Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 88

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Н и (р)

к' V (р)

(10.2)

мають назву поліномних фільтрів, оскільки їх частотні властивості визначають­ся поліномом Гурвіца V(р). До значення константи к' ніяких вимог не ста­виться, тобто поліномні фільтри відтворюють задану АЧХ з точністю до кон­станти. Щоб перейти до функції ослаблення АР (ю), спочатку слід визначити

амплітудно-квадратичну характеристику Ни(ю) на підставі формули (8.92). Враховуючи співвідношення (10.2), можна записати:

Н2(сю)

V 2(соУ

(10.3)

де кК - константа (причому к' = лДя"), значення якої можна вибрати

довільно. За умови кК = 1 вирази (10.1) і (10.3) набувають вигляду:

АР (ю) = 101§ V 2(ю);

Н 2(ю)

1

V 2(ю)

(10.4)

(10.5)

Виходячи з формули (8.86), дійсна та уявна частини полінома V(ю) - це парні функції частоти ю . Отже, квадрат модуля V(ю) також є парною функцією частоти ю :

V 2(ю) = ^(со) + ю2 ^(со),

яку можна представити як поліном змінної ю2 :

V2(ю) = Сп ю2 п + Сп-1 ю2( п-1) + •• + С2 ю4 + С1 ю2 + С0. (10.6)

На підставі виразів (10.4), (10.5) АР(ю), Ни(ю) - також парні функції ю .

Задача апроксимації полягає у визначенні, по-перше, - таких коефіцієнтів полінома (10.6), які б задовольняли вимогам:

\АР (сод) < Ад; [АР (юя) * А5,

(10.7)

а по-друге, - ОПФ за допомогою АР (ю) . Оскільки ця задача є неоднозначною, доцільно розглянути деякі способи її розв'язання.

10.4. Фільтри з характеристиками Баттерворта

З огляду на співвідношення (10.4) вимоги до частотної характеристики ослаблення (рис.10.2) можна застосувати до функції V (ю) (10.6): чим менше у смузі пропускання відрізняється від нуля ослаблення АР (ю), тим менше від

одиниці має відрізнятися функція V (ю) у цій смузі. Така поведінка притаман­на функціям, що представлені рядом Маклорена[10] поблизу точки ю = 0, якщо виконуються вимоги:

V

2 (0)

0;

V [11](со) V[12] (0) = 1;

0; ...;

2(п-1)

V[13] (0)

0.

(10.8) (10.9)

2 2

Щоб врахувати умови (10.9), визначають похідні V (со) за со :

V

2 (с) = пСпсо2(п-1) + (п - 1)Сп_1с2{п-2) + - • • + 2со[14]+ С1; 2 (со) = п(п - 1)Спсо2(п-2) + (п - 1)(п - 2)Сп_1с2{п-4) + - • • + 2С2;

V

або

IV 2( п-1) (со) = п(п -1) ... 2Сп со[15]+ (п - 1)(п - 2).... 2Сп-1,

V[16] (0) = С1; V[17]" (0) = 2С2;

(10.10)

V ^(0) = (п - 1)(п - 2) ... п-1. За умови (10.8) на підставі співвідношення (10.6) виходить:

V [18](0) = С0 = 1. (10.11) З урахуванням рівнянь (10.10) виконання умов (10.9) призводить до вимог:

С = С2 = - = Сп-1 = 0. (10.12) За умов (10.11) і (10.12), рівняння (10.6) перетворюється до вигляду:

V[19](со) = 1 + Сп со2п.

При Сп = 1 виходить:

V[20](ю) =1 + со2п. (10.13) З метою узагальнення запису, доцільно ввести нормовану частоту:

0 = —. (10.14)

Тоді вирази (10.13), (10.4), (10.5) відповідно матимуть вигляд:

V[21](Q) =1 + О2п ; (10.15)

АР (О) = 101ё(1 + О2п); (10.16) #£(0) = —Кг. (10.17)

1 + о2п

Слід зауважити, що частотна характеристика ослаблення та АКХ - парні функції частоти О. Фільтри із залежностями (10.16), (10.17) мають назву фільтрів з характеристиками Баттерворта (ФБ), причому п є порядком фільтра.

За умови О = 1 (на частоті со = сгр) функція V (1) = 2, ослаблення ФБ станови­тиме 10^2 = 3 дБ. Отже, АР (сгр) = 3 дБ; Ии (сгр) = 1/л/2 на підставі виразу

(10.17).

Оскільки для ФБ виконуються умови (10.9), які при відході від частоти

О = 0 забезпечують повільне зростання функцій V (О), АР (О) і, як наслідок,

повільний спад Ии (О), ФБ мають ще назву фільтрів з максимально плоскими

характеристиками ослаблення. Графіки залежностей АР(со) і Ии (со) для

різних значень п зображені на рис.10.3.

У смузі затримання для частот О >> 1 одиницею у виразі (10.16) можна знехтувати, і тоді ослаблення визначиться як АР (О) = 20п \% О . При збільшенні

частоти вдвічі 2 =2О1; 1§(О2/ О1) = 0,3), або на октаву, приріст ослаблення

становитиме:

АР (О2) - АР (О1) = 20п ^(О 2 / О1) = 6п дБ. (10.18)

Отже, необхідний приріст ослаблення у СЗ можна забезпечити, збільшуючи значення п .

Оскільки від доданка О2п у знаменнику формули (10.17) за умови О >1 залежить швидкість спадання АКХ, його пов'язують ще з функцією фільтрації і вводять позначення:

1 + ф2(О)

2

де ф (О) - квадрат модуля функції фільтрації.

(10.19)

Рисунок 10.3 - Частотні залежності ФНЧ Баттерворта: а - ослаблення; б - коефіцієнта передачі за напругою

Тоді з урахуванням виразу (10.15) знаменник АКФ (10.19) можна записа­ти:

V 2(О) = 1 + ф2(О). (10.20)

Функція фільтрації ф(р) є функцією комплексного змінного р .

Порівнюючи вирази (10.17) і (10.19), можна зробити висновок, що для ФБ квадрат модуля функції фільтрації

ф2(О) = О2п. (10.21)

Тоді частотна залежність ослаблення (10.16) становитиме:

АР (О) = 10^[1 + ф2(О)]. (10.22)

Порядок фільтра п визначається кількістю ланок фільтра, тобто може бу­ти тільки цілим числом. Щоб знайти п, до системи (10.7) слід підставити вираз (10.16) для відповідних частот:

р (Од) = 10ів(1 + ОДп) < Ад;

Ар (О,) = 10ів(1 + 0^) > А,.

Внаслідок переходу від нерівностей до рівностей система (10.23) приймає вигляд:

10^(1 + 0Дп) = Ад;

^      27     д (10.24)

10ІЄ(1 + О2п) = А,.

Якщо поділити обидва рівняння системи (10.24) на 10 і пропотенціювати, виходить:

100ДАд = 1+ О

2п А ;

2п

і або <

[ю0,1А. = 1+О2п, [О2п = 100,1А -1.

Оскільки О5 >ОА (див. рис.10.2),

О Ап = 100,1Аа- 1;

100,1А -1

100,1 аа - 1

(10.25)

або після лога-

рифмування: звідки

2п 1д °- = ^(100ДА -1) - 1ё(100ДАА -1) 1ё(100,1А- -1) - ^(100ДАа -1)

п

(10.26)

2ів(О,/Од)

Як правило, отримане з цього рівняння значення орієнтовного порядку

фільтра п - число дробове. Щоб визначити порядок фільтра, п* слід збільшити до цілого значення:

п > п\ (10.27) при цьому рівняння (10.24) перетворяться на вихідні нерівності (10.23).

Для визначення п не потрібно знати нормовані частоти, оскільки

°д_ = ^д_ = [д_

(10.28)

Денормування частотних характеристик потребує визначення граничної

частоти, яку можна знайти, користуючись саме дробовим значенням п з будь-якого рівняння системи (10.24). З огляду на формули (10.14) і (10.25) виходить:

сА = (100ДАа - 1)1/2п*

або

су,

°>8 = (100,^Л - 1)1/2п*

звідки

с гр

су,

су„

—. (10.29)

(100,^Аа - Г)1/2п       (100,^Л - 1)1/2п

Щоб отримати залежність ослаблення від абсолютних значень частоти, слід нормовану безрозмірну частоту О, що відкладена за віссю абсцис (рис.10.3), замінити частотою со = Осо^ на підставі співвідношення (10.14).

Щоб визначити ОПФ, на підставі виразу (8.83) записують аналогічне рівняння, яке встановлює зв'язок між комплексним коефіцієнтом передачі за напругою та ОПФ для нормованих значень аргументів:

" (10.30)

де р нормоване значення комплексної змінної:

с

) ;

звідки і

с гр (10.31)

(10.32)

Зв'язок між модулями лівої та правої частин рівняння (10.30) встановлю­ють, враховуючи вирази (10.5) і (10.32):

#2(О) 1

О=-ір   V 2(О)

Ии (Р)\

1

З огляду на формули (10.19), (10.20) і (10.32) виходить:

V (р)2 = 1+ Ф 2(О)

(10.33)

(10.34)

Щоб визначити полюси Ии(р)| , прирівнюють нулю знаменник (10.33):

звідки або

V (Р )2 = 1 + (-іР)2п = 0,

. 2к-1

ірк = 1пІ-\ = Є     П, к = 1,2,2п,

(10.35)

-1      . . 2к -1

-П + і БІЙ.

т у зш-

2п 2п

Поділивши обидві частини останнього виразу на - і, можна знайти нор­моване значення кореня р:

2к

2п

-1

-71

+ І СОБ-

2к

2п

-1

—П,

к = 1,2,

2п.

(10.36)

р1

Іт р

р6

р2

/п /3/\

І

п /3 x

• р5 *-►

р3ч у

к =1, 2, 3

і

і

/

/

Визначені за формулою (10.36) нормовані корені ФБ лежать на колі оди­ничного радіуса на однаковій відстані один від одного. Як приклад на рис.10.4 показано  розташування  коренів   р на

комплексній площині для п = 3 .

Як видно з рис.10.4, кути між радіусами, проведеними у точки полюсів, однакові й загалом становлять величину Ф = п/п; числові значення полюсів ви­значені нижче у прикладі 10.1 для п = 3 .

Якщо у виразі (10.36) удвічі змен­шити верхню межу значення к, тобто к = 1,2, к, п, корені  рк належатимуть

тільки   лівій   півплощині   та утворять поліном Гурвіца, який, враховуючи визна­чений спосіб розташування коренів, має ще назву полінома Баттерворта і може бути представлений у вигляді:

V(р) (р - рк). (10.37)

к=1

к =1, 2, 6

Рисунок 10.4 - Полюси ФБ третього порядку

• • • •>

Це дозволяє на підставі виразу (10.2) за умови к' = 1 визначити ОПФ поліномного фільтра:

Hu (p) = n    1       . (10.38) П (Р - Рк)

к=1

Для двох комплексно-спряжених коренів p12 = -ст ± jco, які лежать на колі одиничного радіуса (ст + со = 1), поліном V (p) має вигляд:

V(p) = (p - р1)(р - p2), або V(p) = p2 + 2стр + 1. (10.39)

З виразу (10.39) видно, що визначення нормованого полінома не потребує обчислення уявної частини комплексно-спряжених коренів.

Тому поліном Баттерворта (10.37) можна представити у вигляді:

m

V(p) =П (p2 + 2akp + 1); m = n/2, (10.40)

к=1

-1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації