Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 62

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

оо

і (р) = | / )е - ріЖ. (8.1)

0

1 Ващенко-Захарченко Михайло Єгорович (1825-1912) - український математик. Народився у Полтавській області, навчався у Київському університеті, потім у Парижі. Монографія «Символічне числення та його застосування до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь» (1862) була однією з перших робіт з операційного числення. Надрукував низку посібників з математики (елементарна геометрія, корот­кий курс теорії визначників, аналітична геометрія та алгебраїчний аналіз).

Лаплас П'єр Сімон, Laplace (1749-1827) - французький математик, фізик і астро­ном, член Паризької, Петербурзької та інших АН. Автор багатьох фундаментальних робіт з математики, експериментальної і математичної фізики та небесної механіки. Розвинув теорію диференціальних рівнянь, теорію ймовірностей, теорію помилок. Займався питаннями теплопровідності, електродинаміки. Запропонував новий метод обчислення орбіт небесних тіл, розробив теорію руху супутників Юпітера, визначив величину стиснення Землі біля полюсів тощо.

Функція дійсної змінної /) називається оригіналом., а відповідна їй функція комплексної змінної і7(р) - зображенням за Лапласом або просто зоб­раженням. До простору оригіналів належать функції, які:

1) мають нульове значення при від'ємних значеннях аргументу: /) = 0, ґ < 0 (з огляду на це, нижня межа інтеграла (8.1) дорівнює нулю, а пе­ретворення (8.1) має назву однобічного);

2) мають обмежене зростання: \/(ґ) <Ме5, де М,а - дійсні додатні ве­личини;

3) належать до кусково-неперервних функцій, котрі зі своїми похідними досить високого порядку є неперервними при всіх значеннях ґ > 0, крім скінченної кількості точок розриву першого роду.

Слід зазначити, що всі дії, які генеруються реальними джерелами, - це функції, що задовольняють наведеним вимогам, тобто належать до простору оригіналів. Відповідність зображення оригіналу позначається: і(р) = Х[/(ґ)] і

є однозначною (X- оператор Лапласа). Функції і(р) утворюють простір зоб­ражень і мають низку властивостей, що полегшує перехід до оригіналу.

8.2 Зображення деяких дій

Нижче розглянуті деякі дії, які описуються простими функціями і часто зустрічаються на практиці. Як і раніше (див. розд.6 і 7), вважається, що кому­тація (перехід кола у нестаціонарний режим) відбувається у момент часу ґ = 0.

Увімкнення до кола джерела постійної напруги чи струму можна описати функцією

/ ) = А 1),

де А - константа, яка залежно від типу джерела вимірюється у вольтах чи амперах; 1) = 1, ґ > 0 - функція Хевісайда.

Зображення функції 1) визначають за формулою (8.1):

оо оо _

Х[1( ґ)] = 11( ґ) ■ е~ рґйґ = \ е~ рґйґ =

-рґ г

р

1р; (8.2)

р

тоді Х[ А Л(ґ)] = А. (8.3)

р

Якщо дією є експоненційний імпульс, оригінал, що йому відповідає, запи­сують як /(ґ) = Ае~а ■ 1(ґ), де А = /(0); коефіцієнт а (одиниця вимірювання

с-1) визначає швидкість спаду імпульсу.

Перетворення Лапласа від цієї функції визначається за формулою:

оо оо

і (р) = | Ае ~аґе~ рґ(їґ = А \ е-(р+а)ґ(їґ

Ае~(р+а)ґ

р + а

А

р + а

0

00

0

а підставі якої можна записати:

Х[ Ає±аі ] = -А-. (8.4) р + а

Ідеалізацією прямокутного імпульсу з тривалістю т, висотою 1 і одинич-

т

ною площею, як показано вище (див. підрозд.7.2), є дельта-функція 8) - оди­ничний імпульс, зображення якої визначається виразом:

оо

Л[8)] = \8)є-р'йі.

0

Добуток двох функцій 8) та є~р відрізнятиметься від нуля тільки при і = 0, оскільки 8) ф 0, якщо і = 0 . Другий множник у цей момент часу стано-

вить є

со

рі

= 1. Тоді Л[8)] = \8) = 1, бо інтеграл від дельта-функції - це

площа, обмежена 8) і віссю і, отже

Л[8)] = 1. (8.5)

Співвідношення для деяких складніших функцій, що належать до просто­ру оригіналів, наведені у табл.8.1.

Таблиця 8.1 - Відповідності зображень і оригіналів

Л / )]

/ )

1

1

8)

2

1/р

1(і)

3

1/р2

і

4

1

рП

- (п = 1,2, ... )

(п -1)!

5

А р ±а

Ає+аі

6

А

р( р + а)

А (1 - є~аі) а

7

А

(р + а)2

Аіє ~аі

8

р + а р + в

8) + (а-в)є "рі

Закінчення табл. 8.1

9

А

(р + а)( р + р)

/   (є"аі - є ) р-а

10

Ар

(р + а)( р + р)

Ар є-аі є-рі) а-р

11

А р СОБ у - Ю БІЙ у

А           2 2

р 2 + Ю

А соб(соі + у)

12

А р БІЙ у + Ю СОБ у

А           2 2 р   + Ю

Абій(юі + у)

13

А(р + 8) СОБ у - Аю бій у (р + 8)2 + ю2

Ає~8і соб(юі + у)

14

А(р + 8) бій у + Аю соб у (р + 8)2 + ю2

Ає~8і БІп(юі + у)

15

А

р[( р + 8)2 + ю2 ]

/2 2

—2-2[1--є    соб(со і - агС^—)]

82+ю2          ю ю

Переходячи від оригіналів до зображень, доцільно використовувати вла­стивості прямого перетворення Лапласа. Більшість з цих властивостей форму­люється у вигляді теорем, наведених у табл.8.2.

Таблиця 8.2 - Властивості перетворення Лапласа

Теорема

Математичне формулювання

1

Лінійності

х[ ±Ак/к )]=£ахп[ /к )]

к=1                 к=1

2

Диференціювання

Х[ ї )] = рХ[ / )] - / (+0); Х[ї(п))] = рпХ[ї(ґ)] - І рп-к/(к0)

к=1

3

Інтегрування

Х[ І / (ґ) йґ ] = Х[(ґ)]

0 р

4

Запізнення

Х[ї(ґ - ґ0)] = Х[ї(ґ)] е"рґ0

5

Згортки

Х[ / (ґ)] Х)] = }/ (т)фт

0

6

Граничні співвідношення, якщо існує Ііт / )

ґ -—г

Ііт рХ[/(ґ)] = Ііт /(ґ)

р -—г                      ґ +0

Ііт рХ[/(ґ)] = Ііт /(ґ)

р —+0                       ґ —о

8.3 Співвідношення між зображеннями струмів і напруг в елементах кола

Опір. Нехай струм ік ), який протікає в опорі, описується функцією, що належить до простору оригіналів, тобто Х[ік )] = Ік (р), тоді

Ік (Р) =\ ік (ґ)є~рй. (8.6)

0

Для зображення напруги ик (р), на підставі закону Ома можна записати:

со со

ик (р) = \ Кік )є~ рґЛ = К \ ік )є~ рґЛ = КІк (р). (8.7) 00

Рівняння (8.7) є операторною формою закону Ома. Отже, зображення на­пруги дорівнює добутку зображення струму і операторного опору, який збігається зі звичайним опором К.

Індуктивність. Якщо напруга і струм в індуктивності - функції часу, які належать до простору оригіналів, їх зображення становитимуть відповідно:

£[Ч )] = иь (р);    £[іь )] = Іь (р).

Миттєве значення струму в індуктивності визначається через миттєве зна­чення напруги и і (ґ):

1 ґ

1

Якщо поділити інтервал інтегрування на два півінтервали: до і після ко­мутації, останній вираз матиме вигляд:

1 +0 1 ґ

1 1 + 0

Щоб знайти струм в індуктивності для ґ > 0, слід врахувати перший дода­нок (частину струму), пропорційний (з коефіцієнтом 1/1) площі, яка обмежена функцією иь (ґ) і віссю часу на півінтервалі (- о ,+0]. Ця постійна величина є струмом в індуктивності у момент комутації і позначається і1 (+0). Тоді

іі (ґ) = іі (+0) +1 і (ґ)Л. (8.8)

1 + 0

Струм і1 (+0) можна вважати струмом постійного джерела струму, який в

момент комутації умовно приєднується до індуктивності. Дію цього джерела враховують функцією і1 (+0) 1(ґ), зображення якої визначають за форму­лою (8.3):

(+0)-1(ґ)] = (8.9)

р

X

1 ґ

і0

■иь (р). (8.10)

Другий доданок у виразі (8.8), тобто зображення тієї частини струму в індуктивності, що змінюється у часі для ґ > 0, можна знайти за теоремою інтегрування (табл.8.2):

рі

З урахуванням співвідношень (8.9) і (8.10) рівність (8.8), перетворена за Лапласом, має вигляд:

Іі (р) = + -1іиі (р). (8.11)

р рі

За нульових початкових умов (іі (-0) = 0) на підставі першого закону ко­мутації іі (-0) = іі (+0) = 0 рівняння (8.11) набуває вигляду:

Іі (р) = ирр). (8.12)

рі

Комплексну величину

(р) = рі (8.13)

називають операторным опором індуктивності.

Рівняння (8.12) є операторною формою закону Ома для індуктивності за нульових початкових умов.

Ємність. Припустимо, що струм  іс)   в ємності має зображення

Х[іс (ґ)] = Іс (р), а напруга ис (ґ) - зображення Х[ис (ґ)] = ис (р). Миттєве зна­чення напруги на ємності становить:

1ґ

с

Якщо поділити інтервал інтегрування на два півінтервали: (-о,+0] та (+ 0, ґ ], тоді

1 +0 1 ґ

ис(ґ) = с \ іс(ґ)л + с 1 іс(ґ^.

с -со с + 0

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації