Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 64

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Так, у прикладах 8.1 і 8.2, зображення шуканих струмів (8.30), (8.32) ста­новлять добуток зображення дії Х[    ) ] = и (р) і дробово-раціональної функції

(ДРФ) комплексної змінної р, яка визначає передатні властивості кола. Тобто

зображення відгуку Х[/2(і)] утворює функцію комплексної змінної і2(р), яка

також дробово-раціональна:

де Р(р) і 5(р) - поліноми комплексної змінної р, коефіцієнти яких -

дійсні числа, що залежать від параметрів елементів кола, способу з'єднання елементів, а також від зображення дії.

Тобто і2( р) є функцією, складнішою за і1( р), що перетворює перехід до

оригіналу відгуку у найскладніший етап аналізу кола у нестаціонарному режимі операторним методом. Є декілька способів визначення оригіналу відгуку.

8.5 Визначення оригіналу відгуку

Оригінал відгуку можна знайти трьома способами.

Перший спосіб. Необхідно перетворити отримане зображення і2(р) до

вигляду однієї з функцій і7(р), які попередньо розраховані та наведені у

довідкових таблицях, що містять деякі відповідності зображень і оригіналів (див. наприклад, табл.8.1, де зображення записане у лівому стовпчику, а шука­ний оригінал - у тому ж рядку праворуч).

Другий спосіб. Якщо і2(р) - правильний дріб (варіант неправильного

дробу розглядатиметься нижче), його треба розкласти на прості дроби (цей прийом застосовують у математиці при інтегруванні) і, виходячи з властивості лінійності перетворення Лапласа, для кожного простого дробу знайти відповідні оригінали, сума яких і утворить відгук /2 ).

Щоб розкласти і2(р) на прості дроби, слід визначити корені полінома

5( р), тобто розв'язати рівняння:

<2( р) = 0. (8.33) Це дає можливість подати поліном п -то порядку <2(р) у вигляді:

Є(р) = Ьп (р - р1)(р - р2) - (р - рп ).

де Ьп - коефіцієнт при р у найвищому степені.

Якщо поліном <2( р) має прості корені, вони обов'язково будуть дійсними

від'ємними числами рк =-оск (у цьому можна переконатись, розв'язуючи

рівняння (8.30), (8.32), нижче це буде обгрунтовано). Тоді зображення відгуку матиме вигляд:

^2(р) = ^А+ -А^- + ... + -Ап, (8.34)

р- рр- р2      р- рп

де АьА2,...,Ап - константи, які визначають за методом прирівнювання

коефіцієнтів при однакових степенях чисельників лівої і правої частин виразу (8.34) або за формулою:

Ак = Іші ^(р - рк). (8.35)

Кожному дробу у виразі (8.34) відповідає оригінал Аке~ак* (табл.8.1, п.5),

причому знак «-» у показнику степеня обумовлений від'ємними значеннями коренів рк =-ак.

Для кратних дійсних коренів рк функція .Р2(р) містить прості дроби:

(p - pt )v (p - pk )v-i "' p - p

+ ,     v-',+... + (8.36)

де V - кратність кореня рк.

Якщо    поліном    < ( р)    має    комплексно-спряжені    прості корені р12 = -8 ± У'со, кожній парі таких коренів відповідає простий дріб

2 Вр + °    . (8.37) р + ь1р + ь0

Слід зауважити, що коефіцієнти Ь1, Ь0 - дійсні та додатні, а коефіцієнти полінома <2(р) - дійсні. Це можливо за умови: Яер < 0. Знаменник дробу

2 2 2

(8.37) можна записати, як (р + 8-_/со)(р + 8 + у'со) = р + 28р + 8 +со , тобто Ь1 = 28, Ь0 = 8 +со . Тоді можна скористатись відповідністю (табл.8.1, п.13):

Асоб^/ р + А(8соБ^-свіп^)

Ае 8t cos(ct + у)

(p + 8)2 + ю2

Щоб визначити коефіцієнти А і у, треба розв'язати систему:

[ А cos у = 5 ; А(8 cos у - со sin у) = D .

Якщо поліном <2(р) має комплексно-спряжені корені рк = -8к + ую^, кратність яких V, тоді зображення ^(р) містить прості дроби:

Ву р + Ру        +     В v-lр + Ру-1      +    +     В1р + А (8 38)

(р2 + Ьі р + Ь0)у   (р 2 + Ь р + Ь0)у-1        р 2 + Ь р + Ь0 Як правило, кратність коренів не перевищує двох.

Якщо дріб і*2( р) - неправильний, необхідно виділити цілу частину, тобто подати його як суму многочлена і правильного дробу. Так, якщо функція

р) = р + а , діленням чисельника на знаменник знаходять зображення: р + Ь

Ргі р) = 1 - ^, (8.39) р+

якому відповідає оригінал /2 ) = 8(ґ) - - а)еЬ.

Третій спосіб. Перехід від зображення ¥г(р) до оригіналу можна вико­нати за оберненим перетворенням Лапласа, яке для відповідності Х[/)] = і7 (р) має вигляд:

/(ґ) = X ~\і7(р)] = \ і7(р)ері(1р. (8.40)

2ж] а-/оо

В теорії функцій комплексної змінної формула (8.40) має назву формули обернення Рімана3 - Мелліна4. Обернене перетворення Лапласа визначають, обчислюючи лишки функції і*2(р) в особливих точках, які збігаються зі зна­ченнями коренів рк полінома <2(р) (8.33). Якщо кількість особливих точок дорівнює ^, можна записати:

) >^2( р)ер. (8.41)

к=1

Значення лишку визначається за формулою:

ге^К(р)ері = ері

к 1        Є'( Р)

. (8.41)

р=рк

Ріман Георг Фрідріх Бернгард, Ріетапп (1816-1866) - німецький математик. Ство­рив і застосував для розв'язання фізичних задач нові методи інтегрування диференці­альних рівнянь з частинними похідними. Його ім'ям названі: теорема про алгебраїчні функції (теорема Рімана-Роха), матриця у теорії абелевих функцій, метод розв'язання гіперболічних рівнянь, функції Рімана та ін. Увів так звані Ріманові поверхні, важливі при дослідженнях аналітичних функцій. Його роботи відіграли значну роль у розвит­ку теорії функцій комплексної змінної та аналітичної теорії чисел. 4 Меллін Роберт Хільмар (1854-1933) - фінський математик. Професор, а згодом директор Політехнічної школи у Гельсинки. Основні праці присвячені диференціальним та інтегральним рівнянням. Інтегральне перетворення Мелліна ши­роко застосовують у математичній фізиці та теорії функцій.

Якщо корені - комплексно-спряжені, лишки теж комплексно-спряжені, а їх сума дорівнює 2Ке[ге£] . Формула (8.41) дозволяє визначити лишки для про­стих коренів. За наявності кратних коренів рк з кратністю £ лишок визна­чається як

reskF2{p)е* = -і-^ - Рк)^

(s -1)! dps 1 LQ(р)

. (8.43)

p=pk

Нижче наведені приклади визначення оригіналів відгуків.

Приклад 8.3. Знайти оригінал відгуку і(ґ) в схемі з прикладу 8.1 (рис.8.2, а),

якщо дією є напруга и(ґ) = и0е~ах 1).

Розв 'язання. Зображення дії на підставі виразу (8.4) становить:

и (р) = -и-. (8.44) р + а

За формулою (8.30) з урахуванням виразу (8.44) запишемо зображення відгуку:

І    = и0( р +1/Оч)   = Р(р)

КР)       р + а)( р + 1/т)   0( р) Використовуючи значення коренів знаменника <2(р) р1 = -а, р2 =        , роз­кладемо І( р) на прості дроби:

І ( р) = + -А2гг. (8.45)

р + а   р + 1Коефіцієнти Аь A2 знайдемо за формулою (8.35):

Uо( р+1/С^і)

Аі = lim І(р)(р-рі)=-

р -рі р+1/т)

Uо( р+1/CR)

U0(1/CR1 -а)

А2 = lim 1 (р)(р - р2) =

R2(1/т-а)

р=-а

= U0(1/т-1/CR1)

(8.46)

р=-1/

р - р2 R2( р+а)

Отже, коефіцієнти А1 і А2 визначені через параметри кола та дії. Враховуючи

вираз (8.4), перетворимо зображення струму (8.45) до оригіналу:

i(t) = А1е і + А2 е-t/т. (8.47)

Вигляд часової діаграми відгуку залежить від співвідношення між а і 1/ т. Спочатку розглянемо варіант а< 1/т. Нехай а = 1/4т. Для спрощення візьмемо R1 = R2 = R (  = CR / 2), тоді з урахуванням виразу (8.46) матимемо:

1 = 2        =1       1     =   3 = U0        = 2U0

т   CR 2CR    т        2CR 3R      2 3R

а шуканий струм становитиме:

i(t) = ~t/2RC + 2e~2t/RC).

3R

Графік миттєвого значення струму зображено на рис.8.3, а. Струм, як і дія, має імпульсну форму, але імпульс відгуку "гостріший" і прямує до нуля, залишаючись додатним.

Знайдемо струм при а> 2/т. Нехай а = 2/т, Я1 = Я2 = Я, тоді 1/т-а = -2/ ЯС, А1 = 3и0 / 2Я, А2 = -П0 / 2Я, а шуканий струм становитиме:

lit)

2R e~2t / RC).

З графіка lit), зображеного на рис^.З, а, видно, що струм також має імпульсну форму, але на відміну від попереднього випадку в момент часу t1 змінює свій напря­мок внаслідок розрядження ємності.

lit)

R

о

lit)

о

t1

a

t

-V/CR

V

R

Sit)

Рисунок     - Часова залежність струму у прикладах: а ■

б

B-З; б

B.4

t

Приклад 8.4. Визначити оригінал струму у прикладі 8.3 за умови дії и ) = УЬ(ґ) (постійна величина V має розмірність В с).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації