Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 70

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

2) струми у кожній вітці та напруги між даними точками схеми залежать тільки від часу, тобто повністю описуються миттєвими значеннями - і(ґ), и )

відповідно;

3) значення і(ґ) однакове для будь-якого перерізу вітки схеми;

4) напруга и ) між даними точками схеми визначається як різниця їхніх потенціалів;

5) процеси, загалом, описуються звичайними диференціальними рівняннями, які грунтуються на законах Кірхгофа для і(ґ), и ), е(ґ).

Наприклад, усі перелічені особливості стосуються реального кола із зосе­редженими параметрами (рис.9.1, а), складеного з послідовно з'єднаних генера­тора, резистора, котушки самоіндукції і конденсатора, та схеми заміщення цьо­го кола (рис.9.1, в). Для синусоїдного джерела е(ґ) = Ет сов(юґ е) миттєве

значення струму кола в усталеному режимі становить:

і(ґ) = Іт ООВ(ЮҐ +     ), (9.1)

т     Ет                       і 2   /    Ті  /~і\2           . ®Ь 1/соС де Іт =^т; ці е — ф; 2 = л\ Я + (сЬ 1/сС) ; = arctg-.

2 Я Струм (9.1) у будь-який момент часу однаковий у кожному перерізі кола за умови, що час затримки перенесених зарядів між будь-якими двома пе­рерізами нехтовно малий. Можна показати, що для виконання даної умови максимальні геометричні розміри реального кола хт, ут, іт мають бути значно

меншими довжини хвилі (рис.9.1, а):

Х = v / f,

де у < c - швидкість переміщення зарядів; c - швидкість світла; / = с /2п = 1/ Т - циклічна частота.

Якщо один з розмірів кола, наприклад довжина хт = І, буде сумірною з

довжиною хвилі за рахунок довжини провідників, які з' єднують затискачі гене­ратора з пасивними елементами (рис.9.1, б), це призведе до затримки зарядів на час, сумірний з періодом змінювання струму:

1 Згідно з ДСТУ 2815-94. Електричні й магнітні кола та пристрої. Терміни та визна­чення (п. 4.10) коло із зосередженими параметрами визначається як таке, що може бу­ти подане сукупністю скінченної кількості ідеальних елементів.з X/ X

(9.2)

2

ут <<Х.

2т <<Х

і(ґ, х)

и(ґ, х)

1 = хт ~ Х

Я

Ь

С

а

б

х

Я

Ь

С

І=хт <<Х

і(ґ, х)

» 1

і          и , х)

 

-3

Я

4

Ь "

С

х .

Лх«Х

- у

І = хт ~ X

-т-

Рисунок 9.1 - Пояснення головного критерію щодо застосування теорії кіл із зосередженими і розподіленими параметрами:

а, в - реальне коло із зосередженими параметрами і його схема;

б, г - реальне коло з розподіленими параметрами і його схема

в

г

Вважаючи амплітуду струму постійною і враховуючи формулу (9.2), миттєве значення струму у перерізі провідників з координатою х можна запи­сати у вигляді:

і(ґ,х) = Іт соб(с — ґз(х)] +   } = Іт соб(юґ--х +   ), (9.3)

X

де ґз (х) = х / V = х / X/ - час затримки зарядів у перерізі кола з координа­тою х, записаний аналогічно виразу (9.2).

Миттєве значення струму (9.3) стає функцією двох змінних - часу ґ і ко­ординати х. При цьому функція і(ґ, х) періодична як у часі з періодом Т, так і у

просторі за координатою х з періодом X. Ця властивість притаманна у загаль-нофізичному значенні одновимірним хвильовим процесам, а в електро-радіотехніці - колам з розподіленими параметрами.

Отже, сумірність одного з геометричних розмірів кола і довжини хвилі є головним критерієм застосування теорії кіл з розподіленими параметрами для даного кола. У розглянутому прикладі (рис.9.1, б, г) ця умова задовольняється, оскільки І = хт ~ X; ут << X; << X.

Можна сформулювати ще й часовий критерій щодо застосування теорії кіл з розподіленими параметрами - у колах з розподіленими параметрами часо­ва затримка за однією з координат сумірна з часовими параметрами діючих у колі сигналів.

Теорія кіл з розподіленими параметрами почала інтенсивно розвиватися із середини XIX століття у зв'язку з необхідністю вирішення практичних задач створення довгих телеграфних і телефонних ліній. Перші теоретичні праці на­лежать Кірхгофу і Томсону (Кельвіну).

Отже, наведений вище спрощений аналіз процесів у колах з роз­поділеними параметрами дозволяє встановити тільки одну відмінність кіл цього класу від кіл із зосередженими параметрами - залежність миттєвих значень процесів від двох змінних ґ, х та головний критерій приналежності реальних

кіл до кіл з розподіленими параметрами - сумірність одного з геометричних розмірів з довжиною хвилі. Докладнішій аналіз, наведений нижче у даному розділі, дозволить встановити інші властивості цих кіл:

1) подання кола у вигляді нескінченної кількості розподілених за однією з

3 ..... координат ідеальних пасивних елементів , для кількісної оцінки яких вводиться

поняття первинних (погонних) параметрів (див. підрозд. 9.2);

2) затримку струмів і напруг у часі та хвильовий характер процесів;

3) опис процесів, у загальному випадку, диференціальними рівняннями у частинних похідних для і(ґ, х) та и (ґ, х) (див. підрозд. 9.3).

2

Як покаже подальший аналіз, умова постійності амплітуди у будь-якому перерізі кола з розподіленими параметрами не завжди виконується.

Згідно з ДСТУ 2815-94 (п. 4.11) визначення кола з розподіленими параметрами грунтується на його поданні як сукупності нескінченної кількості ідельних елементів.

Найважливішим окремим випадком кіл з розподіленими параметрами є довгі лінії (лінії передачі). До довгих ліній (ДЛ) належать кола у вигляді двох провідників, розділених непровідним середовищем і працюючих у режимі, коли довжина провідників сумірна, а поперечні розміри значно менше довжини хвилі. Прикладами ДЛ є провідники, які з'єднують джерело з елементами Я, Ь, С у колах, показаних на рис.9.1, б, г.

ДЛ практично застосовують у діапазонах метрових (30-300 МГц) і деци­метрових хвиль (300-3000 МГц). Конструктивно лінії передачі зазвичай виго­товляють у вигляді двопровідних повітряних ліній (рис.9.2, а), коаксіальних ка­белей (рис.9.2, б) і стрічкових ліній (рис.9.2, в). Крім провідного шару «3» у стрічкових лініях (рис.9.2, в), інші геометричні розміри наведених конструкцій ліній передачі у поперечних перерізах є значно меншими довжини хвилі:

й << X; В << X; к << X.

Рисунок 9.2 - Конструкції основних видів ліній передачі: а - симетрична двопровідна повітряна лінія, 2й - діаметр провідників, В - відстань між провідниками; б - коаксіальний кабель, 2й - діаметр внутрішнього (центрального) провідника, 2В - діаметр зовнішнього провідника (оплетення), 1 - ізолюючий шар діелектрика; в - мікрострічкова лінія, 1 - діелектрична підкладка товщиною к; 2 - провідна лінія шириною й; 3 - провідний шар

Окрім головного призначення - каналізації енергії без втрат або передачі сигналів без спотворення форми - ДЛ у вказаних діапазонах частот використо­вують, створюючи резонансні контури, трансформатори, фільтри, лінії затрим­ки, антенні пристрої, формувачі, ізолятори, вимірювальні лінії, комутатори, атенюатори. Для різних областей застосування розроблені спеціальні ДЛ: рези-стивні; Я, С лінії; спіральні лінії затримки; штучні лінії тощо.

З огляду на практичне значення ДЛ і порівняну простоту їх теоретичного аналізу, подальше викладення присвячено саме цим колам з розподіленими па­раметрами.

9.2 Первинні параметри довгих ліній

Елементарну ділянку ДЛ довжиною Ах << X (рис.9.1, г) можна розглядати як коло із зосередженими параметрами і подати її у вигляді чотириполюсника з ідеальними пасивними елементами АЬ, АС, АЯ, АО. Елементи АЬ і АС вра­ховують накопичення енергій відповідно електричного і магнітного поля за ра­хунок струму у провідниках і ємності між провідниками, а елементи АЯ і АО -втрати енергії у провідниках та ізоляції між ними (тому АЯ ф 1/ АО).

ДЛ довжиною І можна подати як каскадне з'єднання кількох чотирипо­люсних схем заміщення кожної з ділянок Ах << X. З фізичної точки зору найбільш прийнятними є схеми заміщення у вигляді симетричних врівноважених чотириполюсників. Для теоретичного аналізу використовують несиметричні неврівноважені4 /"-подібні чотириполюсники (рис.9.3, а, б).

АЯ

АЯ

І

АС

9

і і і і

О­:

АЬ

АС

г

Ах << X

Ах << X

-►і

а

б

Рисунок 9.3 - Схеми заміщення елементарної ділянки лінії

Чим менша довжина елементарної ділянки Ах, тим менші значення пара­метрів АЬ, АС, АЯ, АО. Тому розглядають відносні величини: Ь1 =АЬ / Ах ;

С1 = АС / Ах; Я1 = АЯ / Ах; О1 = АО / Ах, які називають первинними (погонними)

параметрами ДЛ і вимірюють у таких одиницях5:

1) погонну індуктивність Ь1 - Гн/м;

2) погонну ємність С1 - Ф/м;

3) погонний активний опір Я1 - Ом/м;

4) погонну активну провідність О1 - См/м.

Більш строго первинні параметри ДЛ визначають так:

л          АЯ   йЯ  ^     л.    АО йО ; Я1 = шті -= ; О1 = пні

Ах—0 Ах    йх '

АЬ йЬ шті -= ; С:

Ах—о Ах йх

Ііт

АС йС

Ах—о Ах йх

Ах—о Ах йх

4 Врівноваженість обумовлюється симетрією схеми відносно горизонтальної осі.

5 Вимірюючи первинні параметри, зазвичай використовують дольні одиниці (мкГн/м, пФ/м та ін.), але у телекомунікаційних лініях як одиницю довжини застосовують не метр, а кілометр.

Отже, первинні параметри мають зміст лінійних щільностей розподілу елементів Ь, С, Я, G вздовж лінії.

Особливості первинних параметрів ДЛ обумовлюють класифікацію ліній.

ДЛ є лінійними, якщо усі первинні параметри не залежать від часу, а та­кож від струмів і напруг. Якщо хоча б один з первинних параметрів залежить від часу, лінія називається параметричною. Коли один з первинних параметрів залежить від струму чи напруги, лінія є нелінійною.

Якщо первинні параметри не залежать від координати х, лінія називається однорідною. У неоднорідної лінії первинні параметри залежать від координати х: Ьх(х); Сх{х); Ях(х); Ох{х).

У подальшому викладенні розглянуто переважно лінійні однорідні ДЛ.

Первинні параметри реальних ДЛ визначаються особливостями їхньої конструкції, геометричними розмірами, параметрами матеріалів і діапазоном робочих частот.

Щоб розраховувати первинні параметри, слід використовувати методи теорії електромагнітного поля. В табл.9.Х наведені формули для розрахунку первинних параметрів типових конструкцій ліній передачі (рис.9.2), в табл.9.2 -параметри діелектриків і металів ліній передачі. У цих формулах використано ті ж позначення геометричних розмірів ліній, що й на рис.9.2.

Таблиця 9.1 - Первинні параметри типових ліній передачі6

Лінія

Ь1, Гн/м

С1, Ф / м

Яь Ом/м

См/м

Симетрична двопровідна повітряна (рис.9.2, а)

ММо 1п В ~ й -п й

-4 • 10 7 ц1п-

й

пє0 — 1п[( В- й)/ й ]

10-9 361п[( В-й )/й ]

1

|цц 0 ю v

0

Коаксіаль­ний кабель (рис.9.2, б)

7 В й

2пєє0 1п( В / й)

10-9є 181п( В / й)

іЦЦ0^ 1 + 1

 

Стрічкова (рис.9.2, в)

ЦЦ 0 к

єє 0 й

-

1

2цц 0 ю

 

 

й

к

 

а

 

6 Формули стосуються діелектриків без магнітних властивостей. У табл.9.1, 9.2 вико­ристано такі позначення: є0=10-9/36п Ф/м - електрична стала вакууму; є -

відносна діелектрична проникність ізоляції; ц 0 — 4п •ю Гн/м - магнітна стала ва­кууму; ц - відносна магнітна проникність металу; tgS - тангенс кута втрат ізоляції; ю, рад/с - робоча кутова частота; а, См/м - питома об'ємна провідність металу.

Таблиця 9.2 - Параметри діелектриків і металів

Матеріал

є

для

/ = 1000 МГц

Метал

Питома об'ємна провідність а, См/м

Відносна магнітна проникність

Поліетилен

2,25

2 ■ 10 "4

Срібло

6,17 ■ 107

1,016

Полістирол

2,56

2 ■ 10 "4

Мідь

5,81 ■ІО7

1,017

Фторопласт

2,08

2,5 ■ 10 "4

Золото

4,13 ■ІО7

1,013

Плавлений кварц

3,85

3 ■ 10 -5

Цинк

1,69 ■Ю7

1,011

Окис алюмінію

9,6

4 -10 -5

Латунь

1,55 ■ 107

1,011

Плексиглас

3,4

2 ■ 10 -3

 

 

 

Приклад 9.1. Обчислити первинні параметри симетричної двопровідної повіт­ряної лінії (рис.9.2, а) для частоти / = 100 МГц, якщо розміри латунних провідників

становлять: 2й = 2 мм; £) = 10 мм.

Розв 'язання. За формулами для первинних параметрів симетричної двопровід­ної повітряної лінії (табл.9.1), використовуючи параметри латуні з табл.9.2, виконає­мо розрахунки:

Ь = 4-10_7 ц 1п = 4-10_7 ■ 1,011 ■ 1п10 = 8,886 40_7 Гн/м;

1 й 10_3

10_9 10_9

С1 =-=-2-3-3 = 1,264 ■Ю _11 Ф/м;

1   361п(£> _ й)/й   361п(10_2 _ 10_3)/10_3

1   ткП 2а п-10

1,011 •4п-10-7 -2п-108 = 1,615 Ом/м.

2-1,55-107

Оскільки лінія має повітряну ізоляцію, приймаємо Gl = 0 .

9.3 Диференціальні (телеграфні) рівняння довгої лінії. Загальний розв'язок рівнянь для лінії без втрат

Диференціальні рівняння ДЛ встановлюють аналітичний зв'язок між пер­винними параметрами Ь1, С1, Я1, G1, струмом і(ґ, х) і напругою и , х) у

довільному перерізі лінії у будь-який момент часу.

Щоб отримати диференціальні рівняння ДЛ, достатньо розглянути схеми заміщення елементарної ділянки Ах << X на відстані х від джерела (входу лінії) у вигляді /"-подібних чотириполюсників (рис.9.3). Подання елементів цих чотириполюсників АЬ, АС, АЯ, АG через первинні параметри

АЬ = Ь1Ах; АС = С1Ах; АЯ = Я1Ах; АG = ^ Ахпризводить до схем (рис.9.4 а, б), аналіз яких із застосуванням законів Кірхгофа і дозволяє отримати диференціальні рівняння ДЛ.

Ь1Ах

ді(і, х) ді

Я1Ахі(і х)

и (і, х + Ах) у

і (і, х)    1     ^Ах і(і, х+Ах)

и(і, х)

х

р1ахи (і ,х)^_С 1Ах

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації