Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 94

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

І Ар (со), дБ

Ар(404750) = 0,962 дБ Ар(512680) = 24,001 дБ

Рисунок 10.19 - Частотна залежність ослаблення СФ порядку п = 4

0

3,5 4

4,5 юх105 рад/с

10.8 Загороджувальні фільтри з симетричними характеристиками

Нормовану ОПФ загороджувального фільтра (ЗФ) можна отримати пере­творенням ОПФ ФП, оберненим виразу (10.94):

р = 32^72' аб°  }О = 77#Т2- > (10118)

де рр = = } (со / согр) - нормована комплексна частота ФП; р - нормова­на комплексна частота ЗФ:

Р = = }      . (10.119)

Асоз

Нормування здійснюють відносно смуги затримання Асоз, яка для ФБ ви­значається на рівні 3 дБ, а для ФЧ - на рівні Аа . Константа кА у виразі (10.118) становить:

7а = -ССо-, (10.120) Асоз

де со0 - центральна частота ЗФ. Перетворення (10.118) трансформує нор­мовану частотну характеристику ослаблення ФНЧ у характеристику Ар(О),

симетричну відносно центральної частоти ЗФ, із дотриманням принципу збе­реження довжини частотного інтервалу (10.102).

Якщо до ОПФ ФП спочатку застосувати перетворення (10.81) (тобто пе­ретворити ФНЧ у ФВЧ), а потім використати перетворення (10.94) (ФВЧ-СФ), виходить відповідність (10.118). Така послідовність перетворень (рис.10.20) ілюструє, по-перше, трансформування смуг пропускання і затримання ФП для комплексної змінної р = , О < 0 у відповідні смуги ФВЧ відносно ком­плексної змінної р = 1/ рр, р = при збереженні рівності: Ар(Оїі) = Ар(Ог).

Від'ємне значення О не впливає на перетворення частотної залежності Ар , яка

є парною функцією частоти. По-друге, на рис.10.20 показано перетворення СП і СЗ ФВЧ в інші смуги ЗФ для комплексної змінної р = , О > 0, причому

зв'язок комплексної змінної р ЗФ з комплексною змінною р ФВЧ встановлю­ють за формулою (10.94):

р   р2 + к А р    . р

Це перетворення також передбачає незмінність значень ослаблення ФВЧ і ЗФ на відповідних частотах:

Ар (О,) = Ар (Ог). (10.121)

Дані про комплексні змінні різних типів фільтрів наведено у табл.10.5.

Оскільки перетворення ОПФ ФВЧ у ОПФ ЗФ здійснюється за умови (10.121) на підставі перетворення (10.94), для якого виконується принцип збе­реження довжини частотного інтервалу, смуга пропускання ФВЧ збігається зі смугою затримання ЗФ. Крім того, частотні характеристики ЗФ також мають 520 властивість геометричної симетрії (10.104), притаманну перетворенню (10.94). На рис.10.21 показано трансформацію частотних залежностей АР для ФБ.

Таблиця 10.5 - Співвідношення між комплексними нормованими частотами ФП, ФВЧ і ЗФ

ФП

 

) 0

] п

-

-

- 7 0

ФВЧ

р = 1/р

- І™

- і п

] 0

] п

 

ЗФ

р

] 0

 

 

УП2

 

Іт р

Іт /?

У0

СП ФНЧ ^ СЗ ФНЧ

І +/00

ч

+ 0

7 / /

У

А

+ 0

1 СП ФВЧ^,

V СЗ фвЧ "

x

Ч

\

V__ V

Яер

___

У

/

+ 0

1к*

Тт р

СП ЗФ

ІП 2

СЗ ЗФ

СП ЗФ

Площина р ФНЧ Площина р  ФВЧ Площина р ЗФ

Рисунок 10.20 - Перетворення частотних діапазонів ФНЧ-ФВЧ і ФВЧ-ЗФ

Щоб визначити ОПФ ЗФ, слід від вимог до частотних характеристик ос­лаблення ЗФ спочатку перейти до вимог АР ФВЧ, а потім - до ФП (ФНЧ).

Вихідними даними для розрахунку ЗФ є смуга затримання Дсоз, центральна

частота со0 та співвідношення, аналогічні нерівностям (10.7):

(10.122)

Умови (10.122) ЗФ аналогічні умовам (10.105) для СФ, але відрізняються співвідношеннями між частотами: соД1 < св^ < со52 < соД2.

З двох значень частоти со^. (соД і), як правило, відоме тільки одне. Тому,

виходячи з геометричної симетрії частотної залежності АР (10.104), за задани-

2

ми частотами обчислюють симетричні частоти (наприклад:  сД2 = ю0 / сД1;со5І = й0 /со82). Далі від вимог (10.122) переходять до співвідношень щодо ФВЧ для тих самих значень ослаблення:

< РК д)    д (10.123)

І Ар (й,) > А,,

[Йд=сд2-Юд1; (10124)

де <! (10.124)

Для ФБ порядок ФВЧ п > п   (п - ціле округлене п*) визначається на підставі формули (10.85) за умови рівностей у системі (10.123):

21в(Пд ,) П,    й, ' '

Оскільки гранична частота ФВЧ, яка визначається на рівні 3 дБ, збігається із смугою затримання ЗФ, її можна знайти, виходячи з виразу (10.89):

Дйз = йгр = йд(100ДАд - 1)1/2п* = й(100ДА - 1)1/2п*, (10.126) де п* - дробове число (10.125).

Оскільки порядки ФНЧ і ФВЧ однакові, можна записати ОПФ ФП, вико­ристовуючи вираз (10.38):

Ни(~) = п    1 ~   , (10.127) П - рк)

к=1

де нормовані корені ФНЧ Баттерворта рк обчислюють за формулою

(10.109).

Для ФЧ порядок п ФВЧ визначають, виходячи з виразів (10.67), (10.81):

п> АгсЬ^100,1А: -1/г) (10.128) Лгсд(1/П,)

де П5 = й / йд - нормована частота ФВЧ, яку розраховують за формулою

(10.92);  частоти   йд   і   б5   -  згідно  з  системою   (10.124); коефіцієнт

нерівномірності ослаблення є - за формулою (10.66).

З огляду на збіг порядків ФВЧ і ФП на підставі співвідношення (10.80), ОПФ ФП можна записати у вигляді:

Ни (р)

п

П - Рк)

к =1

де коефіцієнт кК = 1/(2"- є) (загалом кК може мати довільне значення).

При кК = 1 аналітичний вираз ОПФ ФЧ збігається з (10.127), але для ФЧ нормовані корені рк = -Ак + ]0.к визначатимуться з урахуванням формул (10.71) і (10.72) відповідно до співвідношення (10.111).

Рисунок 10.21 - Перетворення частотних характеристик ослаблення ФНЧ-ФВЧ і ФВЧ-ЗФ для ФБ

Перехід від ОПФ ФП (10.127) до нормованої ОПФ ЗФ потребує встанов­лення відповідності між нормованими коренями ФП і ЗФ згідно із співвідношенням (10.118). Розв'язання рівняння (10.118) відносно р дає:р.

_2 _ 2 _2     1 _ 2

р - р + кд р = 0,   або    р - р + кд

0, звідки:

р

р

1

±

1

2 р ^4р­к, (10.129)

За умови р = уП для двох комплексно-спряжених значень р = уП і

- уП, виходячи з виразу (10.129), можна встановити безпосередній зв'язок

між нормованими частотами ФП П і ЗФ П (опускаючи знак «мінус» перед ко­ренем, що забезпечує додатне значення частоти П):

Р*

р=

1

П = ±^р + -Н77 + кА . (10.130)

Як і у випадку СФ, знайдену нормовану ОПФ ФП Ии(р) (10.127) доцільно представити у вигляді (10.112) для парного п або (10.113), якщо п -непарне. За умови непарного п з функції Ии ) виділяється иЦр ) - ОПФ

ланки першого порядку з коренем р = -А, котра перетворюється на нормовану ОПФ ЗФ з двома нулями і полюсами, які відповідно є комплексно-спряженими:

тт2 ,7,2

яи2)( р) = щ> (р)

де к = 1/Д = 1/р п\.

(2)

1

р=р /(р 2 + кД)

р + Д

к

р2 + кД

р=р /(р 2 + кД)

р2 + р / Д + кД

ОПФ Ниі (рі -х ланок другого порядку ФП, виділених з функції

(10.112), з коренями рі = -Ді ± уП перетворюються у нормовану ОПФ ЗФ чет­вертого порядку.

Якщо  ОПФ  однієї ланки другого порядку представити у вигляді Ни^\р) = р 1 р ~ 1* і виконати перетворення для кожного з комплексно-

р - рі р - рі

спряжених коренів окремо, виходять ланки ЗФ з ОПФ другого порядку:

р2 + кД     = к       р2 + кД

1

р - рі

1

р=р /(р 2 + кД)

рі р2 - р/рі + кД      і (р-р1)(р 2)

Аналогічно

р - і

р2 + кД

р2 + кД

р=р /(р2 + кД)

рі р2 - р/р* + кД      і - рз)(р - р4У

де кі = 1/ рі; к = 1/ р* , причому р13 , а також р24 утворюють комплекс­но-спряжені пари подібно перетворенням щодо СФ. Тому достатньо визначати тільки корені р1 і р2, скориставшись формулою (10.129).

З урахуванням зроблених перетворень нормовану ОПФ ланки четвертого порядку ЗФ можна записати у вигляді:

Ни(_) = Ни™(_)\_ _/(_2 +k2) = а(_ _ )(_ _ Ч, (10.131)

де 1/_і і2 = ккк * = 1/(Д2 + Q2),

тобто як добуток двох ОПФ ланок другого порядку з двома комплексно-спряженими полюсами і двома комплексно-спряженими нулями. Така форма найбільш прийнятна при каскадній реалізації фільтра.

Враховуючи співвідношення (10.79), знаменник у виразі (10.131) слід представити у вигляді поліномів  відносно   _.  Денормування ОПФ ЗФ

здійснюється підстановкою (10.119):

Ни(_ = Ни(_)\_=_/ (10132) Приклад 10.5. Визначити ОПФ ЗФ Чебишова за такими вимогами: центральна

33

частота со0 = 424,279 -10 рад/с, смуга затримання  Дсоз = 161,66 -10   рад/с. На

3

частоті (Dsl = 404,75 10 рад/с ослаблення за потужністю не має бути меншим 24 дБ,

3

на частоті С0д2 = 512,74 • 10 рад/с - не повинне перевищувати 0,97 дБ.

Розе 'язання.  Скориставшись властивістю геометричної симетрії частотної залежності Ap (10.104), визначимо частоти соді і cos2:

=      = 424,2792 Ш6 = 351    ,103 ;

сод2     512,74 •Ю3 с

2 = »L = 424,2792 -if = 444,75 •ю3 рад.

cos1     404,75 •Ю3 с За принципом збереження довжини частотного інтервалу визначимо частоти ссд і ccs (10.124) ФВЧ:

ССд = сод2 - соді = 512,74 • 103 - 351,08 • 103 = 161,66 • 103 рад

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації