Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

03и30 + 04(и30 - и10) - 06(и20 - и30) - Ідж4 + Ідж3 = 0 .

Після групування доданків з вузловими напругами в лівій частині кожно­го з рівнянь системи (2.27) і перенесення відомих струмів джерел до правих частин рівнянь формується стандартна система методу вузлових напруг:

(01 + 04 + 05)и 10 - 020 - 04и30 = Ідж1 - Ідж4;

< -05иш + 2 + О5 + 0620 - 06и30 = - Ідж 2; (2.28)

-04и10 - 06и20 + (03 + 04 + 06 )и30 = Ідж4 - Ідж3.

Аналіз системи рівнянь (2.28) дозволяє зробити такі висновки:

- у лівій частині кожного з рівнянь системи напруга вузла, для якого складається рівняння, помножується на суму провідностей віток, увімкнених до даного вузла;

- вузлові напруги, номери яких не збігаються з номером вузла, для якого складається дане рівняння, помножуються на взяті зі знаком мінус провідності віток, увімкнених між цим та іншими вузлами;

- права частина кожного з рівнянь системи є алгебраїчною сумою струмів джерел, увімкнених до вузла, для якого складається рівняння; струми джерел, спрямованих до вузла, мають знак плюс, інакше - знак мінус.

Вказані закономірності покладено в основу понять: власна провідність вузла, взаємна провідність вузлів і вузловий струм джерел.

Власною провідністю вузла називається сума провідностей всіх віток, увімкнених до цього вузла. Власні провідності вузлів завжди додатні і позна­чаються подвійними індексами, що повторюють номер вузла (011, 022 тощо).

Взаємною провідністю вузлів називається сума провідностей віток, які сполучають два незаземлених вузли. Взаємні провідності позначають подвійним індексом, складеним з номерів вузлів, для яких ця провідність є спільною (012 = Огх; 023 = 032 тощо). Взаємні провідності завжди від'ємні,

якщо вузлові напруги направлені до базисного вузла.

Вузловим струмом джерел називається алгебраїчна сума струмів джерел, увімкнених до даного вузла. Струми джерел, спрямовані до вузла, входять у вузлові струми джерел зі знаком плюс, а струми джерел, спрямовані від вузла, - зі знаком мінус. У позначеннях вузлових струмів джерел використовують один числовий індекс, що відповідає номеру вузла (/вз1, /вз2 тощо).

З урахуванням введених понять система рівнянь (2.28) матиме вигляд:

^11^10 + р12и 20 + р13и30 = 7вз1 ;

^10 + ^22^20 + ^23^30 = Івз2 ; (2.29) Оз1^10 + ^32^20 + ^33^30 = Лзз3 .

де Оц = 01 + О4 + 05; = <°2 + °5 + °6; °33= °3+ °4+ °6 ; °12=°21=-°5;

°13 = °31 = -04 ; °23 = °32 = -06 ; ^вз1 = ^дж1 - ^дж4 ; ^вз2 = -^дж2 ; Лзз3= ^дж4- ^дж3 .

Система (2.29) є стандартною формою запису рівнянь у методі вузлових напруг для будь-якого кола з трьома вузлами і, отже, з трьома вузловими на­пругами. Подібну форму запису мають системи рівнянь для кіл і з іншою кількістю вузлів. У загальному випадку для кола з N вузловими напругами сис­тема рівнянь методу вузлових напруг має вигляд:

011и10 + 012и20 + G1NUN 0 = Лзз1 ; 021и10 + 022и20 + °2NUN0 = Лзз2 ;

(2.30)

GN 1^10 + GN 2^20 + GNNUN 0 = IвзN

У матричній формі систему (2.30) стисло можна записати так:

(вг] )(и 0 ) = ( Ів31), (2.31) де у) - квадратна матриця власних і взаємних провідностей вузлів або скорочено - матриця провідностей; ([Уг 0) - матриця-стовпець вузлових напруг;

(Лзз/) ~ матриця-стовпець вузлових струмів джерел; і, і - відповідно номери рядка і стовпця елементів матриць.

Матриця провідностей симетрична, оскільки Су

На головній

діагоналі цієї матриці розташовані власні провідності вузлів Си .

Розв'язок матричної системи (2.31) відносно невідомої матриці вузлових напруг можна записати у вигляді:

де0 )=(Су      (I),

(Су )—1 - обернена матриця провідностей.

(2.32)

Розв'язуючи систему (2.29) вузлові напруги, наприклад: із застосуванням визначників обчислюють

10

1 взі

С12

С13

1 вз 2

С22

С23

1 вз3

С32

 

 

11

Івз1 +

21

Івз 2 +

31

(2.33)

вз3

Ае

де

А11,

А12

= А 21,     А13 =А31     - алгебраїчні

Си

С12

С13

 

 

С21

С22

С23

визначник матриці провідностей.

С31

С32

С33

 

 

доповнення;

Аналізуючи коло методом вузлових напруг, виведення рівнянь можна не робити і виконувати розрахунки в такому порядку:

- еквівалентно замінити реальні джерела напруги на джерела струму;

- вибрати один з вузлів як базисний і відповідно позначити його індексом «0» (див. рис.2.16), а інші вузли пронумерувати;

- вибрати у напрямку «бази» умовні позитивні напрями вузлових напруг і струмів у вітках, увімкнених до базисного вузла; умовні позитивні напрями інших напруг прийняти довільними;

розрахувати власні та взаємні провідності вузлів, вузлові струми дже-

рел;

записати і розв'язати систему рівнянь за методом вузлових напруг; за знайденими вузловими напругами обчислити напруги між іншими (незаземленими) вузлами схеми; ці напруги визначаються за другим законом Кірхгофа для контурів, утворених невідомою і вузловими напругами; — згідно із законом Ома розрахувати струми у вітках. Запис системи рівнянь не є обов'язковим. Маючи певні навички, можна безпосередньо використовувати співвідношення (2.33) або (2.32).

Якщо у колі є ідеальні джерела напруги, застосування методу вузлових напруг має особливості. У цьому випадку деякі напруги між вузлами відомі і дорівнюють заданим ЕРС ідеальних джерел. Якщо як базисний вибрано вузол, до якого увімкнено ідеальне джерело напруги, відомою стає пов'язана з ним вузлова напруга. Це скорочує кількість невідомих вузлових напруг і, відповідно, зменшує кількість необхідних рівнянь.

Отже, перевагою методу вузлових напруг є менша кількість рівнянь у порівнянні з методом рівнянь Кірхгофа, однотипність цих рівнянь і простота їх розв'язання за допомогою визначників і матриць. Застосування методу обмежується тим, що він використовується для аналізу тільки лінійних кіл.

Найбільшу перевагу має метод вузлових напруг при розрахунку кіл з двома вузлами і довільною кількістю віток. Наприклад, на рис.2.17 зображені два варіанти схем кола з двома вузлами і N невідомими струмами. За умови рівності опорів (01 = 1/Я1, G2 = 1/Я2, ... ,Є}і = 1/Я}і) обох кіл і при виконанні

співвідношень між параметрами джерел Ідж1 = Ех/Я1, I 2 = Е2/Я2, ... , /джЛг = /кола (рис.2.17) еквівалентні. Еквівалентність полягає у рівності вузлових напруг и10 цих кіл. Однак струми у відповідних вітках таких еквівалентних схем у загальному випадку не дорівнюють один одному, і тому вони позначені різними індексами (індексом «а» - для схеми (рис.2.17, а) та індексом «б» - для схеми (рис.2.17, б).

1

■ • ......-

І1а І2а Ла

0

ї

а

 

 

 

 

•   • •

 

Я1

 

Я2

 

 

 

Ідж1

1

б

Рисунок 2.17 - Схеми кіл з двома вузлами

Вузлова напруга для схеми (рис.2.17, б) визначається з одного рівняння:

Сцию = Івз1, звідки

^10 = Івз1/ С11-

N

N

^ ■ і V

де Івз1 = X Іджк - вузловий струм джерел вузла 1; G11 = ^ Ок

к=1 к=1

провідність вузла 1.

власна

Струми у розглянутих схемах можна подати через вузлову напругу:

І1а = ^1(и10 - Е1) = І1б - Ідж1; І2а = ^2 (и10 - Е2) = 12б - Ідж2 ;

ІУа = ('.\ 10 - ЕУ ) = ІУб - ІджУ .

Порівняння цих виразів показує, що І1а ф І1б, 12а ф і2б та ін. 2.5 Метод накладання

Метод накладання базується на однойменному принципі, так званому принципі суперпозиції або незалежності дії. Принцип накладання, а отже, і да­ний метод, справедливі тільки для лінійних кіл.

Використовуючи вирази (1.1), (1.10), (1.17), що пов'язують струми і на­пруги в пасивних лінійних елементах Я, Ь, С, можна показати, що для цих еле­ментів справедливе співвідношення

і(к1и1 ±к2м2 ±...±кпип) = к1/(м1)±к2і(и2) ±...кпі(ип),

де кп - будь-які дійсні числа.

Для окремого випадку, коли к1 = к2 = ... = кп = 1, це означає, що струм в

будь-якому лінійному елементі дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які викли­кані в цьому елементі кожною з прикладених до нього напруг (або джерел ЕРС). У цьому полягає принцип накладання для лінійних елементів. Цей прин­цип справедливий також для напруги на лінійному елементі у разі паралельного увімкнення до нього декількох джерел струму.

Із справедливості принципу накладання для лінійних пасивних елементів випливає можливість його застосування для струмів і напруг будь-якого лінійного кола, що містить декілька джерел. Принцип накладання формулюєть­ся так: струм будь-якої вітки лінійного електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі струмів, викликаних в цій вітці кожним з джерел окремо. Аналогічно принцип накладання можна обгрунтувати для напруги на будь-якій ділянці лінійного кола.

Наприклад, режим у колі (рис.2.18), можна подати як сукупність чотирьох окремих режимів (рис.2.19). У кожній з окремих схем діє одне з джерел, а інші джерела виключені. Виключення джерела напруги означає замикання його затискачів, а виключення джерела струму - їх розмикання. Відповідно до принципу накладання струм у п-й вітці та напруга на п-му елементі розглядуваної схеми є алгебраїчними сумами відповідних струмів і напруг в окремих схемах:

Іп = Іпа    Іпб + Іпв + Іпг ; ип = ипа ипб + ипв + ипг .

Розв'язання задач методом накладання полягає в знаходженні і подаль­шому алгебраїчному підсумовуванні часткових струмів (або напруг) від кожно­го (або від груп) з джерел. Визначаючи частковий струм від одного джерела (див., наприклад, схеми, зображені на рис.2.19), доцільно застосовувати метод еквівалентних перетворень.

Слід зауважити, що принцип накла­дання не справедливий для потужності в опорі, оскільки потужність є квадратичною функцією струму (або напруги). Для даного прикладу (рис.2.19) це відповідає очевидній нерівності:

п п~

Рисунок 2.18 - Схема лінійного кола з чотирма джерелами

ф Я 12 + Я 12 + Я 12 + Я Іх

п па       п пб       п пв       п пг

Принцип накладання для лінійних кіл є окремим випадком подібного принципу для будь-яких   лінійних   систем (механічних, гідравлічних та ін.). У загальному випадку принцип накладання формулюється так: дія суми причин дорівнює алгебраїчній сумі дій від кожної з цих причин, які діють окремо.

б

в

Іпг

т

1

Ідж2

Рисунок 2.19 - Окремі схеми для визначення методом накладання струму Іп і напруги 1]п кола (рис.2.18)

Приклад 2.6. Розрахувати методом накладання струм І1 у колі (рис.2.20), як­що Е1 = 20 В; Е2 = 30В; Ідж = 80 мА; Я1 = 3 кОм; Я2 = 2 кОм.

ОФ

Rl

Е2 Ідж

R2

X

і к

Ila г

Еі

ОФ

Rl

X

і16

R2

X

Rl

X

R2

а б

Рисунок 2.20 - До прикладу 2.6 Рисунок 2.21 - Окремі схеми до прикладу 2.6

Розв 'язання. Для визначення струму Д методом накладання скористуємося двома окремими схемами (рис.2.21). У першій з цих схем (рис.2.21, а) виключимо джерело струму, а у другій (рис.2.21, б) - джерела напруги Еі і Е2. Очевидно, що розглядати в даному прикладі три окремі схеми недоцільно, оскільки при виключенні джерела струму виходить одноконтурна схема з єдиним струмом ІХа (рис.2.21, а).

Розрахуємо часткові струми !Ха та      і визначимо шуканий струм І1: І1а = Е1 + Е2/( Я1 + Я2) = 50/5 103 = 10 10-3 А = 10 мА;

I16 їдок R2

SO lO-3 ■ 2 ■ lO3

Ri + R2

(3 + 2) ■ lO3

22мА

Від'ємне значення знайденого струму показує, що його фактичний напрям протилежний вибраному на рис.2.20.

2.6 Метод еквівалентного генератора

Метод еквівалентного генератора заснований на двох теоремах про ак­тивний двополюсник. Це - теорема про еквівалентне джерело напруги (теорема Тевенена ) і теорема про еквівалентне джерело струму (теорема Нортона ). В основу цих теорем покладено поняття двополюсника як частини електричного кола з двома затискачами (полюсами). Напруга на розімкнених затискачах дво­полюсника називається напругою холостого ходу ихх.

1 Тевенен, M. L. Thevenin (1857-1926) - французький телеграфний інженер. У 1883 р. відкрив теорему про еквівалентне джерело напруги. Однак відомо (Harold Hal-likainen. Thevenin's Theorem. Radio World - December 13, 1995), що вперше аналогічну теорему в 1853 р. сформулював німецький вчений Герман Гельмгольц, Herman Von Helmholtz (1821 - 1894).

Ед. Нортон, E. L. Norton (18..- 19..) - інженер, а згодом начальник відділу телефон­ної лабораторії Бела (США); у 1926 р. запропонував нове формулювання теореми, замінивши джерело напруги джерелом струму.

6O

Якщо до складу двополюсника входять тільки лінійні елементи, то дво­полюсник називається лінійним. В іншому випадку двополюсник є нелінійним.

Розрізнюють пасивні й активні двополюсники. Пасивний двополюсник не містить джерел, або вони так компенсують одне одного так, що напруга холо­стого ходу дорівнює нулю (Цхх = 0). Основним параметром пасивного двопо­люсника є вхідний опір Явх, яким можна еквівалентно замінити пасивний дво­полюсник (рис.2.22).

Г-О

«П»

|^хх=0 си)

Ь-о

Лх

Активний двополюсник містить дже­рела, які на розімкнених затискачах ство­рюють відмінну від нуля напругу холосто­го ходу (Цхх ф 0). Другим параметром ак­тивного двополюсника є його вхідний опір Явх - опір з боку його вихідних затискачів при виключених активних елементах.

Виключення активних елементів полягає в замиканні ідеальних джерел напруги і розмиканні ідеальних джерел струму.

Позначення активного двополюсника і значення його параметрів (напру­ги холостого ходу і вхідного опору) показані на рис.2.23.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації