Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 68

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Пю) = ^>2) + VIm(и2), (8.86)

де VRe (Ю2 ) = Ь) - Ь2СО2 ; ^(ю2 ) = 6 - Ь3©2 .

Поліноми, які утворюють дійсну та уявну частини V ) - парні функції дійсної змінної Ю .

Якщо максимальні степені поліномів чисельника і знаменника збігаються (наприклад, т = п = 3), аналогічно виразу (8.86) можна записати:

А(ю) = ARe(ю2) + Аіт(ю2). (8.87)

Підстановка до формули (8.84) виразів (8.86), (8.87) дає:

Н(ю) = ) + }юАіт(ю22). (8.88)

^е(ю ) + Іт(ю )

Тоді аналітичний вираз АЧХ матиме вигляд:

Н (ю) = ^>2) +    Аі2т(ю2 і. (8.89)

^(ю2)2v1m(ю2)

Вираз (8.89) є ірраціональною функцією частоти ю, що ускладнює розв' язання задачі синтезу. Тому розглядають квадрат модуля АЧХ, який є раціональною функцією ю:

Н2(ю) = Ау2) + ю2). (8.90)

VR2e(ю2) + ю2 VI2m(ю2)

2

Функція Н (ю) називається амплітудно-квадратичною характеристи­кою (АКХ) і має такі основні ознаки: 1) АКХ - це ДРФ дійсної змінної ю з дійсними додатними коефіцієнтами; 2) АКХ - парна функція дійсної змінної ю ; 3) граничні значення АКХ скінченні та невід'ємні.

АКХ можна визначити як добуток двох комплексно-спряжених функцій:

Н 2(ю) = Н (}ю) Н (-}ю). (8.91) Заміна = р згідно з виразом (8.83) призводить до співвідношення:

Н2(ю) .     = Н(р)2. (8.92)

}ю=р

Тоді, зважаючи на формулу (8.91), можна записати:

Н (р)2 = Н (р) Н (-р). (8.93)

На рис.8.10 зображена карта нулів і полюсів функції Н(р), які

лежать у лівій півплощині комплексної площини р. Нулі та полюси функції Н (-р) у цьому ви­падку будуть праворуч від уявної осі. Функція, яка є квадратом модуля ОПФ, містить усі нулі та полюси функцій Н( р) і Н(- р). Нулі та по­люси функції |Н(р) мають квад­ратну симетрію, або утворюють квадруплет.

Функція (р)|   - парна ДРФ комплексної змінної р з дійсними

коефіцієнтами. А функція Н (со)

- парна ДРФ дійсної змінної со з дійсними коефіцієнтами. Вона пов'язана з пе­редатною функцією кола за потужністю, яку можна ввести як

НР(со) = ^ = [/ви2х'^вих ,       або НР(со) = крДІ(со), (8.94)

де   константа   кК = Явх / Явих   визначається   відношенням   вхідного і

вихідного опорів кола.

З рівності (8.94) виходить висновок, що передатна функція кола за по­тужністю збігається з квадратом модуля КПФ за напругою Н} (со) з точністю

до константи. Відношення потужностей Рвих / Рвх визначають у децибелах (дБ),

які є логарифмічними одиницями:

Нр (со), дБ = 10ів рвих = 101в н} (со), (8.95)

вх

де для спрощення взято кК = 1.

2

Отже, враховуючи вимоги до НР (со), дБ, можна визначити (р) за

формулою (8.92). Оскільки НР (со) - дійсна функція, перехід до функції (р)| комплексної змінної р можна зробити підстановкою: со = р / і. Щоб перейти до

ОПФ, слід визначити нулі та полюси функції Н( р) 2 і взяти тільки ті, що ле­жать у лівій півплощині.

Коло з ОПФ (8.70), нулі якої розташовані у лівій півплощині та на її межі

- уявній осі, має назву кола мінімально-фазового типу. Коло, частина нулів ОПФ якого лежить у правій півплощині, називається колом немінімально-фазового типу.

Нулі та полюси Н(р)

іїїі

г

р3

р1 *;

І

-X-

_\_.

Г

Нулі та полюси Н(-р)

/ !-р20

- р2

3

-X-

р2Х- —г-/-р20/

І І 2

Нулі та полюси | Н(р) |

Рисунок 8.10 - Карта нулів та полюсів функцій Нір), Н(-р), | Н(р) | 2

8.9 Зв'язок операторної передатної функції з часовими характеристиками

Диференціальне рівняння (8.63) для кола другого порядку пов'язує дію ) з відгуком /2(ї). Якщо дія належить до простору оригіналів, має викону­ватись умова (8.69), яку можна переписати згідно з формулою (8.67) так:

Во(р)      р) (+0)*2 +./2(+0)(Й2р + Ьі) -/і'(+0)«2 -/і(+0)(«2р і)=0. (8.96) Прирівнявши у рівнянні (8.96) коефіцієнти при однакових степенях р ну­лю, можна записати:

Ь2 />(+0) = аг Л(+0); (8 97)

Ь2 Л(+0) + Ьі ./2(+0) = а^./1'(+0) + аі/і(+0). Розв' язання цієї системи відносно початкових значень відгуку дає:

/2(+0) = к^/і(+0); (8 98)

/2(+0) = каЯ(+0) + кіЖ+0),

де к0 = а2 /Ь2, кі = (аіЬ2 - а2Ьі)/Ь2 .

Якщо диференціальне рівняння (8.63) продиференціювати і перевести у простір зображень, аналогічно можна визначити:

Ж+0) = к0Я+0) + кі/{{Щ + к2 (+0), (8.99)

де к2 = (а0Ь2 - а2Ь0)/ Ь22 - кіЬі/ Ь0 .

Отже, як видно з рівнянь (8.98), (8.99), відгуки, що належать до простору оригіналів, мають початкові значення, зумовлені початковими значеннями дії та коефіцієнтами диференціального рівняння. Аналогічно визначають початкові значення відгуку для кіл інших порядків. У табл.8.4 наведені початкові значен­ня відгуку та його похідних у колах першого і другого порядків (п = і,2).

Якщо дією є одинична функція ) = і), відгуком, за визначенням, буде перехідна характеристика /2) = g(ї). Тоді, з урахуванням зв'язку між пе­рехідною та імпульсною характеристиками, відповідно можна записати:

(+0) = і; //(+0) = 5); ЛТ+0) = 5'(г); /,(+0) = g (+0);  Л(+0) = ^ (+0) = Н(+0); /2(+0) = g"(+0) = Н' (+0).

Початкові значення перехідної та імпульсної характеристик та їх похідних, записані на підставі співвідношень (табл.8.4), зведені до табл.8.5.

Зрозуміло, що вирази, які визначають початкові значення, спрощуються, якщо дорівнюють нулю деякі коефіцієнти правої частини диференціального рівняння кола.

Між зображеннями часових характеристик і ОПФ існує певний зв'язок. З відгуком на дію      ) = і); ^(р) = і/р, пов'язана, за визначенням, перехідна

характеристика - вони чисельно збігаються, тобто /2) = g ); ^2( р) = Х[ g )].

Підстановка зображень відгуку і дії до виразу (8.7і) призводить до співвідношення:

= ^77^, або ХШ] = 0{р) = ^. (8.100) 1/р р

Таблиця 8.4 - Початкові значення відгуку та його похідних

Відгук і

його похідні

Розрахункові співвідношення

Примітка

 

 

п = 1

п = 2

Л(+0)

ко (+ 0)

к0 = ах/ Ьх

к0 = а2 / Ь2

/2 (+0)

£о      0)+ кі /х(+ 0)

к    а0Ьі- аіЬ0

аіЬ2 - а2Ьі

/2(+0)

к0 ЛТ+0>+к^./і'(+0)+к2 (+0)

к2 = Ьі кі

а0Ь2-а2Ь0     Ьі к Ь2

Таблиця 8.5 - Початкові значення часових характеристик та їх похідних

Часові характе­ристики та їх похідні

Розрахункові співвідношення

Примітка

 

 

п = і

п = 2

7(+0)

 

к0 = аі / Ь

к0 = а2 / Ь2

7 '(+0) = 4+0)

 

к    а0Ьі- аіЬ0

аіЬ2 - а2Ьі кі = Ь2

7 '(+0) = Л'(+0)

к0 5' )+кі 5)+ к2

к2 = Ь1 кі

к      а0Ь2-а2Ь0     Ьі к Ь2

З формули (8.і00) виходить висновок, що перехідна характеристика - це оригінал, зображення якого є відношенням ОПФ до оператора р:

(р)"

(8.101)

і  р "

У теорії функцій комплексної змінної для відповідності Х[/(ґ)] = і7 (р) доведені граничні співвідношення (див. табл.8.2, п.6):

Ііт р¥(р) = Ііт /(ґ). (8.102)

р—х ґ—0 р—0 ґ—х

Для G( р) вираз (8.102) записують у вигляді:

Ііт pG(р) = Ііт g(ґ), або з урахуванням співвідношення (8.100)

р—х ґ—0 р—0 ґ—х

Ііт Н(р) = Ііт 7(ґ). (8.103)

р—х ґ—0 р—0 ґ—х

Рівність (8.lO3) можна переписати у вигляді двох рівнянь, попередньо замінивши p на jа:

lim H(а) = lim g(t); (8.lO4)

а—О t—oo

lim H(а) = lim g(t). (8.lO5)

а—x t—O

Формула (8.lO4) показує, що перехідна характеристика в усталеному ре­жимі (t со) має постійне значення, якщо АЧХ кола при а O відмінна від нуля (коло „пропускає" постійний струм). Рівність (8.lO5) означає наявність стрибка у відгуку на одиничну функцію (або ступінчасту дію), якщо АЧХ не-нульова при а с (тобто коло „пропускає" коливання верхніх частот).

Отже, рівняння (8.lO4) і (8.lO5) встановлюють зв'язок між КПФ та пе­рехідною характеристикою на межах частотного і часового діапазонів. Ці вира­зи відповідають аналогічним співвідношенням (7.7), (7.8), отриманим вище у розд.7.

Частотні та часові характеристики пов' язані між собою не тільки на ме­жах відповідних діапазонів. Якщо дією є дельта-функція /l(t) = S(t), відповідно

Fl ( p) = l , відгук чисельно збігається з імпульсною характеристикою: /2 (()= h(t), а його зображення F2(p) = L[h(t)]. Підстановка відповідних зоб­ражень до виразу (8.7l) дає:

H(p) = L[l(t)],       або H(p) = L[h(t)]. (8.lO6)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації