Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 91

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

З системи (10.76) визначають:

к

; соб ик

О к

бІї V сії V

Після піднесення до квадрата та підсумовування виходить рівняння:

А2к

о2

=1,

БІЇ V    СІї V

з аналізу якого можна зробити висновок, що дійсні та уявні частини нормова­них коренів ФЧ к, О) належать до геометричного місця точок, утвореного еліпсом з малою піввіссю бІїV і великою сіїV, відповідно (рис.10.7).

Знаменник нормованої АКХ (10.68) можна перетворити до вигляду:

2 2п

(р)\2 = г 2С2 П (Р " Рк)

(10.77)

к=1

де значення коефіцієнта Сп відповідає виразу (10.55). Нормована ОПФ

має знаменник з удвічі меншою кількістю коренів з від'ємною дійсною части­ною, тобто:

V (р) = 2п-1 гП (Р " Рк )■

(10.78)

к=1

Добуток у виразі (10.78) за умови двох комплексно-спряжених коренів Рі2 = - А ± ]Сї є поліномом другого порядку від р з дійсними коефіцієнтами:

(Р - Р1)(Р - Р2) = Р2 + 2Ар + А2 2. (10.79) Загалом ОПФ поліномного ФЧ (10.2), згідно з виразом (10.78), матиме ви-

гляд:

Ни (Р)

1

П (Р - Рк)

к=1

(10.80)

але може мати інше значення, оскільки не

де коефіцієнт кр =-

К   2п-1 є

змінює форми частотної залежності, а впливає тільки на її рівень.

Іт Р

. і

і

! \

0

І

-к-

АР (О)

Яе Р

А А V

0

1    О.

Рисунок 10.7 - Розташування коренів АКХ ФЧ за умови п = 3

Рисунок 10.8 - Частотна залежність ослаблення ФНЧ, що має „сплески" у СЗ

Корені Рк визначаються зі співвідношення (10.76) з урахуванням формул

(10.71) і (10.72). Аналогічно фільтрам Баттерворта перехід до денормованої ОПФ ФЧ здійснюється на підставі виразу (10.44).

Фільтри Чебишова з малою смугою переходу (соА ---со,) і значною вели­чиною ослаблення А8 мають ОПФ з великим п. Це пояснюється монотонним зростанням ослаблення у смузі затримання, тобто А5 має полюс за умови

со — оо. Зменшити порядок фільтра, не погіршуючи його характеристики АР (О), дозволяє використання іншої апроксимації, ніж у виразі (10.57), яка на відміну від поліномних фільтрів, має у смузі затримання декілька полюсів. На­явність полюса поблизу частоти со, забезпечує різке зростання А5 у смузі пере­ходу. Решта полюсів формує „сплески" ослаблення у СЗ на частотах, що відповідають нулям ОПФ. Графік такої частотної залежності ослаблення пока­заний на рис.10.8.

Частотна залежність ослаблення таких фільтрів замість Т (О) у виразі

2 4

(10.57) містить і (О), де і[22](О) - дріб Золотарьова . Ці фільтри називають

фільтрами з характеристиками Золотарьова або Кауера5, який першим вико­ристав властивості дробу Золотарьова щодо частотних характеристик фільтрів. Такі фільтри ще мають назву еліптичних фільтрів, оскільки полюси і нулі їхніх ОПФ визначають еліптичні функції (відомості про ці функції можна знайти у спеціальній літературі).

На відміну від ФНЧ, визначення ОПФ фільтрів верхніх частот, смугових та загороджувальних фільтрів передбачає два етапи.

Спочатку від вимог до ослаблення за потужністю ФВЧ, СФ, ЗФ перехо­дять до відповідних вимог ослаблення за потужністю ФНЧ. Перетворення час­тотних характеристик фільтрів інших типів до частотних характеристик ФНЧ, який має назву фільтра-прототипу (ФП), здійснюють за допомогою перетво­рення частоти. ОПФ ФП визначають за допомогою розглянутих вище спо­собів. Потім від ОПФ ФП переходять до ОПФ вихідного фільтра. Нижче розглянуто обидва ці етапи для фільтрів різних типів.

10.6 Фільтри верхніх частот

Враховуючи, що корені ОПФ лежать у лівій півплощині комплексної площини, комплексна змінна Р має від'ємну дійсну частину: Р = -8± 7'со,

4 Золотарьов Єгор Іванович (1847-1878) - російський математик, ад'юнкт Петер­бурзької АН. Закінчив Петербурзький ун-т (1867). Працював приват-доцентом (1868), магістром математики, професором (1876). Займався дослідженням питання про мінімуми додатних квадратичних форм при цілих значеннях змінних. У докторській дисертації (1874) виклав теорію подільності цілих алгебраїчних чисел. Розв'язав кілька окремих проблем з теорії найкращого наближення функций.

5 Кауер Вільгельм, \У. Саиег (1900-1945) - німецький вчений, математик. Працював в області математики, математичної фізики, електротехніки, синтезу електричних кіл.відповідно, р = -А + УП - нормована комплексна змінна, р = -А + УП - нормо­вана комплексна змінна ФП.

Перетворення СП у СЗ і навпаки, тобто трансформацію частотних діапа­зонів для ФВЧ, виконують, замінюючи нормовану комплексну змінну р ФП на

нормовану комплексну змінну р ФВЧ відповідно до співвідношення:

р

1, або

р

уп

1

уп

або П = — П

(10.81)

де П = діапазоном:

со / со^ для ФБ (Юрр відповідає ослабленню 3 дБ, СП визначається сОгр ч-оо); О = со/сод для ФЧ (на частоті сод ослаблення АР(О) < Ад, СП: сод ч- оо). Перетворення частотних смуг можливо завдяки пар­ності функцій Ни (О) і АР (О), причому їхні значення не змінюються при заміні частоти О на О і навпаки, тобто

'Ни (О) = Ни (О);

[АР (О) = АР (О).

У табл.10.3 наведені значення р, отримані за формулою (10.81) для ФВЧ, які відповідають вибраним значенням р ФП (значення р = - і 0 ФП означає наближення до нуля з боку від'ємних уявних значень р).

1

(10.82)

Таблиця 10.3 - Співвідношення між комплексними нормованими частотами ФНЧ і ФВЧ

р

- у 0

- У1

- У00

р = 1/р

У*

У1

У 0

Перетворення частотного діапазону ФНЧ (ліворуч) у частотний діапазон ФВЧ (праворуч) ілюструє рис.10.9 згідно з даними табл.10.3.

Ітр

СП ФНЧ СЗ ФНЧ

+У00/

1 0

-У0 ^--'Яер

■-УГ"

-У

Іт р

> СП ФВЧ

і

СЗ ФВЧ

Яе р

Рисунок 10.9 - Перетворення частотних діапазонів ФНЧ-ФВЧ

На рис.10.10 і 10.11 показане трансформування частотних характеристик Ни (П) і АР (П) ФНЧ відповідно у частотні характеристики ФВЧ для ФБ, а на рис.10.12 і 10.13 - для ФЧ.

Ни (П)

\ 0

\

\

1\

\ 1/72"

\

\

\

П© \

Рисунок 10.10 - Перетворення частотної

\

/ \ -

у     \ 1

^ Ч

-Ч-

ч

^ 00

характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФБ: Ни (П) -> Ни (П)

0

і1

П

 

0

 

с

Розрахунок ФВЧ передбачає, що задано значення ослаблення за по­тужністю на частотах /А і /А, (соА і со,) (рис.10.11 і 10.13):

\ Ар (/а ) < Аа ;

Ар (Л) > А,

(10.83)

(10.84)

або для нормованих частот:

'Ар (Па ) < Аа ; Ар (П,) > А,

Щоб знайти ОПФ ФВЧ Баттерворта, визначають нормовану частоту ФБ П = ©/©гр = / / / причому частоті ©гр відповідає ослаблення 3 дБ. Враховую­чи співвідношення (10.81) між нормованими частотами ФВЧ і ФП, згідно з рівнянням (10.26) можна обчислити порядок ФВЧ Баттерворта:

п

1ё(100ДА -1) - 1ё(10

0,1А*

1)

(10.85)

Па / П,)

У знаменнику рівняння (10.26) замість відношення частот П 8 / П А для ФП стоїть відношення нормованих частот ФВЧ ПА / П5, яке можна замінитивідношенням сод /су8. Отримане за формулою (10.85) дробове значення порядку

фільтра п* слід округлити до найближчого більшого цілого значення:

п > п* . (10.86) Оскільки   порядки   ФВЧ   і   ФНЧ   збігаються,   враховуючи вирази (10.36)—(10.38), можна визначити нормований поліном Гурвіца та ОПФ ФП:

Ни (р)

1

V (р)

(10.87)

Визначення нормованої ОПФ ФВЧ потребує попереднього розрахунку сгр. Згідно з виразами (10.81)

_ ©гр ; _0©_ =©гр

с гр     сА    с гр     с ,

де срА, ср,, сргр - частоти ФП; сА, с ,, с гр - частоти ФВЧ.

(10.88)

00

-1—*—і-.-д

0

А

\    ЬЙА І      І      і 5 І

--1—1-1-

П

\3 дБ \

А

Рисунок 10.11 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФБ: АР (П) -> АР (П)

—V

\

ч_     n n4

А

і.

0

00

її—І_и А

П

Тоді гранична частота ФВЧ, виходячи з формули (10.88), визначається як

а з урахуванням виразу (10.25)

©гр = ©А(100ДАа - 1)1/2п* = ©(100ДА - 1)1/2п*, (10.89)

_де п* обчислюють за формулою (10.85)._

Співвідношення (10.81) дозволяє встановити зв'язок між нормованою час­тотою ФП р і денормованою частотою р ФВЧ:

р = — = 1

©гр _ ©гр

р УП

Тоді денормовану ОПФ ФВЧ можна отримати за формулою (10.87):

П=©/©гр    І© р

(10.90)

Ни (р)

1

П (р - рк)

к=1

р=©гр / р

де ри - нормовані значення коренів ФП.

(10.91)

Ни (П)

'©пЛ   0 \

1\

Рисунок 10.12 - Перетворення частотної ^ характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФЧ: 0 !

Ни (П)    Ни (П) !

©

—*-►

\

\

ОО

П

0

©

п

1

Визначення ОПФ ФВЧ з характеристиками Чебишова здійснюють на підставі співвідношення (10.84), причому частоти нормують за формулою (10.49):

П = -©- = -£-;    Па= 1;    П, =-©-. (10.92)

©А     /А ©А

Коефіцієнт нерівномірності ослаблення у смузі пропускання визначається за формулою (10.66), яка прийнятна для ФЧ будь-якого типу. Формула (10.67)дозволяє знайти порядок п ФНЧ, тобто ФП. Щоб скористатись нею, необхідно перейти до нормованої частоти О, ФП згідно з виразом (10.81): О 8 = 1/О,. До речі, порядки ФВЧ і ФП збігаються, а знайдене п округлюють до більшого цілого значення.

Для    отриманого    значення    п     порядку    ФП, використовуючи співвідношення (10.75),  (10.76),  (10.78),  записують  нормований поліном

Гурвіца, тобто знаменник ОПФ ФП: V(р) = 2п  є]~[ рк), і саму ОПФ ФП

к=1

згідно з виразом (10.80). Денормована ОПФ ФВЧ визначається з урахуванням формул (10.90) і (10.49):

Ни(р) = ­

П ( р - р к)

к=1

р=©А/р

де кК = 1/(2п Іє), але може мати довільне значення.

(10.93)

//7977/,

00 \

7/?77

-- І   ^ N.

1 П,

і—і-

Т

П

- ©5 - ©а \

0

\    ©а ©5

©

\ \

А5 , \

Рисунок 10.13 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФЧ:

АР (П) -> АР (П)

аа

ч

0 і

\

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації