Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 90

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Поліноми Чебишова вищих порядків наведено у табл.10.2. Доцільно зауважити, що доданок Cn Qn полінома Tn (Q) з аргументом Q у максимальному степені, містить коефіцієнт Cn, який визначається як

Cn = 2n-1. (10.55)

Чебишов Пафнутій Львович (1821-1894) - російський математик і механік, за­сновник петербурзької математичної школи, академік (1859), член багатьох іноземних АН. Автор понад 70 наукових праць з теорії чисел, теорії ймовірностей, теорії набли­ження функцій, інтегрального числення. Довів так званий постулат Бертрана, встано­вив асимптотичний закон розподілу простих чисел. Довів загальні форми закону ве­ликих чисел, центральну граничну теорему. Заснував новий розділ теорії функцій, складовою якого є теорія найкращих наближень функцій поліномами. Конструював

машини та механізми, створив та вдосконалив понад 80 механізмів._

Таблиця 10.2 - Поліноми Чебишова

n

Tn (Q)

1

Q

2

2 Q2-1

3

4 Q3 - 3Q

4

8 Q4 - 8Q2 +1

5

16 Q5 - 20Q3 + 5Q

6

32 Q6 - 48Q4 + 18Q2 -1

7

64Q7 -112 Q5 + 56Q3 - 7Q

8

128Q8 - 256 Q6 + 160Q4 - 32Q2 +1

9

256Q9 - 576Q7 + 432 Q5 - 120Q3 + 9Q

10

512Q10 - 1280Q8 +1120 Q6 - 400Q4 + 50Q2 -1

Графіки частотних залежностей поліномів Чебишова першого, другого і третього порядків зображено на рис.10.5. Поліноми Чебишова з парним (непар­ним) п є парними (непарними) функціями О.

З аналізу графіків виходить, що на інтервалі -1 < О < 1: у

1)    графік   полінома    Тп (О) ^

перетинає вісь абсцис п разів;

Tn (Q)

Ti(Q)

T,(Q)

2) максимальні відхилення Tn (Q) від нуля за модулем однакові,

спостерігаються n + 1 разів і збігаються зі значенням відхилення на межі інтервалу (Tn (1) = 1);

3) за межами інтервалу Q| > 1

значення полінома монотонно зро­стають.

Перші два висновки виходять з виразу (10.53). У межах СП Q<1, тоді відповідно до виразу (10.52),

можна стверджувати, що  Z  - дійсна величина, тобто  Z = u ,

змінюється   у   межах   ± 2п;   cos Z = cos u < 1.   На   межі СП

перетворюється на рівність.

Щоб у межах СП забезпечити відхилення ослаблення за потужністю від нуля на незначну величину Ад << 3 дБ, необхідно, щоб функція фільтрації за

модулем не перевищувала значення s (s << 1), тобто модуль функції фільтрації

визначають як добуток полінома Чебишова і величини s :

-1

Рисунок 10.5 - Графіки поліномів Tn (Q), n = 1, 2, 3

nZ = nu і нерівністьф(О) = sTn (О). (10.5б) Фільтри з такою частотною залежністю модуля функції фільтрації нази­вають фільтрами Чебишова (ФЧ), a s - коефіцієнтом нерівномірності ослаб­лення. Згідно з формулою (10.22) частотна залежність ослаблення фільтра Че-бишова становить:

AP (О) = lOlg[l + s2Tn 2(О)]. (10.57)

Зменшення значення s призводить до зменшення ослаблення не тільки у СП, а і смугах переходу і затримання, тому не слід зменшувати ослаблення у СП більше, ніж потрібно.

Щоб зрозуміти третю властивість поліномів Чебишова, треба усвідомити, що за межею СП >1) рівність (10.52) може виконуватись тільки за умови комплексного значення Z (10.51), точніше суто уявного:

Z = jv. (10.58)

Тоді, виходячи з виразу (10.52) і враховуючи (10.58), можна стверджува­ти, що

cosZ = cos jv = ch v = О, (10.59)

звідки

v = Arch О . (10.б0)

З огляду на це поліном Чебишова (10.53) для О > 1 з урахуванням виразу (10.58) набуває вигляду:

Tn(О) = chnv, (10.б1)

а після підстановки виразу (10.б0):

Tn (О) = ch( n Arch О). (10.б2)

Отже, враховуючи значення нормованої частоти О у різних смугах, час­тотну залежність ослаблення фільтра Чебишова відповідно до співвідношень (10.48), (10.57), (10.б2) можна представити у вигляді:

l0lg[l + s2 cos2(n arccos О)], О<1; AP (О) = <!    61 v n (10.б3)

[l0lg[l + s2ch2(n Arch О)], О>1.

Графіки частотних залежностей ослаблення для ФЧ другого і третього порядків, а також відповідні АЧХ зображено на рис.10.б. Граничну частоту смуги пропускання Пю визначено на рівні AA: югр = сод .

Оскільки частотні залежності AP (ю) і Hv (ю) у середині СП мають хви­льові відхилення відповідно від нуля і одиниці, причому в однакових межах, ФЧ називають також фільтрами з рівнохвильовими характеристиками.

Визначення параметрів s і n для ФЧ базується на вимогах (10.7):

P(J     д (10.64)

Ap s ) = As,

які трансформуються до вимог стосовно полінома Tn (О).

A.

AP (со)

n = З      n = 2

X

ДА

0

сд

с.

1

HU s )

0

n = 2

\ ч/, n = 3

 

 

-1

1-і-

а

б

сд

Рисунок 10.6 - Частотні залежності ФНЧ Чебишова (п = 2, 3): а - ослаблення; б - коефіцієнта передачі за напругою

З урахуванням співвідношення (10.63) рівності (10.64) набувають вигляду:

2 2

10 lg[1 + s cos (п arccosl)] = AA;

<[l0lg[1 + s2ch2(n Arch Qs)] = As. Враховуючи, що arccos 1 = 0, з першого рівняння виходить:

lg(1 + є2) = 0,1 AA,   або    1 + s2= 100,1Ад , звідки коефіцієнт нерівномірності ослаблення

(10.б5)

звідки

є = л/і00даа- 1. З другого рівняння системи (10.65) виходить:

100,1As =1 + s2ch2(n Arch Qs), або  ch(n Arch Qs)

л/100ДА* -1

(10.бб)

V100,1As -1

n Arch Qs = Arch -

Остаточно порядок фільтра n можна обчислити за формулою:

Arch

-1

n>

-^-. (10.67)

Arch Q s

Значення п слід округлювати до більшого цілого значення, яке задоволь­няє вихідним нерівностям (10.7).

Щоб знайти полюси ОПФ ФНЧ Чебишова (корені V (p)), спочатку визна­чають полюси АКХ. На підставі формули (10.34) з урахуванням виразу (10.56) виходить:

V (Р)2 = 1 + <P2(Q)       = 1 + s2 Тп 2(Q)| .

(10.б8)

Прирівнявши праву частину виразу (10.68) до нуля, після підстановки (10.53) можна записати рівняння, корені якого збігаються з полюсами АКХ:

б

1 + s2 cos2 nZ = 0, (10.69)

звідки

cos nZ = ± j. (10.70) є

Тепер Z вважається комплексною величиною (10.51). Саме визначення Z дозволяє знайти комплексні нормовані корені рівняння (10.68). З урахуванням виразу (10.51) можна записати:

cos n(u + jv) = cos nu ch nv - j sin nu sh nv = ± j (cos jv = ch v; sin jv = j sh v).

s

Якщо прирівняти дійсні та уявні частини отриманого рівняння, виходить система:

fcos nu ch nv = 0;

-1

sin nu sh nv = + .

s

Перше рівняння системи виконується за умови:   cos nuk = 0, тобто nuk = (2k- 1)п/2,   k = 1,2, к, n, або

uk =--,     k = 1,2, к, n. (10.71)

n 2

Якщо застосувати умову (10.71) до другого рівняння, виходить: sin nuk =±1, тоді sh nv = +1/є, звідки

v = + -Arsh-. (10.72) n

Величина v не має індексу, оскільки не залежить від k. Підставивши ви­рази (10.71), (10.72) до формули (10.51), можна записати:

2k -1 л_   1 . Л n   2 n

Нормовану частоту Qk, яка пов'язана з нормованим значенням кореня (Pk = jQk), можна знайти на підставі співвідношення (10.52): cosZk = Qk . Після множення на j виходить:

j cos Zk = j Qk = Pk. (10.74) Позначивши дійсну та уявну частини нормованого значення кореня

Pk =-Ak + j Qk (10.75) і враховуючи формулу (10.51), вираз (10.74) можна записати: - А k + j Q k = j cos Zk = j cos(uk + jv) = j cos uk ch v - j2 sin uk sh v, k = 1, 2, к, n, звідки виходять співвідношення для дійсної та уявної частин рк:

A k =- sin uk sh v;

k k k = 1,2, к, n. (10.76)

Qk =cosukchv;

Zk = uk + jv =-- + j-Arsh-,   k = 1,2, к, n. (10.73)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації