Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

+ 01 з

- Я4І4

+ Я515

+ 01 б

+ 017

 

+ Я818 =

- Е4.

Систему рівнянь (2.11) можна подати в матричній формі:

 

 

 

Г-1 0

0

-1

-1 0

0

0 1

 

 

 

Г 0 1

 

 

1 1

0

0

0 -1

0

0

 

12

 

0

 

 

0     -1

-1

0

00

1

0

 

І з

 

0

 

 

0 0

1

1

00

0

1

X

14

 

0

 

 

Я1 0

0

0

- Я5 Яб

0

0

 

15

 

Е1

 

 

0   - Я2 0

0

0    - Яб

- Я7

0

 

І б

 

Е2

 

 

0 0

Яз

0

00

Я7

- Я8

 

17

 

Ез

 

 

ч 0 0

0

- Я4

Я5 0

0

Я8 у

 

ч І8 )

 

ч- Е4 )

 

(2.11)

(2.12)

Права частина рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа, дорівнює нулю. Тому формально можна прийняти для коефіцієнтів у лівій частині цих рівнянь, що мають значення +1, -1 або 0, розмірність опору, а для нульових значень у правій частині рівнянь - розмірність напруги. Це дозволяє стисло за­писати матричну систему (2.12) у вигляді:

, Д. )=(Е), (2.1з)де у) - квадратна матриця узагальнених опорів методу рівнянь Кірхгофа; і) - матриця-стовпець невідомих струмів; (Еі ) - матриця-стовпець

узагальнених ЕРС методу рівнянь Кірхгофа; і, у - відповідно, номери рядків і стовпців елементів матриць.

Розгляд понять узагальнених опорів і ЕРС пов'язаний зі штучним пере­творенням розмірності складових рівнянь, утворених за першим законом Кірхгофа, про що згадувалось вище.

Матрицю струмів у рівнянні (2.13) можна знайти за допомогою оберненої матриці узагальнених опорів:

і ) = у )-1 і). (2.14)

Перевагою використання матричної алгебри, як у методі рівнянь Кірхгофа, так і в інших методах аналізу кіл, є компактність записів систем рівнянь у вигляді (2.13) та їх розв'язку (2.14), а також зручність комп'ютерних розрахунків. Однак застосування матриць не скорочує обсяг обчислень. Осно­ви матрично-топологічного методу аналізу кіл розглянуто нижче у підрозд. 2.10.

Вітки з ідеальними джерелами струму враховують лише, складаючи рівняння за першим законом Кірхгофа. При цьому незалежні контури, вибрані для запису рівнянь за другим законом Кірхгофа, не повинні містити вітки з ідеальними джерелами струму (приклад 2.5).

Щоб перевірити розраховані струми і напруги у колі, рекомендується за­стосовувати рівняння балансу потужностей, основане на законі збереження енергії у колі. Відповідно до цього рівняння сума потужностей опорів дорівнює алгебраїчній сумі потужностей джерел. Рівняння балансу потужностей для ко­ла, що містить Нл опорів, ИЕ джерел напруги і ИІ джерел струму, має вигляд:

Мк Не N

І       = ІЕ1І1 + £ ІджЛжт . (2.15)

к =1 1=1 т=1

(алгебраїчні суми)

У правій частині рівняння (2.15) потужності джерел можуть бути як дода-тниами, так і від'ємними. Додатне значення потужності джерела означає, що воно віддає енергію, негативне - споживає. Потужності джерел є додатними величинами, якщо у джерела напруги напрями ЕРС і струму збігаються, а у джерела струму напрями напруги идж і струму І протилежні. В інших ви­падках потужності джерел від'ємні. Наприклад, рівняння балансу потужностей для схеми (рис.2.14), записується у вигляді:

ЗД2 + Л2122 + Л ІЗ2 + Л142 + Л152 + Л І2 + Л ^ + Л12 = - Е212 + Е313 + Е414 .

Приклад 2.5. Розрахувати струми у колі (рис.2.15) методом рівнянь Кірхгофа для заданих параметрів елементів: І    = 10мА; Е1 = 10 В; Е2 = 40 В; Е3 = 50 В;

Л1 = 4 кОм; Л2 = 10 кОм; Л3 = 5 кОм; Л4 = 11 кОм; Л5 = 5 кОм.

Розе Схема містить п'ять

віток з невідомими струмами (Ыв = 5) і

чотири вузли (Ивз = 4). Кількість неза­лежних рівнянь за першим законом Кірхгофа становитиме N з К = Ывз -1 =

= 4 -1 = 3,    за   другим   -    Ып 3 к =

= N - Nі з.к = 5 - 3 = 2.

У колі є ідеальне джерело струму. Тому, вибираючи незалежні контури для складання рівнянь за другим законом Кірхгофа, вітку з цим джерелом не вклю­чають до контурів. Вибрані контури К і

К і напрями обходу в них показані на

рис.2.15.

Вибираємо довільно умовні позитивні напрями струмів (Д... І5) у вітках схеми. Для вузлів 1, 2, 3 і вибраних незалежних контурів Кі і К2 складемо рівняння

Рисунок 2.15 - До прикладу 2.5

за законами Кірхгофа: для вузла 1

для вузла 2

- І1 + І4 + І дж = 0;

(2.16)

І2 -/4 -/5 = 0; (2.17) для вузла 3 -/3 + /5 -1    = 0; (2.18)

для контуру К1 Я1І1 - Я212 + Я414 = Е1 + Е2; (2.19)

для контуру К2        ЛІ2 - Я313 - Я515 = -Е2 - Е3. (2.20) Виразимо струми 14, /5 і 12 з рівнянь (2.16) - (2.18) через струми І1 і 13:

І4 = /1 - /дж ; /5 = /3 + /дж ; /2 = - /4 - /5 = - /1 - /3

і підставимо ці вирази в рівняння (2.19) і (2.20). В результаті отримаємо систему рівнянь з двома невідомими струмами І1 і І3 :

ед +     + /3) + Л(Л - /дж) = Е + Е2;

/ЗД + І3) + Я313 + Я53 + /дж) = Е2 + Е3.

Перетворимо систему (2.21), підставимо до неї числові значення параметрів і знайдемо струми І1 і 13 за допомогою визначників:

(2.21)

'(*! + Л + Л) І1 + ЛІ3 = Е1 + Е2 + ^4/дж;

І1

25 103 І1 +10 103 І3 160 В;

10 103 І1 + 20 103 І3 = 40 В;

103

160 40

10 20

2800-103

106

25

10

400 ■Ю6

 

10

20

 

7 ■ 10-3 А = 7 мА;

І3

103

25 10

160 40

-600

■ 103

106

25

10

400 ■

106

 

10

20

 

 

1,5 ■Ю-3 А = -1,5мА.

Струми 12, 14, /5 знайдемо через струми І1 і І3: І4 = І1-Ідж=7 -10 =-3мА; І5 = І3 + Ідж = -1,5 +10 = 8,5 мА; І2 = -11 -13 = -7 +1,5 = -5,5 мА. Від'ємні значен­ня струмів І2 і І4 вказують, що їх дійсні напрями протилежні вибраним.

Щоб перевірити розв'язок, складемо рівняння балансу потужностей:

дат1 дж

ОД2 + Я2І22 + Я3132 + ЛІ42 + Л152 = Е1І1 - Е212 + Е3/3 + , (2.22)

де идж - напруга на затискачах джерела струму (рис.2.15).

Напругу идж знайдемо за другим законом Кірхгофа для контуру К3, зображе­ного на рис.2.15 пунктиром:

ЛІ5 - идж - Я414 = 0, звідки идж = Д515 - Я414 = 5 ■ 8,5 +11 ■ 3 = 75,5 В.

Розраховуючи баланс потужностей, в ліву і праву частини рівняння (2.22) задані значення опорів підставимо в кілоомах (10  Ом), а знайдені значення струмів

-3

- у міліамперах (10    А). При цьому потужності, що входять до складу рівняння

(2.22), вимірюватимуться у міліватах (10 Вт). Розрахуємо баланс потужностей:

Л/2 + ЛІ22 + ЛІ32 + ЛІ42 + ЛІ52 =

= 4 72 +10 ■ (-5,5)2 + 5 ■ (-1,5)2 +11 ■ (-3)2 + 5 ■ 8,52 = 970 мВт; Е1І1- Е212 + Е313+ идж/дж = 10 ■ 7 - 40 ■ (-5,5)+ 50 ■ (-1,5)+ 75,5 ■ 10= 970 мВт. Від'ємне значення потужності джерела напруги Е3 вказує на те, що це джере­ло не віддає, а споживає енергію.

Метод рівнянь Кірхгофа є найзагальнішим методом, що дозволяє розра­ховувати як лінійні, так і нелінійні кола. Недолік методу пов'язаний з не­обхідністю складання і розв'язання порівняно великої кількості рівнянь. Змен­шити кількість рівнянь дозволяють методи контурних струмів і вузлових на­пруг, які грунтуються на складанні рівнянь відповідно тільки за першим або тільки за другим законом Кірхгофа. Оскільки ці методи дуальні, обмежимось розглядом одного з них.

2.4 Метод вузлових напруг

Метод вузлових напруг полягає у складанні та розв'язанні рівнянь за першим законом Кірхгофа.

У даному методі для складання рівнянь використовуються так звані вуз­лові напруги. Введемо поняття вузлової напруги на прикладі кола (рис.2.16). Один з вузлів вибрано як базисний вузол і позначено індексом «0» і знаком «за­землення». Інші вузли пронумеровані цифрами 1...3. Напруги між вузлами позначені двома індексами, що повторюють номери відповідних вузлів схеми.

Напруги и10, и20, и30 є незалежними, оскільки вони дозволяють визна­чити всі інші напруги відповідно до другого закону Кірхгофа:

У разі вибору іншого базисного вузла незалежні напруги будуть іншими, але їх кількість для даного кола як і раніше дорівнюватиме трьом.

Ідж4

Ідж1

/3 Ідж3

03

Рисунок 2.16 - Приклад для обгрунтування методу вузлових напруг

Ці незалежні напруги прийнято називати вузловими напругами. Отже, вузлові напруги - це напруги вузлів відносно базисного вузла. Для струмів кола, які знаходять через вузлові напруги із застосуванням закону Ома, можна скла­сти рівняння згідно з першим законом Кірхгофа для вузлів 1.. .3. Така система з трьох рівнянь з трьома невідомими вузловими напругами є системою рівнянь методу вузлових напруг.

Якщо покласти, що потенціал базисного вузла дорівнює нулю, вузлові напруги дорівнюватимуть потенціалам відповідних вузлів. Тому метод вузло­вих напруг іноді називають методом вузлових потенціалів.

Застосовуючи метод вузлових напруг, реальні джерела напруги необхідно перетворити у джерела струму, а замість опорів ввести їх провідності.

Один з вузлів схеми (рис.2.16) вибраний як базисний. Вузлові напруги и10, и 20, и 30 і струми І1, І2, І3 у вітках, увімкнених до «бази», вибрано таки­ми, що вони спрямовані до базисного вузла. Напрями інших струмів вибрано довільними.

Застосовуючи закон Ома, можна записати струми у вітках даного кола че­рез напруги віток:

І1 =        ; І2 = ^2и20; І3 = ^3и30; (2.23) І4 = 0^31; І5 = С5и12; І6 = 06^3. (2.24) Якщо напруги и31, и12, и23 виразити через вузлові напруги

і підставити до виразу (2.24), тоді струми І4 , І5, І6 також будуть виражені че­рез вузлові напруги:

І4 = 0430 -иш); І5 = 05(иш - и20); І6 = 0б20 - и30). (2.25)

Рівняння за першим законом Кірхгофа для вузлів 1, 2 і 3 (відповідно до правила знаків, згідно з яким струми, спрямовані до вузла, мають знак мінус, а струми, направлені від вузла, - знак плюс) мають вигляд:

І1 - 14 + 15 - Ідж1 + Ідж4 = 0(для    вузла 1); <І2 - 15 + 16 + Ідж2 = 0(для    вузла    2); (2.26) /3 + І4 - І6 - Ідж4 + Ідж3 = 0(для    вузла 3).

Підстановка в систему (2.26) виразів (2.23) і (2.25), які пов'язують струми віток з вузловими напругами, призводить цю систему до вигляду:

01и10 - 04(и30 - и10) + 05(и10 - и20) - Ідж1 + Ідж4 = 0;

< 02и20 - 05(иш -и20) + 0620 - и30) + Ідж2 = 0; (2.27)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації