Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 65

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Розв Зображення   дії   знайдемо,    враховуючи   формулу (8.5):

•д(і)] = V.

Згідно з виразом (8.30) зображення відгуку має вигляд:

І (р) = V (Р +1/СЯі) КЮ    Я2{р + 1/т) " Оскільки зображення струму - неправильний дріб, виділимо цілу частину аналогічно виразу (8.39):

R

З   урахуванням перетворень

1 i p) = i1 +-^-)

p + 1

11

1

CR1 т

CR1

R + R2 CR1 R2

CR2

оригінал відгуку:

lit)=V R2

CR2

запишемо

iB.4B)

що збігається з відповідністю ^табл^Л, п.B).

1

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

З61

Часова діаграма відгуку, як і дії, містить дельта-функцію (рис.8.3, б). Наявність "від'ємної" експоненти у відгуку пояснюється тим, що за час дії ємність спочатку заряджається, а потім починає розряджатися, що й зумовлює протилежний напрям струму і(ґ).

Приклад 8.5. Визначити оригінал відгуку ис ) у колі, схема якого наведена на

рис.8.1, а, якщо дією є напруга и) = V0 1), за умови Я < 2Ь/С .

Розв'язання. Знаючи значення зображення (8.22) струму у колі, а також загаль­ного операторного опору кола (8.21), знайдемо зображення напруги на ємності за формулою (8.16):

ис (р) =2---ЧІЕ)— ==^МЕІ-. (8.49)

ск '   рС Я + рЬ +1/рС   р2ЬС + рСЯ +1

Зображення дії знайдемо за формулою (8.3): V(р) = V0 /р . Тоді

ис (р) = 2и°-.

р( р 2 ЬС + рСЯ +1) Використовуючи введені вище  (див.  підрозд.6.3) позначення   8 = Я /2Ь; С0реез =     ЬС , запишемо зображення відгуку:

иС(р) =    (   2    28 2   ) . (8.50)

р( р   + 28р + С0рез )

З виразу (8.50) видно, що зображення напруги на ємності є ДРФ, тобто Р( р)

Vс (р) =-. Отже, визначимо корені полінома <2(р) :

(?( р)

р(р2 + 28р + Юрез) = 0; р1 = 0, р2,з = -8 ± 7<»вл, де

7<з - 82 . (8.51)

22

Якщо розкласти вираз р + 28р + С0рез на множники:

(р - р2)(р - р3) = (р + 8 - 7»вл)(р + 8 + І®вл) = (р + 8)2 + Ю

вираз (8.50) матиме вигляд:

иС (р)

и 0С0рез

р[( р + 8)2 +«2л ]

Скориставшись відповідністю (табл.8.1, п.15), запишемо оригінал відгуку:

2         І 2 2

иС (Ґ) = 7?-       2  [1 - -Є     С08(ЮвлҐ - У)] ,

де \|/ = апС£(8 / совл), або остаточно з урахуванням співвідношення (8.51):

иС) = и>[1 - ^е~ш сов(«влґ - V)]. (8.52) Вираз (8.52) збігається з результатом, отриманим вище (формула (6.66)).

Приклад 8.6. У колі (рис.8.2, а) діє напруга и(t) = um cos(at + уи ) ■ \{t) . Ви­значити оригінал відгуку операторним методом.

Розв 'язання. Згідно з табл. 8.1, п.11 запишемо зображення дії:

p cos у - со sin у

u ( р) = U

2 2 p +C0

(8.53)

Знаменник виразу (8.53) містить поліном другого степеня від р. Оскільки

степінь полінома у зображенні відгуку ще вищий (див. формулу (8.30), щоб його по­низити і відповідно спростити перетворення, скористаємось відомим співвідношенням:

и ) = Яфте1(юі+^и)] = Яе[итє^ ]; Пт = итв™и і знайдемо зображення не миттєвого значення и (і), а комплексної функції, яка стоїть під знаком реальної частини, згідно з формулою (табл.8.1, п.5):

L[UmeJat ] =

U,

Р

ja (8.54)

Враховуючи комутативність операції взяття реальної частини, після визначення комплексного оригіналу відгуку від нього слід взяти реальну частину.

Підставимо у зображення (8.30) замість зображення дії (8.53) вираз (8.54):

j (p) =    Um        p + 1/CRi   = P(p)

Р -ja      p + 1/r)   Q(p) Визначимо комплексний оригінал за допомогою лишків (див. формулу (8.42)). Корені     полінома     Q( p)      становлять:      Р1 = ja,     Р2=—похідна

Q'(p) = R2(2p + 1/т — ja) . Тоді перший та другий лишки матимуть вигляд:

reSlJ(p)ept =  Um (p +1/CR1) ept =^

R2(2 p + 1 ja)

де ф1 = arctgaCR1, ф = arctgат.

p=ja

R1 + R2

f(aCR1) + 1 ej (atи1 —Ф)

(ат)2 +1

res2j(p)ept = Um (Р +1/CR1) ept R2(2 p+1/т— jco)

UmR1 e т

р=—- R2 (R1+R2W1+(®T)2

Остаточно оригінал визначимо як реальну частину суми лишків:

i(t) = Re[res1 + res2] =

Ri

(R1 + R2W1 + (ax)2

[yj(®CR1)2 +1 cos(a t + у u + Ф1 — ф) + -^-cos(y u

R2

Приклад 8.7. Знайти відгук у прикладі 8.3 при а = 1/ г.

Ро5в 'язання. За даної умови зображення струму матиме вигляд:

І(Р) = (Р ^"у. (8.55)

Оскільки знаменник дробу має корінь другої кратності, скористаємось розкла­данням зображення І (р) на прості дроби вигляду (8.36):

t

t

І (p)

A,

(p + а)2

+

A2

(8.5б)

+ аГ    Р+ а

Якщо вираз (8.56) привести до спільного знаменника, чисельник дробу утво­рить поліном: Р(р) = Лу + А2(р + а) . Константи Л\, А2 знайдемо з умови рівності чисельників правої частини виразу (8.55) і полінома Р(р) :

.USL

1

)

Ал + Aj( р + а) = —( р + 1     2 R2 CRX

Рівність виконується, якщо збігаються коефіцієнти при однакових степенях р :

Г А + А2а = U0 / CRR;

\ 12 ° 1 (8.57) [ А2 = Uo/ R2.

Друге рівняння безпосередньо визначає константу А2, а підстановка А2 у пер­ше дозволяє знайти Аі.

Відповідно до табл.8.1 (п.5, п.7) оригінал зображення (8.56), становить:

i(t) = Ахіє t + А2е~а t = (Ахі + А2)е 1.

Якщо Ry = R2 = R : а = 1/т = 2/RC; Ax =-Uo /CR2 ; A2 = U0 /R, тоді

2t

l(t)

UО e RC

t

(1 ).

(8.58)

Д        4 СК

Графік часової залежності струму має такий самий вигляд, як і пунктирна крива на рис.8.3, а, але значення ^ буде меньшим.

Приклад 8.8. Знайти оригінал зображення (8.56) за допомогою лишку. Розв 'язання. Скористаємось формулою (8.43) для кореня кратності ^ = 2.

d

l(t)=

dp

UО( p +Y/CRi) (p + а)2 ept R2( p + а)

d

dp

-U° [ept + tept (p +

R2 CR1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації