Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 63

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Тобто напруга на ємності для ґ >+0 складається з двох доданків, перший з яких враховує напругу в момент комутації і дорівнює постійній величині

1 +0

ис (+0) = 1 іс ) аЧ, яка пропорційна площі, обмеженій кривою струму іс ) та

с

віссю ґ на півінтервалі (- о,+0].

Тоді попереднє рівняння записується у вигляді:

1ґ

ис) = ис(+0) + с 1 іс )аґ. (8.14)

с + 0

Напругу ис (+0) можна також вважати напругою на затискачах ідеального джерела напруги, яке умовно приєднується послідовно з ємністю в моменткомутації. Дію цієї напруги на коло для t > 0 враховують функцією ис (+0) • 1(t), зображення якої за формулою (8.3) становить:

Z\uc (t) • 1(t )] =

P

Другий доданок у виразі (8.14) відповідає змінній напрузі на ємності для t > 0 . Ця напруга обумовлена струмом C (t), який належить до простору оригіналів. Згідно з табл.8.2 визначають зображення цього доданку:

Z c о

Ic (P)

pc

Остаточно перетворення за Лапласом виразу (8.14) матиме вигляд:

Uc (P)

uc (+О)

+

1

■Ic (P).

(8.15)

Р рс

Якщо початкові умови нульові: ис (-0) = 0, з урахуванням другого закону комутації ис (+0) = ис (-0) = 0 рівняння (8.15) буде таким:

Uc (P) = -^Ic (P).

Pc (8.16)

Коефіцієнт при зображенні струму у формулі (8.16) називають оператор-ним опором ємності та позначають

1

Pc (8.17)

Вираз (8.16) є операторною формою закону Ома для ємності за нульових початкових умов. Слід зазначити, що операторні опори можна перетворити в комплексні формальною заміною оператора р на 7'со. Функція комплексної змінної р, обернена операторному опору, є операторною провідністю. Форму­ли операторних опорів і провідностей елементів кола наведені у табл.8.3.

Таблиця 8.3 - Операторні опори і провідності

Елемент кола

Операторний опір

Операторна провідність

R

R

G = 1/R

L

ZL (p) = pL

Yl (p) = 1/pL

c

Zc (p) = 1/pc

Yc (P) = Pc

8.4 Операторна форма закону Ома і законів Кірхгофа за нульових початкових умов

На рис.8.1,а зображене коло, утворене послідовним з'єднанням елементів Я, Ь, С, до якого прикладена напруга и(ґ). Функція и(ґ) належить до простору оригіналів.с

■ •

и (і)

і (і) и (і)

с

ь

я

а

—»

Рисунок 8.1 - Послідовне (а) і паралельне (б) з'єднання Я, Ь, с

Для цієї схеми рівняння за другим законом Кірхгофа при і > 0 таке:

и(і) = ия ) + иь ) + ис (і).

У просторі зображень це рівняння згідно з теоремою лінійності (див. табл.8.2, п.1) набуває вигляду:

и (Р) = ия (Р) + иь (р) + Пс (Р). (8.18)

Вираз (8.18) є другим законом Кірхгофа в операторній формі. Якщо вра­хувати співвідношення (8.7), (8.12) і (8.16), за нульових початкових умов:

Гіь (-0) = 0;

ис (-0) = 0

(8.19)

рівняння (8.18) буде таким (оскільки на підставі законів комутації іь (+0) = 0, ис(+0) = 0):

и (р) = ЯІ (р) + рЬІ (р) + ±-1 (р) = I (р )(Я + рЬ +1/рС). (8.20)

рс

Опір, який дорівнює сумі операторних опорів послідовно з'єднаних еле­ментів, є операторним опором кола (рис.8.1,а):

2(р) = Я + рЬ +1/рС. (8.21)

Тоді вираз (8.20) матиме вигляд и (р) = І (р) 2 (р), або

1 (р)=¥\

(8.22)

Формула (8.22) є найзагальнішим записом закону Ома в операторній формі. Її можна використовувати для складного кола при складній дії за нульо­вих початкових умов.

Для паралельного зЛєднання елементів Я, Ь, с (рис.8.1,б) за першим зако­ном Кірхгофа можна записати:

= Я (і) + її (і) + с (і). (8.23) Якщо загальний струм і(і) є складною функцією, яка належить до про­стору оригіналів, враховуючи співвідношення (табл.8.2, п.1) пряме перетворен­ня за Лапласом рівняння (8.23) буде таким:

1 (р) = 1я ( р) + 1ї ( р) + 1с ( р)

(8.24)

Вираз (8.24) є першим законом Кірхгофа в операторній формі. Оскільки з'єднання паралельне, напруга на всіх елементах кола однакова і становить: и ), Х )] = и (р).

Виходячи із співвідношень (8.7), (8.12), (8.16), з огляду на нульові почат­кові умови (8.19), можна записати:

І (р) = и(р) + Ш + и(р), або

Я       рЬ    1/рС

І (р) = и (р)(в +1/рЬ + рС). (8.25) У формулі (8.25) вираз у дужках - це сума операторних провідностей елементів кола (див. табл.8.3), яка утворює операторну провідність кола У(р):

у(р) = в +1/рЬ + рС. (8.26) З огляду на співвідношення (8.26), рівняння (8.25) матиме вигляд:

І (р) = и (р) У (р). (8.27) Рівняння (8.22), (8.27) є законом Ома в операторній формі відносно за­тискачів двополюсника. Залежно від типу джерела, що вмикається до двопо­люсника, відгук в операторній формі визначають через операторні опір або провідність, які встановлюють залежність між зображеннями напруги та стру­му. Операторні опір і провідність двополюсника є оберненими функціями:

У(р)

Отже, при складних діях, тобто у нестаціонарному режимі, коло можна описати рівняннями, складеними за законами Ома і Кірхгофа в операторній формі, які аналогічні відповідним законам у комплексній формі для усталеного режиму при синусоїдній дії. Тому усі методи розрахунку кіл для комплексних амплітуд (або комплексних діючих значень) - метод еквівалентних перетво­рень, накладання, еквівалентного джерела, вузлових напруг тощо - справедливі для зображень струмів і напруг. Елементи кола при цьому визначаються опера-торними опорами або операторними провідностями. Єдине обмеження при застосуванні перелічених методів - наявність нульових початкових умов.

Приклад 8.1. Знайти зображення струму у колі (рис.8.2, а), якщо дією є напру­га и ), причому Х ) ] = и (р).

Розв^язання. Зображення струму визначимо за законом Ома (8.22):

2(р)

де 2 (р) = Я2 +1/ р) - вхідний опір пасивного двополюсника; У1(р) = 1/Я1 + рС = (1 + рЯ1С)/Я1 - операторна провідність паралельно з'єднаних опору Я1 і ємності С .

Після підстановки     р) виходить:

2 (р) = Я2 + = Я1 + Я2 + РЯ\-Я2С (8.29) 2   1 + рЯ1С        1 + рЯ1С

Шукане зображення струму становитиме:

І     = и (р)(1 + рЯС) = и (р)(р +1/СЕ,) Я1 + Я2 + рЯ1Я2С      Я2( р + 1/г) ' де г = СЕ1^2 /(Я + Я2) _ стала часу, яка визначається при замкнених вхідних затискачах двополюсника.

м (і)

С

о-

м (і)

І2

о-

І І

С

Я2

а б

Рисунок 8.2 - Схеми кіл у прикладах: а - 8.1; б - 8.2

Приклад 8.2. Вважаючи відомим зображення напруги, що діє на затискачах двополюсника (рис.8.2, б), визначити зображення Д(р) струму ^(і) у котушці Ьь

яка індуктивно зв'язана з котушкою 7^. Взаємна індуктивність М ; початкові умови

нульові: і1(-0) = 0, і2(—0) = 0.

Розв'язання. Операторний опір індуктивності рЬ отримаємо з комплексного опору 7'соЬ заміною р на _/со. Аналогічно знаходимо операторний опір взаємної індуктивності Хм(р) = рМ (усо) = у'соМ). Після комутації (увімкнення дії) у колі виникають струми, які визначимо методом рівнянь Кірхгофа.

Вважаючи, що існують відповідності: Х[/1(?)] = І1(р), Х[/2(?)] = І2(р), скла­демо рівняння за другим законом Кірхгофа відносно зображень цих струмів, врахува­вши що І3 ) = ^(і) — ^(і) :

І1( р)( Я

+ рЬ1 + -С) -12( р)(-^С т рМ) = и (р),

рС рС

1

1

11( р)(—т т рМ) + і 2( р)( я2 + рЬ2 + —т) = 0.

рС рС

Знак "—" операторного опору взаємної індуктивності відповідає узгодженому увімкненню індуктивно зв'язаних котушок Ь1 і Ь2 (при цьому напруги само- і

взаємоіндукції мають однакові знаки), знак "+" відповідає зустрічному увімкненню. Матрична форма розглянутих рівнянь має вигляд:

Е1 + рЬ1 +

1

1

1

рС

рС

± рМ

рС

± рМ

Е2 + рЬ2 +

рС

І1( р) "

V12( р) у ґи (р) ^

0 (8.31)

1

Розв'язуючи систему (8.31) відносно зображення першого струму, отримуємо:

І(р) =(р)(р2Ь£ + рО?2 +1)_ (8 32)

1       р3С(ЬЬ М2) + р+ Ь+ р(Ье + Сад) + Я + *2 ' ' де Ье = Ь + Ь ± 2М - еквівалентна індуктивність, причому для реальних кіл

завжди виконуються нерівності: Ь1Ь2 М > 0 і Ь1 + Ь2 — 2М > 0.

Отже, у розглянутих прикладах рівняння відносно зображень струмів, на­пруг, ЕРС складаються за законами Ома і Кірхгофа в операторній формі безпо­середньо за схемою кола. Ці рівняння - алгебраїчні, на відміну від рівнянь для оригіналів, які є інтегро-диференціальними. Розв'язок алгебраїчних рівнянь відносно шуканого зображення відгуку - нескладна алгебраїчна задача.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації