guс ) та виразами (7.28) і (7.29):

7      /   Ч І

кя(ґ >-т

Я2е

-і/т

+

1

- ґ/т

1

Я + ^2

1(ґ)

1(ґ)

ґ

ТЯ1( Я1 + Я)

1

1(ґ) + ±5(ґ); (7.30)

Ял

т(Я1 + Я)

7        /   Ч І

Я1

1(ґ)

тЯ1 Я,

(7.31)

(7.32)

1

7 /   Ч І

Я2

І 1 Я1 + Я2

Я2

/т

т(Я1 + Я2)

1(ґ). (7.33)

— 00

Імпульсні характеристики ка(і), Иі2(ґ), Иіс ) мають розмірності См/с, а ха­рактеристика кис ) - 1/с. Побудуємо графіки імпульсних характеристик (рис.7.11).

0

СЛ12

2(І )

1

-8(і)

СД1Д2

0

0

Д + Д2

1/СД

Д

-8(і)

0

Рисунок 7.11 - Графіки імпульсних характеристик у прикладі 7.4

7.3 Часові характеристики типових кіл я, ь; я, с; я, ь, с

Кола першого порядку (Д, Ь; Д, С) застосовують як міжкаскадні розділові кола, диференціювальні та інтегрувальні ланки, прості фільтри та ін.

До типових кіл Д, Ь; Д, С також належать кола, які є подільниками напру­ги (рис.7.12, а, б і 7.13, а, б) або струму (рис.7.12, в, г і 7.13, в, г). Діями та відгуками у подільників напруги є напруги, а у подільників струму - струми. Умовно такі кола поділяють на дві групи (рис.7.12 і 7.13), до кожної з яких вхо­дять кола з однотипними часовими і частотними характеристиками. Одно­типність характеристик пояснюється дуальністю кіл кожної групи.

Типовими колами Д, Ь, С вважають також одиночні послідовний і пара­лельний резонансні контури.

7.3.1 Характеристики кіл Я, ь; я, с першої групи

У перехідних характеристик кіл першої групи (рис.7.12) вимушене і по­чаткове значення дорівнюють відповідно: gвм 1 = 1; ^1(0+) = 0 .

1

1

і

і

1

і

Д

С

о-о-

а

ивих (і) = = иС (і)

Ь

Д

ивих (і) = = иД )

б

С

в

о-

І І

івих(і)= °івх (І)     1     I, івих (і) = іЬ )

= ІД ) Д

Д

г

о-

І

Рисунок 7.12 - Схеми кіл Д, С; Д, Ь першої групи

При цьому сталу інтегрування і загальний вираз для перехідних характе­ристик кіл першої групи визначають за формулами:

А1 = 81(+0) - 8вм1 = -1;

81) = [8вл1(*) + 8вм1 ]1(*) = (А* */Т +1)1(*) = (1 -е-*/т)1(і), (7.34) де т - сталі часу кіл, які становлять тС = ДС для кіл Д, С (рис.7.12, а, в) і тЬ = Ь/ Д - для кіл Д, Ь (рис.7.12, б, г).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації