Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 67

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

кола, а також типом дії. Так, у розглянутому вище прикладі 8.і згідно з форму­лою (8.7і), виходячи з виразу (8.30), ОПФ кола (рис.8.2, а) становить:

Н(р) = р +УСЯі . (8.72)

У прикладі 8.2 (рис.8.2, б) ОПФ кола згідно з виразом (8.32) дорівнює: Н (р) = р + рС*2 + і

р3Є(7^2 -М2) + ріЯ2 +1,2Лі) + р(4 + Сад) + Я + *2 ' Щоб визначити ОПФ, слід задатись зображенням дії іі (р), потім за зако­нами Ома і Кірхгофа в операторній формі знайти зображення відгуку і2 (р), визначене через іі( р), і підставити його до формули (8.7і). Для складних кіл

можна використовувати метод вузлових напруг в операторній формі, а також узагальнений метод вузлових напруг для кіл, що містять невзаємні елементи.

Приклад 8.10. Знайти ОПФ кола з операційним підсилювачем (рис.8.7). Розв'язання. Вище (див. приклад 5.і) визначено комплексний коефіцієнт передачі за напругою даного кола:

        и л

ОПФ визначимо за формулою:

Ни (р) и 4( Р)

иі( Р)

А14,43 А 11,43

яка, на відміну від попереднього виразу, містить відношення алгебраїчних доповнень матриці не комплексних, а операторних провідностей:

1

- Оі

0 0 2

- О

1

з

0

О1 + О2 + О3 + рС1

з -О2

- Оз

рС2 0

2

- рС2 О2 + рС2.

1 *1

С2

и 4( р)

Рисунок 8.7 - Схема кола у прикладі 8.10 Остаточно матимемо: Ни (р) =

Відповідні алгебраїчні допов­нення отримуємо, враховуючи відомі правила визначення знаків (під-розд. 5.4) та викреслюючи у чисель­нику і знаменнику 1 і 4-й рядки, 4 і 3-й стовпці - у чисельнику та 1 і 3-й - у знаменнику:

Аі4,43 = 1О3 ;

А11,43= р + +рС2(О1 + О2 + О3) + °2°3

О1О3

р 2С1С2 + рС2 (О1 + О2 + О3) + О2О3 (8.73)

Наведений вище аналіз та розглянуті приклади дозволяють сформулювати властивості ОПФ.

1. Згідно з формулою (8.70) ОПФ - це відношення поліномів А(р) і V(р), до яких р входить раціонально (див. розглянуті вище приклади) і тому Н(р) має назву дробово-раціональної функції комплексної змінної р.

2. Поліноми А(р) і V(р) = В(р) згідно з виразами (8.66) мають такі самі

коефіцієнти, як і коефіцієнти диференціального рівняння кола (8.63), які зале­жать від порядку кола, способу з'єднання його елементів та параметрів самих елементів. Тобто коефіцієнти ак = 0... т) і Ьк = 0... п) є дійсними числами,

які можуть бути в кожному з поліномів усі додатні або усі від'ємні. Якщо на­приклад, ак > 0, а Ьк < 0, тоді

Н (р) = - А( р)/ V (р), що можливо за умови, коли коло містить активні невзаємні елементи і змінює початкову фазу дії на протилежну (-1 = 1е ±]п).

3

4

3. Якщо максимальний степінь полінома чисельника т, а знаменника п, то між ними, як правило, існує співвідношення: т < п .

4. Знаменник ОПФ є V(p) - характеристичним поліномом (8.64), який

утворює характеристичне рівняння, що має дійсні від'ємні або комплексно-спряжені корені з від'ємною дійсною частиною (Яерк < 0). Щоб забезпечити цю умову, всі коефіцієнти полінома V(р) мають бути ненульовими (Ьк Ф 0, к = 0,1,..., п) і обов'язково однакового знаку.  Такий поліном називають

поліномом Гурвіца5.

5. Порядок полінома V(р) визначає порядок кола і ОПФ.

6. Значення Рк, які відповідають кореням V(р), перетворюють (р) у

нескінченність і мають назву полюсів ОПФ. Усі полюси ОПФ кола з втратами розташовані на комплексній площині зліва від уявної осі.

7. При значеннях р0к, які відповідають кореням А(р), функція Н(р)

дорівнює нулю. Корені полінома А(р) називають нулями ОПФ.

Коло, ОПФ якого має зазначені властивості, можна фізично реалізувати.

Рисунок, що відображає розта­шування нулів і полюсів Н( р), має

назву карти нулів і полюсів, яка з точністю до постійного множника к1

визначає ОПФ Н( р). Якщо полюси

рк ОПФ позначити хрестиками ), а

нулі р0к - колами ), карта нулів і

полюсів деякого кола матиме вигляд (рис.8.8, а).

Відповідно до наведеної карти нулів і полюсів ОПФ записують у вигляді:

Рисунок 8.8 - Карта нулів і полюсів ОПФ (а); операторна схема пасивного двополюсника (б)

Н( р)

- р01)(р - р02)(р - р03) - р1)(р - р2)(р - р3)(р - р4)(р - р5)

(8.74)

Чисельник Н(р) є поліномом третього порядку (т = 3), а знаменник -п'ятого (п = 5). Якщо у формулі (8.70), яка визначає ОПФ Н (р) даного кола, пронормувати поліноми чисельника

А(р) = а3р3 + а2р2 + а1р + а0 = а3(р - р01)(р - р02)(р - р03)

5 Гурвіц Адольф, Ниг\¥ії2; (1859-1919) - німецький математик. Професор політехнічного інституту в Цюриху. Основні праці належать до математичного аналізу, теорії функцій, алгебри та теорії чисел. У теорії функцій комплексної змінної відомі теореми Гурвіца. Широко застосовується його критерій від'ємності дійсних частин коренів алгебраїчних рівнянь. Зробив внесок у геометрію. Російською пере­кладено його працю "Теорія аналітичних та еліптичних функцій" (1933).і знаменника

V(р) = ь5р5 + ь4р4 + ь3р3 + ь2р2 + ь1р + ь0 = ь5(р - р1)(р - р2 )(р - р3 )(р - р4 )(р - р5 ),

можна встановити зв'язок між виразами (8.70) і (8.74):

Н(р) =    . (р - р01)(р - р02)(р - р03) (8 7 5)

ь5    (р - р1)(р - р2)(р - р3)(р - р4)(р - р5)- '

Якщо константу а3 /Ь5 позначити к1, формула (8.75) з урахуванням рівно­сті (8.74) матиме вигляд: Н (р) = к1Н (р), а загалом:

т

п (р - р0і) а

Н (р) = к1 ^-,   к1 = -Ьт. (8.76)

п (р - рг) п

і=1

Отже, рівняння (8.76) свідчить, що карта нулів і полюсів дозволяє відтворити ОПФ кола з точністю до постійного множника.

Важливо, що корені характеристичного полінома V (р) можна обчислити,

не складаючи диференціального рівняння, навіть без визначення Н (р). Зазна­чимо, що аналогічний висновок можна отримати, аналізуючи перехідні процеси класичним методом (див. п.6.1.2).

ОПФ - функція комплексної змінної р, причому комплексна частота

р = -8 ± 7'со належить лівій комплексної півплощині, бо дійсна частина р -від' ємна (оскільки розглядаються ОПФ кіл, які можна реалізувати фізично). Модуль ОПФ (р) - це поверхня, яка розташована над лівою півплощиною.

Як приклад на рис.8.9, а зображено (р) за умови: А( р) = р3 і V(р) = (р + 8)(р + 81 - р + 81 + , тобто ОПФ має нуль (р0 = 0) з крат­ністю 3 і три полюси (р1 = -8; р2 3 = -81 ±

У точці р0 поверхня Н (р) має нульовий мінімум, а в точках, координати яких збігаються зі значеннями полюсів р1 , р2,3 , поверхня наближається до ма­ксимального нескінченного значення (на рисунку обмежено вибраним масшта­бом за вертикальною віссю).

Якщо коло живиться джерелом напруги, а зображення дії    (р) = и(р),

тоді відгук, що є струмом на затискачах двополюсника (рис.8.8, б), можна ви­значити за законом Ома в операторній формі:

і2( р) =1 ( р) = и (р)/(р),

де     (р) - операторний вхідний опір двополюсника. Виходячи з виразу (8.71), ОПФ має вигляд:

Н ( р) =      = У^Т^ (8-77)

Якщо прирівняти праві частини рівнянь (8.70) і (8.77), виходить співвід-

1       А(р) . ношення: -= —,  з  якого  видно,  що  характеристичне рівняння

2 вх ( р)     У ( р)

збігається з рівнянням:

2вх (Р) = 0. (8.78) Так, операторний вхідний опір послідовного контуру Я, Ь, С, який жи­виться від джерела напруги, згідно з виразом (8.21) становить:

2^ (р) = Я + рЬ +1/рС . Приведення цієї рівності до загального знаменника дозволяє записати:

2вх (р) = ЬСр 2 +СЯС +1, (8.79)

рС

звідки, прирівнявши праву частину до нуля, отримують характеристичне рівняння: ЬСр + рЯС +1 = 0, яке збігається з формулою (6.45), знайденою кла­сичним методом (див. розд.6).

Якщо   коло   живиться   від   джерела   струму,   тоді   зображення дії р) = I (р), а відгуком є напруга на затискачах узагальненої схеми двополюс­ника (рис.8.8, б): і^2(р) = и(р) = I(р)/Гвх(р), тоді:

Н (р) = и(р) = —1—, (8.80)

I ( р)     ^вх ( р)

.         1       А(р) . . звідки-= —і характеристичне рівняння матиме вигляд:

(р) У(р)

(р) = 0. (8.81)

Отже, рівняння (8.78), (8.81) дозволяють методом еквівалентних перетво­рень знайти операторні вхідні функції кола 2 вх (р) чи 7вх (р) (залежно від типу

джерела) і, прирівнявши їх до нуля, отримати характеристичне рівняння кола.

8.8 Зв'язок операторної передатної функції з комплексною передатною функцією. Амплітудно-квадратична характеристика кола, її властивості

Комплексна змінна р = а + }со має значення комплексної частоти. Вона обумовлює характер коливань, що відтворюють функцію дійсної змінної ї. Згідно з виразом (8.40) функція F(р)єрїсІр для комплексно-спряжених значень р утворює коливання з нескінченно малою амплітудою, яке змінюється у часі за законом

2| і7 (р аї ^(соґ + Є)

і може зростати > 0) або загасати < 0). Якщо а = 0, комплексна частота стає уявною величиною р = }со і обернене перетворення Лапласа переходить у

перетворення Фур'є, яке дозволяє відтворити функцію дійсної змінної ї у ви­гляді незагасаючих синусоїдних коливань. При синусоїдній дії характеристи­кою кола є комплексна передатна функція. Отже, ОПФ перетворюється у КПФ за умови р = }со:

Н (р)| р = = НИ, (8.82)

і навпаки,

Н(и)| = Н(р). (8.83) Із співвідношення (8.82) виходить:

Н ( р) р=;»= Н

Тобто АЧХ Н (со) збігається зі значеннями поверхні (р), зображеної на рис.8.9, а за умови р = }со (8 = 0). Значення АЧХ належать кривій, яка є верти­кальним перерізом поверхні Н (р) площиною, що проходить через вісь }со. На

рис.8.9, б показано графік АЧХ, яка є парною функцією со . Для додатних зна­чень частоти розглядається права (відносно нуля) частина графіка.

На підставі виразів (8.70), (8.82) КПФ матиме вигляд:

Н(ю) = фИ (8.84)

де А(ю) = А(р)|р=И; ^ю) = V(р)|р=}ю, причому V(р) - поліном Гурвіца. Наприклад, для кола третього порядку поліном Гурвіца становить:

V (р) = 6 р 3 + Ьг р 2 + 6 р + V (8.85) За умови р = }со: V(ю) = -Ь3ю 2ю + Ьх+Ь0, або

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації