Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 66

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

)]

USL

Up( p + 1/ CR,) ^

R2

1

e t [1 +1 (— -а)]

p=-а

R2 CR

UО „-2t/RC

Якщо Ry = R2 = R, а = 2/RC, тоді i(t) =     e 2t'RC (1 - ^77), що збігається з

R

i

t

RC

результатом (8.58).

8.6. Урахування ненульових початкових умов

Операторний метод порівняно з іншими вважається найпотужнішим, але всі рівняння в операторній формі передбачають наявність нульових початкових умов, і це є суттєвим обмеженням. Щоб його уникнути, слід розглянути схеми індуктивного та ємнісного елементів, які визначають початкові умови в момент

г = 0.

Якщо в індуктивності до комутації (г < 0) існував струм, зв'язок між струмом і напругою після комутації (г > 0) відображає вираз (8.8), якому у про­

Зб4

її (р)

(8.59)

сторі зображень відповідає рівняння (8.11). Якщо врахувати перший закон ко­мутації іь (-0) = іь (+0), рівняння (8.11) можна переписати у такий спосіб:

іь (-0) + иї (р).

р рЬ

Перший доданок у формулі (8.59) визначає зображення струму ідеального залежного джерела, яке умовно вмикається до індуктивності в момент ґ = +0 (згідно з виразом (8.9)), але величину струму цього джерела визначено у докомутаційний момент часу ґ = -0, тобто в усталеному режимі. Другий дода­нок - це зображення струму у знеструмленій на момент комутації індуктивності, яка характеризується операторним опором рї. Цей доданок

обумовлений напругою пь ), якій відповідає зображення иь (р). Сума цих

зображень - це зображення струму іь (р) після комутації. Отже, рівняння (8.59)

є першим законом Кірхгофа в операторній формі, складеним для операторної схеми (рис.8.4, а).

її (р) о—*­

ії (-0)/р

рї

ГУУУ\

иї(р)

а

її (р) рї

иї (р)

б

їії(-0)

Рисунок 8.4 - Операторні схеми заміщення індуктивності зі струмом: а - із джерелом струму; б - з джерелом напруги

З виразу (8.59) можна визначити операторну напругу

иї (р) = рїїї (р) - їії (-0). (8.60)

Рівнянню (8.60) відповідає друга операторна схема заміщення індуктивності з ненульовими початковими умовами (рис.8.4, б), оскільки иї (р) відповідно до другого закону Кірхгофа в операторній формі дорівнює алгебраїчній сумі зображень напруг на двох елементах.

У виразі (8.60) перший доданок рїїї(р) - це зображення напруги, зу­мовлене післякомутаційним струмом в індуктивності, яка умовно знеструмлена на момент комутації, другий - зображення напруги на затискачах ідеального джерела напруги, яке дорівнює їії(-0) і має напрям, протилежний напрузі на

затискачах індуктивності. Тобто це джерело, відповідно до закону електро­магнітної індукції, протидіє зміні струму, який існував до комутації.

Операторні схеми індуктивності з ненульовими початковими умовами (рис.8.4) - це схеми із залежними джерелами, внутрішнім опором яких є опера­торний опір індуктивності рЬ. Перехід від однієї схеми до іншої виконують за

відомими правилами еквівалентних перетворень джерел (табл.2.1).

Якщо на момент комутації коло містить заряджену ємність (пс (-0) ф 0),

залежність між струмом і напругою для ґ >+0 описується рівністю (8.14), якій у просторі зображень відповідає вираз (8.15). У цьому рівнянні на підставі дру­гого закону комутації ис (+0) можна замінити на ис (-0):

ис (Р)

ис (-0)

+

1

Іс (Р).

(8.61)

р рс

Така заміна спрощує визначення ис (-0), оскільки момент часу ґ = -0 на­лежить до усталеного режиму.

Рівнянню (8.61) відповідає операторна схема (рис.8.5, а). Зображення на­пруги на ємності ис ( р) складається з двох доданків. Перший визначає зобра­ження напруги на затискачах ідеального залежного джерела напруги, яке умов­но (згідно з виразом (8.14)) вмикається до незарядженої ємності в момент ґ = +0. Величину ЕРС цього джерела визначають в усталеному режимі в момент часу ґ = -0. Другий доданок - це зображення напруги на незарядженій ємності з операторним опором 1/ рс, викликаної струмом, який має зображення І(р).

Слід звернути увагу, що на відміну від схеми індуктивності зі струмом (рис.8.5, б), для зарядженої ємності напрями напруги ис(р) і зображення ЕРС протилежні.

Іс ( р) о

ис(-0)/ р

ис (р)

рс

а

Іс(р)

о—

сіс (-0)

б

Рисунок 8.5 - Операторні схеми заміщення зарядженої ємності: а - з джерелом напруги; б - з джерелом струму

1

Формула (8.61) відповідає другому закону Кірхгофа в операторній формі, складеному для операторної схеми (рис.8.5, а). Якщо з (8.61) визначити зобра­ження струму, матимемо рівняння, яке є операторною формою першого закону Кірхгофа для схеми (рис.8.5, б):

Іс (р) = рСПс (р) - Єпс (-0), (8.62)

де Сис (-0) - зображення струму джерела, що враховує ненульові почат­кові умови; напрями джерел (рис.8.5) збігаються.

Подібно схемам (рис.8.4) схеми (рис.8.5, а і б) також є еквівалентними.

Отже, за наявності у колі в момент комутації індуктивностей, в яких є струм, а також ємностей, на яких є напруга, в операторній схемі такого кола з'являються додаткові джерела, які враховують ненульові початкові умови. Струми і напруги для ґ > 0 обчислюють за законами Кірхгофа і Ома в опера­торній формі. За наявності декількох джерел відгук визначають методом накла­дання. Якщо коло розгалужене, розрахунок виконують, використовуючи матричні операторні рівняння.

Приклад 8.9. Визначити струм І2 ) після комутації у колі (рис.8.6, а).

Розв 'язання. До комутації струм в індуктивності іь (-0) = Е / Р^, отже початкові

умови - ненульові. Щоб розрахувати операторним методом струм І2 ) після

комутації, необхідно скласти операторну схему, яка містить додаткове джерело на­пруги, увімкнене послідовно з індуктивністю (рис.8.4, б), зображення ЕРС якого на підставі формули (8.60) становить Ьіь (-0) = ЬЕ / Я. Еквівалентна операторна схема з

додатковою ЕРС, яка враховує ненульові початкові умови, показана на рис.8.6, б. Зоб­раження ЕРС джерела постійної напруги дорівнює Е / р.

а б

Рисунок 8.6 - Схеми кіл до прикладу 8.9: а - початкова; б - операторна

Визначимо зображення струму ІЬ (р) за законом Ома в операторній формі:

Іь ( р)

Е / р + ЬЕ / Я1

г е( р)

де   р) = рь +      Я + і2).

Зображення   струму   І2 ( р)   знайдемо   за   правилом   розподілу струмів: 12( р ) = Іь ( р) М Я + я2):

12( р) = ~—--=-1-+ '-

рЬ( Я1 +        + Ь( Я1 +       р( р + 1/Т)     (І1 + І2)( р + 1/0'

де Т= Ь /        іе = Я + ^2).

Відповідно до табл. 8.1 (п.6, п.5) оригінал шуканого струму становить: і2(ґ) = Е(1 - е-/т) + —^- е-/т = (1--^— е-/т).

8.7 Операторна передатна функція кола, її властивості. Нулі та полюси операторної передатної функції

Диференціальне рівняння (6.2) для кола другого порядку з відгуком /2(і) і дією      ) має вигляд:

^2      ) + му) + Ьо /2{і) = а2 /{(і) + ах/{(1) + ао /х(і). (8.63) Характеристичне рівняння, відповідно до виразу (8.63), становить:

Ь2 Р2 + Ьі р + Ьо = 0, де ліва частина - це характеристичний поліном:

Ь2 р 2 + Ьі р + Ьо = V( р). (8.64) Відомо, що корені характеристичного рівняння V(р) = 0 обумовлюють

загасаючий характер вільних коливань. Тому у колі з втратами ці корені розта­шовані в лівій частині комплексної площини.

Нехай дії /1(і) відповідає зображення іі(р), а відгук кола належить до

простору оригіналів: Х[/2(і)] = і2(р). Щоб перевести рівняння (8.63) у простір зображень, необхідно скористатись теоремою диференціювання (табл.8.2, п.2): Л / '(і)] = рі (р) - / (+0);    Х[ / "(і)] = р2 і (р) - р/(+0) - / '(+0). Вираз (8.63) після підстановки зображення дії, відгуку та їхніх похідних матиме вигляд:

Ь2 [р2І2 (р) - р/2 (+0) - /2' (+0)] + Ьі[рІ2 (р) - /2 (+0)] + Ь0і, (р) =

=    р2іі(р) - р(+0) - '(+0)] + аі[ріі(р) - (+0)] + а0іі(р). Групування доданків, які містять зображення відгуку і дії, дає:

і2( р)(Ь2 р2 + Ьі р + Ь>) - /2'(+02 - /2(+0)(Ь2 р + Ьі) =      (8 65)

(8.65)

=      р)(а2р2 + аір + а0) - /\(+00)а1 - ./і(+0)(а2р + аі) .

Доцільно ввести такі позначення:

(8.66)

[в(р) = Ь2р2 + Ьір + Ь0 ; | Л( р) = Л'(+02 + (+0)(а2 р + аі);

іА( р) = /2 (+02 + /2(+0)(Ь2 р + Ьі).

Слід звернути увагу на те, що поліном В(р) збігається з характеристич­ним поліномом V (р) (8.64):

В( р) = V (р).

Тоді з урахуванням позначень (8.66) - (8.67) рівняння (8.65) набуває ви­гляду:

І2 (р)V(р) - В0 (р) = іі (р) А(р) - а (р), звідки зображення відгукуі2(р) = іі(р)А(р) + В°(р) - А0(р). (8.68)

У реальних колах відгук не може випереджати дію за нульових початко­вих умов. Для інтервалу часу і< 0 за умови /і( і) = 0 (перше обмеження для

функцій, які належать до простору оригіналів) відгук має бути нульовим: /2 (і) = 0. Це можливо, коли у рівнянні (8.68) відсутній другий доданок, тобто виконується умова

В0( р) - Л( р) = 0. (8.69)

А(р)

X р)

комплексної змінної р, позначають:

А( р)

Тоді і2(р) = іі(р)—Функцію, яка є відношенням двох поліномів

V (р)

Н ( р) = ТТТ^. (8.70) Отже, і2 (р) = іі (р) Н (р), звідки

Н ( р) = . (8.7і)

Функція Н( р) комплексної змінної р, яка дорівнює відношенню зобра­ження відгуку до зображення дії, має назву операторної передатної функції (ОПФ), або операторної характеристики кола, а ще системної функції.

ОПФ характеризує вплив кола на зображення дії. Для лінійного кола Н( р) не залежить від параметрів дії, а визначається структурою і параметрами

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації