Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

я0-3

я0-2 я0-3 я0-1

(2.4)

я3-1 = я0-1 + я0-3 +—--.

я0 - 2

Я3-1

1 о-

Я1-2

ч2

Я*3-1

Я1-2

2

3

Я2-3

Т

а 6 Рисунок 2.5 - З'єднання опорів у вигляді: а - "трикутника"; 6 - П-схеми

1

Я0-1

Я*0-3

Я*0-1 Я*0-2

!„0!

Я*0-2

ІО

3

Я)-3

2

Рисунок 2.6 - З'єднання опорів у вигляді: а - "зірки"; 6 - Т-схеми

Зазначимо, що розглянуті вище еквівалентні перетворення можна засто­совувати тільки для пасивних ділянок кола, які не мають джерел. Використання еквівалентого перетворення (2.3) розглянуто нижче у прикладі 2.4.

2.2.4 Еквівалентні перетворення джерел

Умови еквівалентності реальних джерел напруги і струму можна отрима­ти за умови еквівалентності двох однакових режимів у зовнішніх колах цих джерел. Найпростішими режимами є режим холостого ходу (рис.2.7), коли на­пруги их х на розімкнених затискачах джерел однакові, і режим короткого за­микання (рис.2.8), коли струми /кз при замкнених затискачах джерел дорівнюють один одному.

3

я;

их.х

их.х

-^к.з

Рисунок 2.7 - Режим холостого ходу еквівалентних джерел

Рисунок 2.8 - Режим короткого замикання еквівалентних джерел

З умови еквівалентності режимів холостого ходу і короткого замикання відповідно виходять два рівняння:

Е =      дж;       Е1 Яі = /дж , (2.5) звідки випливає рівність внутрішніх опорів еквівалентних джерел:

Я = ЯІ = Яі . (2.6) З урахуванням співвідношення (2.6) рівняння (2.5) матимуть вигляд:

е = Я/дж; (2.7)

Ідж = Е / Яі. (2.8) Формули (2.6) - (2.8) дозволяють сформулювати умови еквівалентності реальних джерел:

1) внутрішні опори еквівалентних джерел напруги і струму однакові;

2) ЕРС джерела напруги дорівнює напрузі холостого ходу еквівалентного джерела струму;

3) струм джерела струму дорівнює струму короткого замикання еквівалентного джерела напруги.

Другу з цих умов використовують, еквівалентно замінюючи реальне дже­рело струму на джерело напруги, а трету - під час заміни реального джерела напруги на джерело струму.

Перетворення реальних джерел, крім безпосереднього використання для аналізу кіл методом еквівалентних перетворень, застосовують у таких випад­ках: для обгрунтування деяких прийомів еквівалентних перетворень, наприклад для перетворення паралельно сполучених реальних джерел напруги і послідовно сполучених реальних джерел струму (табл.2.1); на підготовчих ета­пах деяких методів, коли всі джерела необхідно подати у вигляді джерел напру­ги або у вигляді джерел струму; у методі еквівалентного генератора, який роз­глядатиметься нижче у підрозд. 2.6.

Ідеальні джерела напруги і струму не можуть бути еквівалентно перетво­рені безпосередньо. Для перетворення схем з ідеальними джерелами викори­стовують прийоми їх еквівалентних перенесень, що дозволяє замінити одне з таких ідеальних джерел двома або більше реальними джерелами. Приклади та­ких перетворень показано на рис.2.9, 2.10. При перенесенні ідеальних джерел вихідні рівняння для контурів або вузлів, складені за законами Кірхгофа, не змінюються.

Щоб перенести ідеальне джерело напруги (рис.2.9, а), послідовно з ним вмикають таке саме ідеальне джерело, але з протилежним напрямом (рис.2.9, 6). При цьому, щоб зберегти рівняння, складені згідно з другим зако­ном Кірхгофа, у відповідні вітки контурів К1, К2, К3 додають такі ж ідеальні

джерела (рис.2.9, 6). Далі схема може бути спрощена об'єднанням вузлів 1,2 в один вузол, оскільки напруга між цими вузлами дорівнює нулю. У перетвореній схемі (рис.2.9, в) відсутні ідеальні джерела напруги.

3 3 3

Рисунок 2.10 - Еквівалентне перетворення ділянки кола з ідеальним джерелом струму

У разі перенесення ідеального джерела струму (рис.2.10, а) паралельно з ним вмикається таке саме ідеальне джерело струму з протилежним напрямком, а для дотримання рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа, паралельно вузлам схеми (відповідно 1-2 і 2-3) вмикаються такі ж ідеальні джерела (рис.2.10, 6). Два паралельно увімкнених і протилежно спрямованих ідеальних джерела струму компенсують одне одного, і тому їх можна виключити. Внаслідок цього схема виглядатиме, як на рис.2.10, в. В отриманій схемі відсутні ідеальні джерела струму.

На закінчення розглянемо приклад, в якому використовуються основні прийоми еквівалентних перетворень.

Приклад 2.4. Використовуючи методи еквівалентних перетворень, визначити струм /5 у колі (рис.2.11).

Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.


 

Т

 

 

 

і:

 

 

Я8

Рисунок 2.11 - До прикладу 2.4

Розв 'язання. Спочатку перетворимо «трикутник», що складається з опорів Яб, Я7, в еквівалентну «зірку» Я0-1, 2, Я0-3 і перенесемо ідеальне джерело струму (рис.2.12).

Я0-1

2 Я0-2

Я0-3

Т3

Рисунок 2.12 - До прикладу 2.4

Далі еквівалентно перетворимо реальні джерела струму і послідовно увімкнені елементи (рис.2.13, а):

Яе1 = Я1 + Я3 + Я0-1; Яе2 = Я4 + Я0-2 ;     Яе3 = Я2 + Я0-3 .

а

Є

Яе1

Ее4 Яе4

Ее2 Яе2

Є

Ее3        Я5 Яе3

0

6

\Я5 -

/5

Рисунок 2.13 -До прикладу 2.4

3

1

Замінимо паралельно увімкнені реальні джерела напруги (Ее1, і?е1; Е2, Яе2)

одним джерелом з параметрами:

Ее 4 =

V Яе1     Яе2 У

Яе4 ;     Яе4 =

Яе1Яе 2

Яе1 + Яе 2

Визначимо шуканий струм в отриманій одноконтурній схемі (рис.2.13, б):

І5 _

Е

де Ее = Ее3 _ Ее4; Яе _ ^е3 + Я<

е4

У даному прикладі для окремого випадку показано, що стосовно одного з опорів Я5 іншу частину кола можна еквівалентно замінити реальним джерелом

з параметрами Ее і Я . Така заміна є основою методу еквівалентного генерато­ра (підрозд. 2.6).

Прийоми еквівалентних перетворень зведено до табл. 2.1.

Таблиця 2.1 _ Прийоми еквівалентних перетворень

Вид перетворення

Вихідна схема

Еквівалентна схема

Розрахункові формули

Послідовне з'єднання

 

 

п к=1

Паралельне з'єднання

 

о—

Ое

о—

в

п

к=1

«Трикутник» -«Зірка»

3         Я2-3 2^°

 

Я0-2

Ям =

Я[_2 + Я2_3 + Я3_1

Я2_3Я1_2 Я1_2 + Я2_3 + Я3_1

Я1_2 + Я2_3 + Я3_1

«Зірка» -«Трикутник»

Я0-1

3         Я2-з

Я0_3

п    _п      ,п     , Я0_2Я0_3 Я0_1

Я3_1=Я0_1+Я0_3 1 „

Я0_2

Закінчення табл. 2.1

Вид перетворення

Заміна джерела струму джерелом напруги

Заміна

джерела

напруги

джерелом

струму

Заміна

паралельно

з'єднаних

джерел

напруги

одним

джерелом

Заміна

послідовно з'єднаних джерел струму одним джере­лом

Вихідна схема

І

и

1

Яг I

Е и

Оп

Е

1

Я1

Яг

1 Ідж1

Ідж2

Іджп

Еквівалентна схема

Яг І

Е и

Розрахункові формули

Е _ 1 дж/0г Яг _ V О,

1

 

 

Ідж _ Ог _ 1/ Яг

(ф)Ідж

Ог и

ТГ -

 

-™-

 

С

о

Ое

п

X 0кЕк

Ее _ к _1

п

X Ок

к _1

(алгебраїчна сума)

п

0е _ X 0к

к _1

І

-'дже

І дже

п

X ЯкІджк _ к_1_

п

X Як

к _1

(алгебраїчна сума) Яе _ XX Як

к _1

2.3 Метод рівнянь Кірхгофа

Метод рівнянь Кірхгофа полягає у складанні необхідної і достатньої кіль­кості рівнянь за першим і другим законами Кірхгофа і подальшому їх розв'язанні.

Якщо скласти рівняння за першим законом Кірхгофа для всіх вузлів схе­ми, то в отриману систему рівнянь (за умови вибору одного і того ж правилазнаків) кожний з струмів увійде двічі, але з різними знаками. Тому сума скла­дених рівнянь буде дорівнювати нулю, а це означає, що система рівнянь є за­лежною. Наприклад, для кола (рис.2.14), система рівнянь за першим законом Кірхгофа, складена для всіх вузлів за одним і тим же правилом знаків (струми, направлені до вузла, входять у рівняння зі знаком плюс, а струми, направлені від вузла, - зі знаком мінус), має вигляд:

для вузла 1 для вузла 2 для вузла 3 для вузла 4 для вузла 5 _/і _/5        = 0;

_/б 2 = 0; 2 з 7 = 0; Із 4 8 = 0;

І5 б 7 8 = 0.

(2.9)

К

Іі

2 І2

-«­І б

Яб

Я2

Сума лівих частин всіх рівнянь в отриманій системі (2.9) дорівнює нулю, а сума рівнянь для будь-кого з чотирьох вузлів призводить до рівняння для виключеного п'ятого вузла. Це означає, що кількість не-

залежних рівнянь  N : з к

N з к, складених

згідно з першим законом Кірхгофа, на одиницю менша кількості вузлів схеми N

вз'

N

I З.К

N

вз

1.

Рисунок 2.14 - Схема кола для обгрунтування методу рівнянь Кірхгофа

кількості   невідомих  струмів, що

З.К + #П З.К = ^.

Кількість контурів Ад 3 К, необхідна

для складання рівнянь згідно з дру­гим законом Кірхгофа, має допов­нювати кількість рівнянь NI з к до

дорівнює  кількості   віток   , тобто

Кількість незалежних Кірхгофа, становить:

NII3 К = Ав - N

рівнянь,  які  складають  за другим законом

Ав - Nвз +1.

II 3.К-ІУв_і Ч 3.К-ІУв_ (Авз - 1)    ^'вз

Рівняння за другим законом Кірхгофа необхідно складати для так званих незалежних контурів.

Вибір незалежних контурів у загальному випадку є неоднозначною зада­чею. Незалежні контури мають відрізнятися один від одного хоча б однією віткою.      Наприклад      чотири      контури,      вказані      на рис.2.14

(N

II З.К

Nв - N

I З.К

8 - 4 = 4), є незалежними.

Для вибраних на рис.2.14 контурів (К1... К4) і напрямів обходу в них сис­тема рівнянь за другим законом Кірхгофа матиме вигляд:для контуру К1 (1-2-5-1) Я111 + Яб Іб _ Я5 І5 = Е1;

для контуру К2 (2-3-5-2) 2 І2 _ Я7 І7 _ Яб Іб = Е2;

для контуру Кз (3-4-5-3) Яз Із _ #8 І8+ Я7 І7 = Ез;

для контуру К4 (1-5-4-1) Я5 І5 + Я8 І8 _ Я4 І4 = _Е4.

(2.10)

Розв'язуючи спільну систему рівнянь, що складається з (2.9) без рівняння для вузла 5 і (2.10), можна знайти всі або необхідну частину струмів даного ко­ла.

Для запису і розв'язання систем рівнянь за методом рівнянь Кірхгофа можна використовувати прийоми матричної алгебри. Для цього доданки у рівняннях спільної системи розташовують в порядку зростання номерів струмів і формально додають відсутні в рівняннях струми з нульовими значеннями співмножників. Для даного прикладу записана у такий спосіб система рівнянь має вигляд:

-11

+ 012

+ 01 з

-14

-15

+ 01 б

+ 017

 

+ 018

=

0;

І1

+12

+ 01 з

+ 014

+ 015

- Іб

+ 017

 

+ 018

=

0;

011

- І2

- Із

+ 014

+ 015

+ 01 б

+ 17

 

+ 018

=

0;

011

+ 012

+1 з

+14

+ 015

+ 01 б

+ 017

 

+18

=

0;

 

+ 012

+ 01 з

+ 014

- Я5І5

+ Яб І б

+ 017

 

+ 8

=

Е1;

1

- Я2І2

+ 01 з

+ 014

+ 015

- ЯбІб

- Я7 І7

+ 8

=

Е2;

 

+ 012

+ Яз І з

+ 014

+ 015

+ 01 б

+ Я717

- Я818 =

Ез;

 

+ 012

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації