Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 89

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

де стк = sin-п, к = 1,2,      n - реальна частина виразу (10.36).

2n

Це дає можливість реалізовувати ОПФ (10.38) ланками другого порядку для парного n . Поліном Баттерворта для непарного n міститиме, крім m ланок другого, ще одну ланку першого (або m -1 другого та одну третього) порядку:

V(p) = П (p2 + 2стkР +1)(p + ст), m = ^. (10.41)

к=1 2

Отже, залежно від того, парним чи непарним є порядок n ФНЧ Баттервор­та, його ОПФ визначається на підставі виразу (10.38), до знаменника якого слід підставити добуток (10.40) або (10.41).

Загалом поліном Баттерворта має вигляд:

V (p) = pn + bn-1 pn-1 + ^ + b1 p + 1. (10.42)

Коефіцієнти поліномів Баттерворта для різних n наведено у табл.10.1. Визначення денормованої ОПФ потребує підстановки до виразу (10.38) нормованого значення p з урахуванням (10.14):

p = УП = j = p , (10.43)

тобто

Hu (p) = Hu (p) = V(p)

V(p)

. (10.44)

Ір=р /аТр

Після такої підстановки знаменник ОПФ ланки другого порядку (10.39) матиме вигляд:

V (р) = р2 + 2<тр + ^        =--гр^-гр. (10.45)о ю

OS

 

 

 

 

 

 

 

 

653924532

00

 

 

 

 

 

 

 

in

о

г~-г~-

00

г-in

on

2

г~-со

о" 2

 

 

 

 

 

 

 

on о

3

8

2 in"

8

in

о сч о

00

сч" 4

 

 

 

 

 

 

сч

9

9

со

9

2

г­о г~-

3 со"

3 4

со

6 3

3 6 9 3

сч

8

00

6

Ті

 

 

 

 

со

3

о

г~-

3 6

00^

г-

4

3

8

9

о

сГ

о in

6 4

00^

2

г-

8

3 6

8

о^

4

2 9 2 4

со

3

сч

 

 

 

о

00

6

о

6 3

СЧ

о

4 6

г-'

9 3 9

г~-

9

9

in

3

8 8

in

2

8

3 6

8

о^

4

3 6 9 3

сч

8

00

6

 

 

 

on

in

2 3

г-2

о

00

6

о

6 3

in

сч о

2 6

9 3 9

г~-

9

о in

6 4

2

3 4 3 6

3

о сч о

00

сч" 4

 

о о о о о о о

г-2

3

2 4

СП

о

00

6

о

6 3

in"

о

4 6

г-'

г-

4

3

8

9

о

о"

сч

г­о г~-

3 со"

8

г-in

on

2

г~-со

сГ 2

 

6 3

2 4

о о о о о о о

г-2

on

2 3

г-2

о

00

6

о

6 3

со

3

о

г~-

3 6

00^

со"

сч

9

9 3 9

on о

3

8

2

in

о

г~-

8

in

2 3

сч

9

со

 

CN

со

 

in

 

 

00

ctn

о

Ю. О.Коваль,

І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

Приклад 10.1. Визначити нормовані корені та ОПФ ФНЧ Баттерворта третього порядку, якщо гранична частота согр = 10 рад/с.

Розв язання. Виходячи з виразу (10.36), обчислимо нормовані корені Hu (Р)\

для n = 3 при змінюванні величини k у межах k = 1...6 :

_        .  л    .     л     _ _    . л/3      _        . л

p1 = - sin — + j cos — = -0,5 + j —;     p2 = - sin= -1;

1 6 6 2 2 2

p3 = - sin+ j cos= -0,5 - j-;   p4 = - sin+ j cos= 0,5 - j ;

3 6 6 2       4 6 6 2

p5 =- sin =1; p6 =- sin^- + J cos~r = 0,5 + J-r.

2 6 6 2

Рис.10.4 ілюструє розташування знайдених коренів на комплексній площині, які розміщені на колі одиничного радіуса. Зліва лежать корені, що утворюють поліном Баттерворта (k = 1, 2, 3). За формулою (10.41) отримуємо:

V(p) = (p2 + 2ст1 p + l)(p + а2) = (р2 + p + l)(p +1) = р3 + 2p2 + 2p +1.

Слід зауважити, що значення коренів відповідають табл.10.1.

З урахуванням співвідношення (10.44) денормована ОПФ має вигляд:

109

Hu ( p) = --6-9. (10.46)

p3 + 2 103p2 + 2 106p +109

Приклад 10.2. Визначити ОПФ ФНЧ Баттерворта, якщо на частоті 750 рад/с ослаблення за потужністю Ap(со) не має перевищувати 0,85 дБ, а на частоті 2600

рад/с - бути меншим 22 дБ.

Розв язання. Формалізуємо вимоги до ослаблення за потужністю на підставі виразу (10.23):

Ap(750) = l0lg(l + ОДп) < Ад = 0,85 дБ ;

[AP (2б00) = l0lg(l + Оf) > As = 22 дБ .

(10.47)

Знайдемо орієнтовний порядок фільтра п* за формулою (10.26) для рівностей у системі (10.47):

п' = Ц"0-1*2 -1)-'«(100^5 -1) = 2,6508.

218(2600/750)

Отже, порядок фільтра п = 3 .

Обчислимо граничну частоту ФНЧ за формулою (10.29):

750

^гр = (100,1-0,85 - ^1/2-2,6508 = 1001 *       рад/с .

Оскільки значення п і га^ виявились такими, як у попередньому прикладі, Ни (р) визначатиметься виразом (10.46).

Слід зазначити, що за малої величини Ад реалізація максимально плоских ха­рактеристик ослаблення у смузі пропускання потребує високого порядку п . Уникну­ти цього можна, використовуючи фільтри з іншою апроксимацією ослаблення за потужністю.

10.5 Фільтри з характеристиками Чебишова

На відміну від виразу (10.20), знаменник АКХ ФНЧ може мати іншу функцію фільтрації ф(О) і відповідно інші частотні залежності ослаблення або

АЧХ. Частотна залежність ослаблення у смузі пропускання не повинна виходи­ти за межу Ад, але може мати коливальний характер. СП обмежена частотою

сод (AP (сод) < Ад), тобто її гранична частота сгр = сод . Таку залежність ослаб­лення AP можуть забезпечити поліноми Чебишова :

Tn (Q) = cos( n arccos Q), (10.48)

де Q - нормована частота, причому:

Q = a>/a>L. (10.49) Незважаючи на те, що функція Tn (Q) визначається з рівняння (10.48) як

трансцендентна, вона має всі ознаки полінома. Переконатися у цьому можна, якщо ввести позначення:

arccosQ = Z, (10.50)

де Z загалом є комплексною величиною:

Z = u + jv. (10.51)

Згідно з виразом (10.50)

cosZ = Q. (10.52)

Тоді рівняння (10.48) можна представити у вигляді:

Tn(Q) = cosnZ . (10.53)

Поліноми Tn(Q) визначаються для різних значень n (n = 0,1, 2, 3, ...) з урахуванням співвідношення (10.52):

T0(Q) = 1;  T1(Q) = cosZ = Q;  T2(Q) = cos2Z = 2cos2 Z-1 = 2Q2 -1.

Загалом для поліномів Чебишова справедлива рекурентна формула:

Tn+1(Q) = 2QTn(Q) - Tn-1(Q), (10.54) звідки можна визначити T3 (Q), T4 (Q) тощо, наприклад:

T3(Q) = 2QT2(Q) -T1(Q) = 4Q3 -3Q.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації