Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 93

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

^/2 ^/1

/ + к2

4 А

4

З урахуванням співвідношень (10.95), (10.96) цей добуток набуває вигля­ду (©гр2 / п© )(©гр1 / п©) = ©І / п© , звідки

«грі ©гр2 ()• (10.103)

Рівність (10.103) визначає властивість геометричної симетрії частотної залежності АР СФ відносно центральної частоти ©0. Справедливими будуть

також аналогічні добутки для частот ©А12, ©512:

©А1©А 2 = ©*1©*2 2. (10.104) Вихідними даними для розрахунку СФ є смуга пропускання П©, цен­тральна частота ©0 та співвідношення, аналогічні нерівностям (10.7):

Р (©А1) = АР (©А2) < АА ; (10 105)

АР (©,1) = АРК2) > А ,

причому ©51 < ©А1 < ©А2 < ©52. З двох значень частоти, об'єднаних рівністю

(10.104), як правило, відоме тільки одне. Тому, симетричні частоти обчислю­ють, використовуючи умову (10.104), за заданими частотами (наприклад:

22

©А2 = ©0А1; ©8І = ©0/©82), що дозволяє перейти до співвідношень (10.7), складених стосовно ФП для тих самих ослаблень:

\ Р   А      А (10.106)

[Ар (©,) > А,,

де відповідні частоти © ФП визначають з огляду на формулу (10.102):

рА     А2     А1 (10.107)

Умови (10.106) дозволяють знайти п  — орієнтовний порядок ФБ (див.

формулу (10.26)), а потім і порядок п > п (п — ціле число), а також граничну частоту ©гр за формулою (10.29). Для ФЧ, виходячи з умов (10.106), обчислю­ють коефіцієнт нерівномірності ослаблення є і порядок фільтра п за формула­ми (10.66) і (10.67) відповідно.

Щоб визначити ОПФ, необхідно знайти поліном Гурвіца. Спочатку ви­значають нормований поліном V). Так, для ФБ згідно з виразом (10.37) запи­сують нормований поліном Гурвіца:

V(р) = П  — Рк), к = 1, 2, к, п, (10.108)

к=1

де рк — нормовані корені ФП, які розраховують за формулою (10.36):

p 2k -1 2k -1

рк =-sin-n + jcos-n,   k = 1,2, ...,2n. (10.109)

2n 2n

Для ФЧ нормований поліном Гурвіца ФП визначають за виразом (10.78):

V(p) = 2n-1 sll - pk), (10.110)

k=1

де pk - нормовані корені ФП (pk = -Ak ± jQk), дійсну та уявну частини яких обчислюють за формулою (10.76):

A k = - sin uk sh v;

(10.111)

О = cos гікс\і V.

Значення ик , V розраховують за формулами (10.71), (10.72), відповідно. Додатне значення Ак забезпечують вибором знака у виразі (10.72).

Перехід від нормованої ОПФ ФП Ни (р) = 1/ V(р) з порядком п до нормованої ОПФ СФ удвічі збільшує порядок. Оскільки нормовані корені ФП відомі, ОПФ ФП доцільно представити як добуток ОПФ ланок другого по­рядку Ни(2)(р) для парного п :

Ни (р) = пНи(2)(~). (10.112)

і =1

Якщо п - непарне, слід виділити одну ланку з передатною функцією першого порядку Нц1)( р) = 1/( р + А), (-А - нормований дійсний корінь ФП). Тоді інші ланки, що увійдуть до добутку, матимуть другий порядок:

п-1

Ни (р) = Н« (р) П Ни(2) ). (10.113)

і=1

У виразі (10.113) ОПФ ФП і -ї ланки другого порядку

Ни(2)(р) =    ~Л1р     * , (10.114)

де рі і рі - нормовані комплексно-спряжені корені, а Ни (р) - ОПФ

ФП ланки першого порядку з коренем -А, яка перетворюється згідно з виразом

(10.94) у ОПФ ланки другого порядку СФ з двома комплексно-спряженими ко­ренями (рис.10.18, а).

Перетворення ОПФ і -ої ланки ФП (10.114) до ОПФ СФ доцільно викону­вати для кожного кореня окремо:

1

^(2)( Р) =

Ui

p - p i

х-*

52 + k2)/Р    Р - Рі

(10.115)

=( р1 + кА)/ р

Перший добуток у виразі (10.115) перетворюється на передатну функцію з двома комплексними коренями р1 і р2 (не комплексно-спряженими), а дру­гий - на ОПФ з комплексними коренями р3 і р4 (не спряженими), причому па-ри р1 і р3, а також р2 і

р\,3 = -А1 + уО1; р2,4 = -А

-4 є комплексно-спряженими (рис.10.18, б), тобто 2 ±    2 . Це дозволяє подати ОПФ СФ у вигляді:

Ни (р) = (-   -і-   - ) (-   _)(-   - ), (10.116)

(р р1)(р р3) (р р2)(р р4)

причому знаменник кожного співмножника - поліном другого порядку відносно - з дійсними додатними коефіцієнтами (10.39) або (10.79). Отже,

ланка другого порядку ФП перетворюється на СФ, порядок якого п = 4. Щоб отримати вираз (10.116), слід безпосередньо від коренів р12 перейти до коренів

-1, -4, -2, -3 на підставі співвідношення (10.98).

Денормування ОПФ СФ здійснюється з урахуванням виразу (10.95):

Ни(-) = Ни(-)|-=-/п. • (10117)

Ітр

А

0

Іт р

X -

Яе р - А

0

і

Іт рр

О

Яе р 0

О р

-X-

Іт р

р2 і ^

Яе-А2

і

X ■

Ах

а б ■X­

О 2

Оі

р4

0 Яе р

О1

о2

Рисунок 10.18 - Відповідность між нормованими коренями ФП і СФ: а - дійсний корінь ФП, б - комплексно-спряжені корені ФП

Приклад   10.4.   Визначити   ОПФ   СФ   Чебишова,   якщо   на частоті сє>аі = 404,75 ■ 10 рад/с ослаблення за потужністю не має перевищувати 0,97 дБ, а на

3

частоті со52 = 512,68 ■ 10   рад/с - бути меншим, ніж 24 дБ. Центральна частота СФ

33

становить 424,279 ■ 10 рад/с, а смуга пропускання - 40 ■ 10 рад/с.

Розв 'язання. На підставі властивості геометричної симетрії частотної залеж­ності А- (10.104) визначимо частоти сс>а2 і .51:

ю2, = 424,2792 ■Ю6 404,75 ■Ю3

СА2

444,75 -103

рад

соаі

СОг

424,2792      = 351Д2СЫ03рад 512,68-103

со52     512,68-КГ с За принципом збереження довжини частотного інтервалу визначимо частоти С а і СС 5 (рис.10.6, а) фільтра-прототипу:

>А = йА2 А1

444,75•Ю3 -404,75•Ю3 = 40-103

рад с

яка дорівнює значенню смуги пропускання СФ, тобто Пю = C0a ;

рs = cos2 - cos1 = 512,68 ■ 103 - 351,12 ■ 103 = 161,56 ■ 103 рад

с

Виходячи з виразу (10.49), обчислимо нормовану частоту ФП:

p     Ю    1б1,5б • 10 Q  =—— =-'-=

40 • 103

4,039.

За формулами (10.66) і (10.67) визначимо s і n : л/і00ма- 1

є =

n>

л/і0°'Ь0'97 -1 = 0,500259; Arch(Vl00'1As -1 /є)   Arch(Vl00'1'24 -1 /0,500259)

2,000.

Arch Qs Arch 4,039

Нормовані корені ФП знайдемо за формулою (10.76) для k = 1,2, використо­вуючи співвідношення (10.71) і (10.72). Якщо k = 1:

1 = - sin u1sh v;

Q1 = cos u1ch v,

де u1

2k -1 п n 2

= П; v = - Arsh — = - — Arsh—1— = -0,721818, причому

k=1

4

г\ і an —--.

n       є 2

0,5

від'ємний знак v забезпечує від'ємне значення Аі.

Отже,

п

А =- sin 4 sh (-0,721818) = 0,555893; Q = cos 4 ch(-0,721818) = 0,899454.

За умови k = 2 :

А2 = - sin u2 sh v;

Q2 = cos u2 ch v , де u2

2k -1 п

n2

k=2

3п

4

А2 =

3п

- si^^ sh(-0,721818) = 0,555893;

О2 = cos3п сЬ(-0,721818) = -0,899454,

тобто ^1>2 = -А1 ± 7Ір1 = -0,555893 ± ] 0,899454.

Для здобуття нормованих коренів СФ, попередньо визначимо згідно з виразом

424 26

(10.96) коефіцієнт кА =—— =----— = 10,6065.   Нормовані корені СФ обчис-

А   Пю       40-103

лимо за формулою (10.98):

p

1,2 = 2 ±Т|

p1

p2

ilL - k2        P     =£12. ±

4 А

Після підстановки числових значень отримаємо: р1 = -0,266168 -710,16267 = -Аі -/Г^; р2 = -0,289725 + ./11,062124 = -А2 + /П2;

р3 =-0,266168 + /10,16267 = -Ах+     ; р4 =-0,289725 -/11,062124 = -А2 -/П2, звідки видно, що корені р1, рз , а також р2, р4 утворюють комплексно-спряжені па­ри. Нормовану ОПФ СФ четвертого порядку представимо як добуток двох ОПФ ла­нок другого порядку (10.116):

Ни (Р) = Ни(2)( р) Ни 22)( р), або спростивши позначення Ни (р) = Н1( р) Н2( р). З урахуванням виразу (10.79) запишемо:

Ні( р)

ккр

-т^т; н 2( Р)

Р

р2 + 2 А1 р + А2 + О2 де кК = 1/2^ = 1.

Підставимо значення дійсних і уявних частин коренів:

р2 + 2А 2 р + А22 + О

#і( Р)

р

; н 2( р)

р

р2 + 0,532336 р +103,350727

Денормовані   ОПФ   ланок другого співвідношення (10.117):

р2 + 0,57945 р +122,454527 ' порядку   отримаємо    на підставі

Ні( р)

Н 2( р)

р2 + 0,532336 Пю р +103,350727П2

р2 + 0,57945Пю р +122,454527П2

Для перевірки отриманих результатів, визначимо частотну залежність ослаб­лення СФ, використовуючи вираз (10.1):

АР (ю) = 10ів[1/ Н2(ю) Н^ю)],

де

22

Н1 (ю) і Н 2 (ю) - АКХ ланок другого порядку;

ПЮ ю2

Н2(со) = |Н1( р)2

ір=/а   (103,350727П* - а2)2 + (0,532336Па а)2 '

2

аналогічно визначається Н2(а). З графіку частотної залежності АР(а) (рис.10.19) видно, що значення Ар Аі2 ) і Ар (а^) задовольняють заданим умовам.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації