Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 72

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

11

V -

л/ВД"   д/8,886 ■ 10"7 ■ 1,264

10

-11

2,984 ■ 108 м/с;

1

С1

8,886 ■Ю"7

-11

265,14 Ом.

1,264 -10"

Результати практично збігаються. Різниця пов'язана з тим, що у прикладі 9.1 при визначенні     і С1 враховано відносну магнітну проникність латуні ц -1,011.

9.4 Аналіз усталеного синусоїдного режиму довгої лінії

При синусоїдній дії з частотою со усталений струм і напруга у будь-якому перерізі ДЛ змінюються у часі за синусоїдним законом з тією ж частотою со. Загалом, у кожному перерізі лінії амплітуди та початкові фази цих коливань різні. Якщо відраховувати координату від входу лінії, миттєві значення струму і напруги мають вигляд:

і(і,х) - Іт (х)сов[соі + цці (х)]- Яе[іт (х)в]ш ] ; (9.24)

и , х) - ит (х)со8[соі + ц и (х)]- Яе Цт (х)е

(9.25)

де   Іт (х) - Іт (х)е]Ці (Цт (х) - 1]п {х)в™и (х)

комплексні амплітуди

відповідно струму і напруги у перерізі лінії з координатою х.

Як правило, відомі первинні параметри лінії Я1, С1, Ь1, С1, довжина І таопір навантаження 2_н. Крім цього, задаються значення струму і напруги на вході (затискачі 1-1' на рис.9.5):

и ,0) = щ(і) = иті со8(соі + у „і) = ЯеЦ^е^ ] ;

і ,0) =       ) = Іті СО8(С0І + у     = Яе[ітіЄШ _

або на виході лінії (затискачі 2-2' на рис.9.5):

(9.26) (9.27)

и , І) = ^ (і) =      2 СО8(С0 І + у „ 2) = Щ\ \ І , І ) = І2) = Іт 2 СО8(С0І + у і 2) = Яе[/да 2 ^ _ .

(9.28) (9.29)

Підстановка миттєвих значень струму і напруги (9.24), (9.25) у дифе­ренціальні рівняння (9.10) призводить їх до вигляду (у комплексній формі):

Яе| ~^тКл' е]т | = Ял Яе[іт{х)е]Ш]+ Ь1 Яе[уюІт(х)е](йі_;

(ІХ ІХ

(9.30)

= ^ЯеЦ^ (х)еіаі\+ СхЯе[і&ит (х)єіаі\. (9.31)

1

и ,0) = = иі(і)

1'

и, х)

І

І) = І2Іі_

2

и( ,І) = 2( )

X

2'

Рисунок 9.5 - Схема ДЛ для синусоїдного усталеного процесу

Якщо праві частини рівнянь (9.30) і (9.31) перетворити, використовуючи властивість комутативності векторів, виходить:

ІХ ІХ

(9.32)

(9.33)

З рівності дійсних частин векторів, що обертаються з однаковою частотою і складають рівняння (9.32) і (9.33), виходить рівність векторів:

- ^^Т^ = *1 Іт (X) + ]<йЬуІт (X) =       + ]<йЬу (х) = 21 іт (х) ; (9.34)

ах

Іх

= я

лінії, відповідно.

ОіИт (х) + іФвіЦт (х) = ((і + ісоСі      (х) = У хи (х), (9.35)

де 21 = ^ +       , 71 = 01 + 7С1 - первинні комплексні опір і провідність

Від системи рівнянь (9.34), (9.35) можна перейти до єдиного рівняння відносно U_m (x) або lm (x). Так, щоб скласти рівняння для U_m (x), достатньо продиференціювати вираз (9.34) за х:

_ d2LLm (х) = Z  dI-m (X)

dx2       _     dx ' а праву частину отриманого рівняння перетворити на підставі виразу (9.35):

_ y(x). (9.36)

dx

Рівняння (9.36) зазвичай записують у стандартній формі:

dUm2(x)_Y2Um(x) = 0, (9.37)

dx

де Y = -\JZ1Y1 = a + jp - коефіцієнт поширення; a - коефіцієнт ослаблен­ня (загасання); Р - коефіцієнт фази.

Слід зазначити, що загалом в лінії з втратами коефіцієнт ослаблення за­лежить від частоти, а коефіцієнт фази є нелінійною функцією частоти.

Однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку (9.37) в теорії хвильових процесів є одновимірним випадком відомого у математичній фізиці рівняння Гельмгольца9.

Аналогічний вигляд має диференціальне рівняння для -_m (x):

2

d4m^_Y2-m(x) = 0. (9.38)

dx

2 2

Для рівнянь (9.37) і (9.38) характеристичні рівняння однакові: p _ y = 0 і мають комплексні корені    p   = + y = +a + jp.

Загальний розв'язок диференціального рівняння (9.37) має вигляд:

Um (x) = A1e ~F + A2 eYx = Ale "ax_j (Px _yAi) + A2 e ax+j (Px+yA2), (9.39) де Ai = A1ejyA1; A2 = A2ejyA2 - сталі інтегрування.

Від комплексної амплітуди напруги можна перейти до її миттєвого зна­чення у довільному перерізі:

u(tx) =Re Um (x)ejGit = A1e"axcos(cot _ px + уA1) +A2eaxcos(cot + px + уA2) (9.40)

9 Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд, Иеіішюн^; (1821-1894) - німецький вче­ний, працював в області фізики, математики, фізіології та психології. Дав першу ма­тематичну трактовку закону збереження енергії. Вперше застосував принцип наймен­шої дії до теплових, електромагнітних та оптичних явищ. Обгрунтував особливості вихрового руху рідини, який покладено до основи гідро- та аеродинаміки. В матема­тиці досліджував геометричні аксіоми і ріманів простір. Увів у математичну фізику рівняння, назване його ім'ям. В області фізіології вивчав нервову і м'язову системи, органи зору та слуху. Для цього сконструював декілька оригінальних вимірювальних приладів.

Запис (9.40) відрізняється від виразу (9.20) тільки наявністю експоненційних множників. Тому перший доданок у виразі (9.40) є миттєвим значенням падаючої ипад , х), а другий - відбитої ивід , х) хвиль у довільному

перерізі лінії. Запис ипад , х) та ивід , х) у різних формах:

_        2п    2п _ «пад (ґ, х) = Ахєх соБ(уґ _ х + уаі) = Ахє~ах соб[со(ґ _ хіу) + уА1]; (9.41)

«від , х) = Л2*ах сов(—ґ + —х + ул2) = Л2*ах соб[со(ґ + х і у) + ул2І (9.42)

1 А

дозволяє ввести вельми важливі вторинні параметри лінії: довжину хвилі А = 2п і в та фазову швидкість поширення хвилі V = соїр .

Графіки падаючої та відбитої хвиль напруги зображені відповідно на рис.9.6 і 9.7. Аналіз графіків дозволяє зробити такі висновки:

1) у довільний фіксований момент часу ґк падаюча (рис.9.6, б) і відбита

(рис.9.7, б) хвилі є коливаннями з експоненційним законом змінювання амплітуд вздовж лінії та періодом, який дорівнює довжині хвилі А;

2) падаюча хвиля з часом пересувається від входу лінії до навантаження з фазовою швидкістю V (рис.9.6, б), при цьому амплітуда хвилі зменшується у напрямку навантаження;

3) відбита хвиля з часом пересувається від навантаження до входу лінії зі швидкістю V (рис.9.7, б), причому амплітуда хвилі зменшується при набли­женні до входу лінії;

4) у будь-якому перерізі лінії хк ці процеси змінюються у часі за сину­соїдним законом (рис.9.6, в і 9.7, в) з частотою со (періодом Т = 2пї со) і мають різні амплітуди і початкові фази у різних перерізах хк;

5) процеси «пад , х) та ивід , х) як функції часу і координати наочно по­дають їхні аксонометричні відображення (рис.9.6, а і 9.7, а); таке подання, крім перерізів ґ = ґк та х = хк, дозволяє показати фронт (гребінь10) хвилі, за якого ар­гумент «пад (ґ, х) чи «від (ґ, х) є цілим числом 2п.

Сталі інтегрування визначають з початкових (граничних) умов для х = 0:

\Ит (0) = иті = Лі + Л2;

(9.43)

= _21 Іт (0) = _2-1 Іт1 = Л1 + УЛ2 .

їх=0

Складаючи перше рівняння системи (9.43), використовують формулу (9.39), а друге - формулу (9.34) при х = 0.

Розв'язання системи (9.43) дозволяє знайти сталі Л1, Л2:

Лі = ті +       Іті)І2;   Л2= 0^1 _ ^овІті)І2, (9.44)

де 2 хв = л/211Г1 - хвильовий опір лінії.

10 На рис.9.6, а і 9.7, а показані осі, які відповідають гребеням з нульовими значення­ми аргументів.

Рисунок 9.6 - Графіки падаючої хвилі напруги у ДЛ при Ч'ді = 0: а - аксонометричне подання; б - розподіл уздовж лінії для моментів часу ік; в - залежність від часу в перерізах лінії хк

Рисунок 9.7 - Графіки відбитої хвилі напруги у ДЛ при Ч'дг = 0: а - аксонометричне подання; б - розподіл уздовж лінії для моментів часу їк; в - залежність від часу в перерізах лінії хк

Підстановка виразів (9.44) до рівняння (9.39) дозволяє подати комплексну амплітуду напруги у довільному перерізі лінії як суму комплексних амплітуд падаючої та відбитої хвиль:

Ит (х) = Пт   (х) + Пт від (х) = Пті + 7хв Іті е"-х + Пті" 7хв Іті е -х, (9.45)

або: Пт (х) = \Lm\ch-x - 7 хв ІтізЬ -х. (9.46)

Використовуючи отримані співвідношення для напруги, з рівняння (9.34) визначають комплексну амплітуду струму:

_   (х) =__\_ СПт (х) =   -  Пт1 + 7хв Іті е--х - Л_ Пт1 - 7хвІті е-х =

71    сіх       7_ і 2 7^ і 2

= Пт1+7хв Іті е---х - Пті-77хв 1ті Є--х = /тпад(х) + Ітвід (х), (9.47) 27 хв 27хв

де     Ітпад(х) = Птпад(х)/7хв '     Ітвід(х) =твід(х)/7хв     - комплексні

амплітуди, відповідно, падаючої та відбитої хвиль струму.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації