Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 60

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Імпульсні   характеристики   кіл   першої   групи   як   результат дифе­ренціювання виразу (7.34) отримують у вигляді:

* [ 81(*) ] = Л [(1 - е~1 /т) ■ 1( і)] = 1

—є т 1(і).

(7.35)

С

о-о-

а

Д

в

о-

X

Д

ивих (і) =

О

Д

Ь

ивих (і) = = иЬ )

б

1 івих (і) = = ІС (*)

_ о-

івих (і) = ІД )

Ь

С

Д       Рисунок 7.13 - Схеми кіл Д, С; Д, Ь другої групи

г

Перехідні характеристики (7.34) безрозмірні, а імпульсні (7.35) - мають розмірність 1/с. Імпульсні характеристики (7.34) не містять дельтоподібного доданку, оскільки 8 анал1(+0) = 0.

Графіки часових характеристик кіл першої групи показані на рис.7.14.

Щоб встановити зв'язок часових і частотних характеристик, оцінити можливості застосування досліджуваних кіл, доцільно розглянути їхні КПФ.

81(і ) 1

0,632| 0

1

0,368

т

0

1        а і

Рисунок 7.14 - Графіки часових характеристик кіл Д, С; Д, Ь першої групи

Для кіл першої групи з елементами Д, С (рис.7.12, а, в), КПФ становлять:

Я/ЛЛ _ — вих _ — вих _1ДС (ю) =

1/ }юС

1

1

—в

вх

Д +1/}юС   1 + }юСД   1 + }ютС

а для кіл з елементів Д, Ь (рис.7.12, б, г):

—Д

_1ДЬ (ю) =

1

1

^вх       Івх      К + ]®Е     1 + / Я)     1 + ]00ть

Оскільки вирази для Н 1ЯС (о) і Н шь (о) однотипні, для КПФ, АЧХ і ФЧХ кіл першої групи можна застосувати однакові формули:

1

1

1 + }Ют     уІ1 + (ют)2

М(ю)

де Н1 (ю)

АЧХ; ф1(ю) = -arсtg ют - ФЧХ; т - сталі часу, які

УІ1 + (ют)2

дорівнюють  Ь для кіл Д, Ь та С для кіл Д, С.

Графіки АЧХ і ФЧХ даних кіл зображені на рис.7.15. Гранична частота СП АЧХ є коренем рівняння

н (    ) 1 1

Н1гр )

0,707,

звідки

1

Югр = - = П1ю ;    тП1ю =1,

(7.36)

де П1ю - СП АЧХ (рис.7.15, а), яка відповідає діапазону частот 0 < о < огр.

Крім слушності співвідношень (7.7) і (7.8) між граничними значеннями gl(t) і Н

§і (») = Ні (у 0) = 1;      gl (+0) = Ні со) = 0, між частотними і часовими характеристиками розглядуваних кіл існує фунда­ментальний зв'язок, який виходить з формули (7.36): чим менша стала часу ко­ла, тим ширша смуга пропускання і навпаки.

х

і

1

0,707

Фі(ю) 0

0

югр=1/т

а

ю

А

югр=1/т

 

\

 

ю

 

 

-—

Г

б

Рисунок 7.15 - Графіки частотних характеристик кіл Я, С; Я, Ь першої групи: а - АЧХ; б - ФЧХ

Особливості часових і частотних характеристик кіл Я, С; Я, Ь першої гру­пи обумовлюють області їх практичного застосування.

Якщо стала часу значно менше часових параметрів дії (наприклад, трива­лості вхідного сигналу), для частотних характеристик це відповідає діапазону частот ю << П1ю = 1/ т (ют << 1). Тоді вхідні та вихідні коливання мають близькі

амплітуди Н1( ю)*1 та початкові фази ф1 (ю)* 0, і тому відгук і дія збігаються,

наприклад, при т — 0:

gl(t) — 1(-); кх(і) — 8(-).

Цей режим відповідає неспотвореній передачі сигналу.

Коли ю >> П1ю = 1/т (ют >> 1), що відповідає більшому (порівняно з часо­вими параметрами дії) значенню сталої часу, АЧХ Н1 (ю)*1 / ю, ФЧХ ф1 (ю)* -ти / 2. При цьому відбувається інтегрування вхідних коливань з

точністю до коефіцієнта 1/ т. Тому кола Я, С; Я, Ь першої групи за умови ют >> 1 називають інтегрувальними.

Виконання операції інтегрування підтверджується розглядом приблизних значень перехідної (7.34) та імпульсної (7.35) характеристик при порівняно ве­ликому значенні т. Розкладаючи в ряд Тейлора ці характеристики поблизу t = +0 і нехтуючи малими величинами вищого порядку, можна записати:

gl(t) = (1 - в*)1(-) =

Н1{ t) = - в- 1( t) = -тт

- - 0,5

т

1 - - + 0,5 т

^2

+.

1(t) *     t) =1 \д{t)сі- .

Отримані приблизні значення g1(t) і к1(-) пропорційні интегралам від

відповідних дій 1(-) та 8(-). Коефіцієнтом пропорційності є множник 1/ т .

Вигляд АЧХ пояснює застосування розглянутих кіл ще як простих ФНЧ. Перевагою таких фільтрів є простота, а недоліком - досить великий коефіцієнтпрямокутності АЧХ порівняно з граничним значенням кпр = 1 для ідеального фільтра. Коефіцієнт прямокутності (див. приклад 5.4) кпр «п1, де

п1 >> л/2 (зазвичай п1 = 10) - рівень відліку для оцінки кпр АЧХ. 7.3.2 Характеристики кіл Я, ь; я, с другої групи

Основні параметри та співвідношення для перехідних характеристик кіл другої групи (рис.7.13) мають вигляд:

£вм 2 = 0; £2(+0) = 1; А2 = £2(+0) - £вм 2 = 1; ) = [£вл2(І) + £вм2] ■ 1(') = (""' + 1) ■ 1(') =      ■ 1(і), (7.37)

де т - сталі часу: тС для кіл Я, С (рис.7.13, а, в); тЬ - для кіл Я, Ь (рис.7.13, б, г).

У результаті диференціювання співвідношення (7.37) отримують вирази для імпульсних характеристик кіл другої групи:

) = = і[е-'М(')] = - і е-,„ ,    ) +    ). (7.38)

Графіки часових характеристик кіл Я, С; Я, Ь другої групи зображені на рис.7.16. Розмірності часових характеристик кіл другої групи такі самі, як і у кіл першої групи. Імпульсні характеристики (7.38) містять дельта-функцію

(рис.7.16, б), оскільки £ анал1(+0) = 1.

1

0,368

0

0

0,368-

а

8(і)

б

Рисунок 7.16 - Графіки часових характеристик кіл Я, С; Я, Ь другої групи

т

т

т

КПФ окремо для кіл Я, С; Я, Ь та загальні для кіл другої групи відповідно описуються виразами:

и вих _ Івих _ Я _    І®СЯ    _    І®ТС .

К 2 ЬС(®) = К 2 ЯЬ М =

У вх    I вх    Я +1/ уйС   1 + ісоСЯ   1 + У»тс

Увих = І вих =     І®Ь     =    У^(Ь / Я)    = І®тЬ

Увх    Івх    Я + 7<уЬ   1 + }(д / Я)   1 + }(д тЬ

Н 2{а>) =

](0т

от

1 + °Т   ^1 + (от)2

де Н2(о) = от/у]і + (от)2 - АЧХ; ф2(со) = п/2- arctgот - ФЧХ; т - сталі часу кіл, які дорівнюють тс або тЬ залежно від типу реактивного елемента. Частотні характеристики кіл Я, С; Я, Ь другої групи показані на рис.7.17. Гранична частота СП АЧХ визначається з рівняння

ОгрТ 1

Н 2((гр )

41 + (Огр Т)2 ^

0,707,

звідки (7.39)

СП даних кіл - П2о (рис.7.17, а) відповідає діапазону частот огр <

о < да.

Рівність (7.39) означає, що чим менша стала часу кола, тим більша гра­нична частота смуги пропускання і навпаки.

Н 2(о)

1

0,707

0

согр =1/т

0

согр =1/т

а

б

Рисунок 7.17 - Графіки АЧХ (а) та ФЧХ (б) кіл Я, С; Я, Ь другої групи

Для розглядуваних кіл співвідношення (7.7) і (7.8) між граничними зна­ченнями 8 2(') і Н 2(о) становлять:

8 2 (да) = Н 2 (] 0) = 0; 8 2 (+0) = Н 2 (уда) = 1.

Неспотвореній передачі сигналу через дані кола відповідає режим, коли стала часу значно більша часових параметрів дії (наприклад, тривалості вхідного сигналу). Цей режим означає роботу в діапазоні частот о >> огр = 1/ т ,

для яких Н2 ( о) «1, ф2 (о) « 0. Тому вхідні та вихідні коливання мають майже

однакові амплітуди та початкові фази, а отже, відгук та дія однакові. При т да часові характеристики (7.37), (7.38) збігаються з дією:

8 г($ ) —1('); п2(і) — §('). При малій величині  т  порівняно з часовими параметрами дії, що відповідає частотам о << со   = 1/ т , кола другої групи виконують операцію ди­ференціювання дії. У цьому режимі частотні характеристики мають приблизні значення Н 2( со) « сот, ер 2(со) «тс /2, що з точністю до коефіцієнта т відповідає

диференціюванню вхідних коливань. Зокрема при т — 0, перехідна характери­стика (рис.7.16, а) прямує до нескінченно короткого імпульсу, який є аналогом дельта-функції, тобто похідною від прикладеної на вході одиничної функції.

Розглянуті кола, як і кола першої групи, застосовують також як прості фільтри, однак іншого типу - ФВЧ, властивості яких аналогічні властивостям фільтрів на основі кіл першої групи.

7.3.3 Часові характеристики типових кіл я, ь, с

Кола другого порядку К, і, С зазвичай використовують як смугові фільтри та узгоджувальні ланки. Такі кола реалізують у вигляді одиночних послідовного і паралельного контурів (див. розд.4).

Щоб спростити аналіз часових характеристик одиночних контурів, можна обмежитись розглядом двох дуальних схем (рис.7.18). Одна з схем (рис.7.18, а) є традиційною схемою заміщення послідовного контуру, а інша (рис.7.18, б) -одним з варіантів схеми заміщення паралельного контуру, в якій втрати в ко­тушці та конденсаторі перераховані в один паралельно увімкнений опір Я2 .

У першій схемі (рис.7.18, а) дією ивх(ґ) і відгуками ивих     = иС(г);

ивих 2(ґ) = иЯ );  ивих3) = иЬ )  є напруги. Дія і відгуки у другій схемі

(рис.7.18, б)  - відповідно  вхідний струм

''вих 1(ґ) = (ґ); ''вих 2(ґ) = (ґ); ''вих 3(ґ) = С (ґ).

Івх (ґ)   та струми у вітках

ивих2(ґ>иК1(ґ) ивих3(ґ)=иЬ ивх ) С ивих1(ґ) ­'вх (Г^ і

и(ґ)

''вих 1(Г )

К2 =

'вих2(ґ)=

С

а б Рисунок 7.18 - Схеми дуальних кіл К, і, С

'вих3(ґ)=

='С(ґ)

Дуальність даних кіл виявляється в однотипності диференціальних рівнянь, складених для ивих 1(г) = ис (ґ) та івих1(0 = і1 (ґ) відповідно у послідовному та паралельному колах.

Перше з рівнянь згідно з співвідношенням (6.59) та з урахуванням прий­нятих позначень має вигляд:

ЖиС(ґ) + ^^мо + иС (ґ) = и вх (ґ) (740)

Ж2      і    Ж       ІС      ІС ' Щоб скласти друге рівняння, використовують перший закон Кірхгофа і співвідношення між миттєвими значеннями струмів і напруги и ) на затиска­чах кола (рис.7.18, б):

С (Г) + 2(Г) + (Г) = ''вх (Г);

и(ґ) = т лк). ' (Г) = и(Г) = і лк). ' (Г) = С ) = ТСа'12(Г). и(Г) =і—ЗГ~; 2(Г)= ~;г~ = 7;--~7~; С(Г) = С~7~ =іС7Т~;

^^Л) + ^^і+їі + '   г) = '   (г); ^2(г) +    1 (г) + Іііц = /вх(Г) (741)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації