Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 92

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

ч \ "АР (П) \

\

\    'Уі \\/,

\

\

\ П© —^-►

0

0

П іі1

П

©5 ©а

©

Приклад 10.3. Визначити ОПФ ФВЧ Чебишова, якщо на частоті 5000 рад/с ос­лаблення за потужністю Ар (со) не має перевищувати 0,97 дБ, а на частоті 2500 рад/с - бути меншим 22 дБ.

Розе язання. Обчислимо нормовану частоту ФП:

п =J_=^a = /а = 5000 = 2

Qs    cos    fs 2500 Коефіцієнт нерівномірності ослаблення у СП і порядок ФП знайдемо за форму­лами (10.66) і (10.67), відповідно: є = л/і00Д'0'97 -1 = 0,500259;

>  Arch(Vl00,L4s - 1/є)   Arch(Vl00,1'22 -1/0,500259)   2 972804

n >------ =---- = 2,972804.

Arch Q s Arch 2

Візьмемо n = 3, тоді коефіцієнт, що впливає на рівень ОПФ,

kR = 1/(2п-1є) = 1/4є = 0,5.

Визначення цього коефіцієнта не потребує високої точності.

Щоб знайти корені ФП, спочатку за формулою (10.72) обчислимо значення v = +0,481057 . Дійсні та уявні частини нормованих коренів ФП розрахуємо, виходя­чи з виразів (10.71), (10.76):

=- sin Uksh(+ v);      k = 1 2 3 Qk = cos ukch v,

Значення А вибираємо такими: k = 1: u1 =n/6; А1 = 0,249914; Q1 = 0,968179; p1 = -0,249914 + /0,968179;

k = 2: u1 = n/2; А2 = 0,5; Q 2 = 0; р2 =-0,5;

k = 3; u1 = 5n/6; А3 = 0,249914; Q3 =-0,968179; ~3= -0,249914 -/0,968179. Для всіх k значення v - від'ємнє.

При k = 1,3 маємо комплексно-спряжені корені. У цьому випадку доцільно скористатись виразом (10.79), тоді для ФП можна записати:

(~-        -Р3) = Р2 + 2А1 р + А2 + Q2; 2А1 = 0,499827; А2 + Q2 = 0,999827.

Щоб спростити запис, вважатимемо, що 2 А1 = 0,5; А1 + Q1 = 1. Загалом об­числення коренів слід виконувати з точністю не менше як до шостого знака включно, оскільки це впливає на можливість фізичної реалізації ОПФ.

Нормовані значення ФП дозволяють визначити нормований поліном Гурвіца і нормовану ОПФ ФП згідно з виразами (10.78) і (10.80), відповідно:

V ) = 4 є(р - р2 )(р 2 + 2 р1 р + А2 + Q2); H ( p) =_kR_=_05_

u     (P-^2)(P2 + 2А1P + А12 + fQ 12)  (p + 0,5)(p2 + 0,5p +1)'

Нормовану ОПФ ФП перетворимо у денормовану ОПФ ФВЧ, використовуючи співвідношення (10.93):

0,5

U       (p +0,5)( p2 + 0,5 p +1)

=_0\5p3_

p=Юа / p    (0,5 p + ©A )(p 2 + 0,5©A p + ©A)

3

За умови йа = 5 '10 рад/с вираз ОПФ ФВЧ Чебишова має вигляд:

І_

+ 2,5-103 p +

H (p) =_

U     ~ (p +104)(p2 + 2,5 ■ 103 p + 25 ■ 10б)

Ю.О.Коеалъ, І.О.Милютченко, А.М.Олейнікое та ін.

Реалізувати таку ОПФ можна двома ланками першого і другого порядків:

нп (р) = р —-р--.

и       р +104  р2 + 2,5 ■ 103 р + 25 ■ 106 Щоб перевірити результат апроксимації, обчислимо частотну залежність ослаб­лення за потужністю за формулою (10.1):

АР (со) = 101ё

1

Н2(ю)

= 101в

(ую +104)[(ую)2 + 2,5 ■ 103 уса + 25 ■ 106]

(У©)3

Після визначення модуля і піднесення його до квадрата виходить: , , Л   1Л1 (ю2 +108)[(25-106 -ю2)2 + 6,25-106ю2]

ю

Частотна залежність АР (ю), розрахована за цією формулою (рис.10.14), показує відповідність функції Ар (ю) за­даним умовам.

22

дБ

0,97

0 2,5 5,0       сох103 рад/с

Рисунок 10.14 - Частотна залежність ослаблення ФВЧ у прикладі 10.3

10.7 Смугові фільтри з симетричними характеристиками

Трансформування ФНЧ-прототипу у смуговий фільтр (СФ) виконується за допомогою заміни нормованої комплексної змінної ~ ФП на нормовану

комплексну змінну р СФ за формулою:

(У^)2 + к2А

р

Р 2 +к2-, або у~

р у& де нормовані змінні СФ відповідно становлять:

р

р

смуга пропускання СФ;

кА =

с

ю0

У формулі (10.96) ю0 - так звана центральна частота СФ. Перетворення виразу (10.94) до вигляду:

(10.94)

(10.95)

(10.96)

2р2-рр + Ц

о

дозволяє визначити нормовані корені СФ через нормовані корені ФП:

р

р

±

' р ^2 V 2 у

(10.97)

(10.98)

Підстановка р = / О; р = до виразу (10.98) дозволяє встановити зв'язок між нормованими частотами СФ (О) і ФП (О):

2

±

' /ОЛ 2

2

КА

іО

2

±

' /Ол2

2

+

( ік )2

і

О

±

21

V 2 у

звідки виходить:

О

О

+.

2 1

^2

V 2 У + к;

(10.99)

У виразі (10.99) знак мінус перед коренем опущено, щоб забезпечити до­датне значення О. На підставі формули (10.94) можна довести, що інтервал р = і 0 к 7°о перетворюється відповідно в інтервал ~ = -і'оо... і'оо. Діапазон

частот ФП 2 Ог, межам якого відповідають частоти ± Ог, перетворюється у

діапазон Ог СФ, тобто вдвічі скорочується. Щоб переконатись у цьому, згідно з

виразом (10.99) обчислюють частоту СФ, яка відповідає частоті Ог ФП:

2 + ^2

2 + к;

(10.100)

тоді у відповідність частоті -Ог можна поставити частоту

^2

2 + к;

(10.101)

Отже, частотний інтервал СФ

Ог 2-Оп = О 1 (10.102) дійсно вдвічі скоротився. Частотному інтервалу ФП у діапазоні від - і'оо до і'оо

відповідатиме також удвічі менший частотний інтервал СФ на уявній осі у діапазоні від і0 до іо. У перетворенні ~ = і0 на р = і'кА можна переконатись

підстановкою О = 0 до виразу (10.100). Отримані співвідношення зведено у табл.10.4.

Таблиця 10.4 - Співвідношення між комплексними нормованими частотами ФП і СФ

р

і00

/ 0

- /О

 

р

/00

2

 

М

/ 0

Перетворення частотного діапазону ФНЧ-прототипу (ліворуч) у частот­ний діапазон СФ (праворуч) показано на рис.10.15 відповідно до значень, наве­дених у табл.10.4.

Іт р

СП ФНЧ ч

\

\+/00

\

\

+/Со +

.—'

Г——-*

А

/0

Іт р

ч 2

>- СП СФ /0

Яе р

/

І -/ Со

Рисунок 10.15 - Перетворення частотних діапазонів ФНЧ-СФ

О

а і ч ч А

0 \

-со3 -со^ч-<й\ \

0

ОА О

І \ І \ І \—

] О

Ю А Ю гр \ со х

Рисунок 10.16 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-СФ для ФБ: АР (О) -- АР (О)

с

\\\ IV п\\\ ./I з дБ -^Ч\|-;-О--VVі/ І

0 ' 0

О ^   \   }оа1 2'   І   '0, 2 О

С031 юа1 Ю0 Юа 2 Югр2 Ю

Перетворення частотного діапазону ФП у вдвічі менший частотний діапазон СФ відбувається при збереженні відповідних значень ослаблення за потужністю:  АР(0г) = АР(Пг). Таке перетворення частотних характеристик

ілюстровано графіками (рис .10.16 для ФБ; рис.10.17 для ФЧ).

Властивість, визначена співвідношенням (10.102), відображає принцип збереження довжини частотного інтервалу. Це означає, що ФП з нормованою смугою пропускання По = 0 к Пгр перетворюється на СФ, який має таку саму

нормовану смугу пропускання.

Дійсно, частоті ю гр (Пгр = 1) ФП відповідають частоти   югр 2 і югр1 СФ,

нормовані значення яких Пгр2 і Пгр1 визначають за формулами (10.100),

(10.101), відповідно:

1 [1~ ь-

- + ..- + к;

2 Н

1       /1     і 2

+„/- + кА ;

2 А

Пгр2 = 4 + кА ; Пгр1

Нормована СП СФ визначається як По = Пгр2 - Пгр1 = 1. Отже, смуга По дійсно не змінилася.

Слід зауважити, що згаданий принцип визначення нормованих частот ви­конується як для ФБ, так і для ФЧ, різним є тільки рівень ослаблення АР гр).

7/УУ///ф

§ ...].Аа

\     І    \-—

О

Рисунок 10.17 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-СФ для ФЧ: АР (О) — АР (О)

Аа

0 0

Кч<^ч^

4        VI   \"х \ V? V

V ■ ч\. ч ч ч \_ч чч чччччч чч>0'#\ !*ч^

0я^]°а1     іка О; і О52

Ю§1 юа1

І-Д.

Ю0

юа2 <^2

Щоб дослідити ще одну важливу властивість, визначимо добуток нормо­ваних частот (10.100), (10.101) СФ:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації