Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 71

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

:

ді

С1Ах

Ах = -Ау

У

б

Рисунок 9.4 - До виведення диференціальних рівнянь довгої лінії

Рівняння за другим законом Кірхгофа для вибраних напрямів обходу кон­туру К і напрямів напруг для схеми (рис.9.4, а) має вигляд:

ді(і, х)

и(і,х + Ах) - и(і, х) + Я1Ах і(і,х) + Ь1Ах —= 0,

ді

(9.4)

де Я1Ах і(і, х) - напруга на елементі АЯ; Ь1Ах ді(і, х) - напруга на еле-

ді

менті АЬ.

У рівнянні (9.4) і подальших виразах застосовують частинні похідні, оскільки струм і напруга є функціями двох змінних і, х.

Внаслідок перенесення доданків зі струмом у праву частину рівності (9.4) і ділення лівої та правої частин на Ах виходить рівняння

и (і, х + Ах) - и (і, х) .    т ді(і, х)

--х—^ = - Я1і(і, х) - ь -±и.,

Ах ді яке після граничного переходу Ах —0 перетворюється до одного з дифе­ренціальних рівнянь ДЛ:

[іт и(ї,х + Ах)-и(!,х) = ди±х)_ = х) _   Щ^х) .        (9 5)

Ах— 0 Ах дх дї

Рівняння, складене за першим законом Кірхгофа для вузла 1 у другій з розглянутих схем (рис.9.4, б), становить:

ди(ї х)

і(ї, х + Ах) _ і(ї, х) + О1Ахи , х) + С1Ах= 0, (9.6)

дї

ди х)

де О1Ах и , х); С1Ах'    - відповідно струми в паралельних вітках з

дї

елементами АО та АС.

Перетворення рівності (9.6), подібні тим, які застосовано вище до виразу (9.4), дозволяють отримати друге диференціальне рівняння ДЛ:

]]т і(ї,х + Ах) (ї,х) = Ш^х) х) _ С . (9.7)

Ах—о Ах дх дї

Диференціальні рівняння (9.5) і (9.7) можна записати також у функції ко­ординати у = І _ х (рис.9.1, г), яку відлічують від навантаження (кінця) лінії.

Оскільки Ау = _Ах; ду = _дх, рівняння матимуть вигляд:

^ = Щ,, у) + А «; (9.8)

ду дї

= Ои , у) + С ^. (9.9)

ду дї

Використовують також спрощену форму запису рівнянь ДЛ:

и і        і и

= Щ + Ьх -; _ = Охи + Сі ; (9.10) х ї       х ї

ди   .   т ді      ді         ди

= Я1і +   \    = О1и + Сх . (9.11) у ї       у ї

Рівняння (9.10) і (9.11) називають також телеграфними, оскільки вони бу­ли отримані під час створення перших ліній телеграфного зв'язку.

Від цих рівнянь, кожне з яких містить струм і напругу, можна перейти до рівнянь відносно напруги чи струму. Наприклад, щоб отримати вираз відносно напруги, у системі (9.10) слід продиференціювати перше рівняння за х, а друге - за ї, а потім виключити струм у першому рівнянні:

д2и    „ ді    Т д2і

—2 —   1--1-■

дх        дх      дїдх'

2і и 2и

~О1^7 + С1

дхдї     1 дї     1 дї2 і и О + С1^7;

Й = АС § + {Я1С1 +      )) + ЯОи. (9.12)

х2 ї2 ї

11

х ї Аналогічно складається рівняння відносно струму:д2u    „ ді   т д2i

-= R-\— + L —-;

дxдt     1 дt    1 ді2

д2 i    ^ дu   ^ д2 u G1 — + C1

дx 2

дtдx дії    ^ .   т дi

1 1

=> ^2" = LiCi ^2- + (RiCi + GiLi))) + RiGii. (9.13)

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (9.12) і (9.13) мають од­накову структуру і називаються одновимірними хвильовими рівняннями.

Розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних (9.12) і (9.13) для реальної лінії та довільного джерела є досить складним. Простіше розв'язувати ці рівняння для довільного джерела в ідеальній ДЛ (ІДЛ) - лінії без втрат = 0; G1 = 0) або для синусоїдного джерела в реальній лінії (див.

підрозд. 9.4). Для ІДЛ хвильові рівняння мають вигляд:

д2" ^; (9.14)

дx2      ' ' дґ

д 2i    L     д2 i LiCi

(9.15)

дх2      ' ' дґ

Диференціальні рівняння (9.14) і (9.15) вперше були досліджені Ейлером, Бернуллі і Даламбером стосовно задачі математичної фізики, пов'язаної з ко­ливаннями пружної струни. Розв' язати ці рівняння можна за допомогою рядів Фур'є заміною змінних (метод Даламбера) або операторним методом.

Розв' язуючи рівняння операторним методом, замість шуканих функцій и(ґ, х) та ї(ґ, х) використовують їхні зображення за Лапласом за змінною і:

и (х, р) = Х\и (і, х)];    I (х, р) = Х\і (і, х)]. (9.16)

7

Бернуллі Даніїл, Bernoulli (1700-1782) - видатний математик і фізик, представник відомої династії швейцарських вчених. Працював у Петербурзькій АН (1725-1733). Йому належать важливі праці з алгебри, теорії ймовірностей, численню нескінченно малих, теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь. Уперше увів до теорії помилок нормальний розподіл і поняття випадкових і систематичних похибок. В області математичної фізики розв'язав (1755) за допомогою тригонометричних рядів диференціальне рівняння коливання струни та вивів основне рівняння гідро- і газової динаміки (монографія «Гідродинаміка», 1738).

Даламбер Жан Лерон, D'Alembert (1717-1783) - французький математик і філософ, член Паризької і Петербурзької АН. Вперше довів основну теорему алгебри (лема Даламбера). Сформулював загальні правила складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, зводячи задачі динаміки до статики (принцип Далам-бера). Застосував цей принцип до гідродинаміки. Розв' язав диференціальне рівняння, яке описує коливання струни. Розглядав час як четвертий вимір. Деякі праці, присвя­чені філософії, астрономії, естетиці та музиці, опубліковані в «Енциклопедії наук, мистецтв і ремесел», яку Даламбер готував разом з Д. Дідро (1751-1757).

Використовуючи властивості перетворення Лапласа і вважаючи початкові умови нульовими (і(х,0) = 0; и ,0) = 0), рівняння (9.14), (9.15) для зображень

(9.16) можна подати у вигляді:

І^РІ-ІлСхр2и(х,р) = 0; (9.17)

ах

11^1 - ксх р 21 (х, р) = 0. (9.18) ах

Рівняння (9.17) і (9.18) є лінійними однорідними диференціальними рівняннями тільки за змінною х (диференціювання зар не виконується). З огля­ду на це, похідні за х є не частинними, а звичайними.

Оскільки рівняння (9.17) і (9.18) є однотипними, можна обмежитися аналізом одного из них. Наприклад, загальний розв'язок рівняння (9.17). такий:

и (х, р) = [/пад (Р)Є ~ Р^ + ІІвд (р)врх^\ (9.19)

де ипад (р), ивід (р) - сталі інтегрування, які відповідають фізичному зна­ченню оригіналів цих доданків розв'язку - падаючій та відбитій хвилям; + рА'ь1С1 - корені характеристичного рівняння, складеного за виразом (9.18).

Щоб визначити сталі ипад (р), ивід (р), використовують граничні значен­ня зображення и(х, р) і його першої похідної за х при х = 0 .

Якщо позначити оригінали сталих інтегрування ипад ), ивід ) і застосу­вати теорему запізнення перетворення Лапласа (див.табл.8.2, п.4), можна пода­ти оригінал зображення (9.19) як

их) = ипад(ґ - хлДЇС1) + ивід(ґ + хлС1) = ипад(£> + ивід(Л), (9.20)

де V = 1 ^Ь1С1 - вимірювана швидкість поширення хвиль, м/с; ^ = ґ - х / V, П = ґ + х/ V - узагальнені змінні.

Аналіз розв'язку (9.20) дозволяє зробити такі висновки:

1) кожний з доданків розв'язку (9.20) є процесом, який повторює свої значення через певний час в іншому перерізі, що характерно для хвилеподібних процесів;

2) складова розв'язку ипад (Д)= ипад (і - х/V) є хвилею, яка поширюється

від джерела до навантаження зі швидкістю V, що обумовлює назву падаюча хвиля;

3) хвиля ивід (г|)= ивід + х / V) пересувається від навантаження до джерела

зі швидкістю V; ця хвиля називається відбитою, оскільки фізичною причиною її появи є відбиття від навантаження;

4) у лінії без втрат падаюча та відбита хвилі пересуваються вздовж лінії, не змінюючи форми та інтенсивності.

Струм і(ґ, х) можна записати через напругу и , х), використовуючи пер­ше рівняння системи (9.10).

Для ідеальної лінії це рівняння має вигляд:

ди(і, х) = т ді(і, х)

дх ді

звідки

у '   7 т   1       а„ т   1        ОХ. Т   Л        Л„ л„

= ^_ = ^(_х/„)_(( + х/у), (9.21)

^хв ^хв

/      . ч   ипад((_ х / у)      ,      , ч   ивід + х /у) де іпад ((_ х / у) = ——--; івід ((+ х / у ) = —-- - відповідно па-

даюча та відбита хвилі струму; Яхв = Цу = ^ Ц / С1 - хвильовий опір.

Співвідношення для струму (9.21) дозволяє зробити висновок, що в ідеальній лінії:

1) струм х), подібно напрузі и(і, х), є сумою падаючої та відбитої хвиль;

2) відповідні хвилі напруги та струму пов'язані між собою за законом Ома через хвильовий опір Яхв; оскільки Яхв має активний характер, хвилі на­пруги і струму одного й того ж типів збігаються за формою;

3) від'ємний знак відбитої хвилі струму показує, що фактичний напрям поширення енергії відбитої хвилі - від навантаження лінії до вхідного джерела.

Отже, розв'язок одновимірних хвильових рівнянь (9.14) і (9.15) для лінії без втрат показує, що в лінії існує інтерференція двох зустрічних хвиль - па­даючої та відбитої, причому це стосується не тільки напруги і струму, але й енергії.

Швидкість пересування хвиль у і хвильовий опір Яхв є вторинними па­раметрами ідеальних ліній:

у = 1/7^; (9.22)

Яхв =4кїС. (9.23) У табл.9.3 наведені формули для вторинних параметрів ідеальних ліній основних типів. Формули отримані на підставі співвідношень (9.22) і (9.23), а також наведених у табл.9.1 виразів для Ц і С1 типових конструкцій ліній пере­дачі. У формулах використані ті ж позначення геометричних розмірів ліній пе­редачі, що й на рис.9.2. Відносна магнітна проникність провідників прийнята = 1, оскільки провідники та ізоляція ідеальні (Я1 = 0; 01 = 0).

1

Таблиця 9.3 - Вторинні параметри типових ліній без втрат

Лінія

V, м/с

 

Симетрична дво-провідна повітряна лінія (рис.9.2, а)

*_- 3 108 - с

п      й у

^ - 120ІП О " й

є 0 й

Коаксіальний кабель (рис.9.2, б)

1     = 3 108 = с

 

- 60 іп О

єє 0    л й

Стрічкова лінія (рис.9.2, в)

л/м0єє0     л7є

И   м0    120п И й у єє0     л/є й

Приклад 9.2. Розрахувати швидкість пересування хвиль і хвильовий опір симе­тричної ідеальної двопровідної повітряної лінії (рис.9.2, а) з розмірами, наведеними у прикладі 9.1.

Розв'язання. Швидкість хвилі в ідеальній двопровідній повітряній лінії дорів­нює швидкості світла с, а хвильовий опір залежить від геометричних розмірів лінії (див. табл.9.3). Розрахуємо хвильовий опір за заданими розмірами:

Дхв = 1201п = 1201п10   _3°   = 263,67 Ом.

хв й 10_3

Перевіримо результат за первинними параметрами (див. приклад 9.1):

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації