Автор неизвестен - Сборник научных трудов 3-го международного радиоэлектронного форума прикладная радиоэлектроника - страница 20

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117 

Эти распределения двухпараметрические, кроме параметра масштаба, связанного со средней интенсивностью помехи, у них имеется параметр формы, характеризующий, в частности, протяженность «хвоста» распределения, описывающего выбросы большой амплитуды.

При проектировании обнаружителей, адаптивных к помехе, для стабилизации уров­ня ложных тревог требуется оценивать характеристики помехи, включая параметр формы ^-распределения или распределения Вейбулла. Проблеме оценивания параметра формы посвящена обширная литература (см., например, [1] и ссылки в этой монографии).

Для частного случая, когда шумом приемника можно пренебречь, имеется близкий к оптимальному метод оценивания параметра формы ^-распределения, основанный на оценках среднего логарифма выборочных значений помехи [1].

При наличии дополнительного релеевского шума наиболее распространенный ме­тод оценивания параметра формы ^-распределения, который в [1] рассматривается как основной, использует для оценивания выборочные моменты распределения.

Для суммы ^-распределенной помехи и релеевского шума известны выражения для моментов как функций параметров распределения. Подставляя вместо значений момен­тов их оценки и решая эти выражения относительно параметра формы, можно получить его оценку. Если мощность релеевского шума известна, достаточно иметь оценки двух первых моментов распределения, при неизвестной мощности шума потребуется оценить три первых момента.

Известна также попытка использовать оценивание «хвоста» распределения для по­лучения оценки параметра формы. Как показано в [1], этот метод сводится к оценке ко­личества пересечений некоторого порога, т. е. к оценке уровня ложных тревог по выбо­рочному массиву. Если от РЛС требуется поддерживать достаточно низкий уровень лож­ных тревог, при реалистичном размере выборочного массива этот метод будет иметь ма­лую точность оценивания [1].

Имеющиеся в литературе алгоритмы оценивания параметра формы, как правило, обеспечивают сходимость оценок к истинному значению параметра при неограниченном увеличении размера обучающей выборки. Однако, общим недостатком всех опублико­ванных алгоритмов является их медленная сходимость. Для получения приемлемой точ­ности оценок бывает необходимо иметь статистически однородные массивы из тысяч и

СРРСН'2008

1-ч.1 - 125десятков тысяч элементов разрешения. Этот недостаток серьезно ограничивает область практического применения известных алгоритмов.

В данной работе предлагается новый метод оценивания параметра формы K-распределения в смеси K-распределенной и Гауссовской помехи, основанный на оцени­вании именно формы выборочного распределения в целом. Для этой цели используются критерии согласия, с помощью которых в математической статистике выполняются ис­пытания соответствия выборочного распределения некоторому заданному.

Предлагаемый подход более информативен и, как показывают его проверки мето­дом Монте-Карло, обеспечивает при реалистичных размерах выборки гораздо более вы­сокое качество оценивания, чем любой из известных методов.

В рассматриваемом далее алгоритме оценивания используется хорошо известное испытание Колмогорова-Смирнова. Ниже следуют сведения об этом испытании в объеме, необходимом для дальнейшего изложения.

Статистическое испытание Колмогорова-Смирнова. Испытание Колмогорова-Смирнова (К-С испытание) [3] широко используется в математической статистике, в ча­стности, для проверки, является ли данный эмпирический массив случайных величин вы­боркой из множества, распределенного по заданному закону интегрального распределе­ния (нулевая гипотеза).

В К-С испытании мерой согласия является максимальное значение абсолютной раз­ности между заданной P(x) и эмпирической F(x) интегральными функциями распределе­ния:

D =  max \F(x)- P(x) .

—oo< x<x

Эмпирическая интегральная функция распределения F(x) для вычисления статистики D может быть получена из исходной выборки как функция

1 N

F* x) = N ZI((X, * x),

N i=1

представляющая доли элементов выборки, не превосходящих x.

Колмогоров показал (теорема Колмогорова), что если нулевая гипотеза верна, то

эта статистика сходится к нулю, и при этом функция распределения величины не зависит от функции распределения выборки и сходится к распределению, которое в лите­ратуре называется распределением Колмогорова. Благодаря этому имеется возможность выразить критерий согласия в виде вероятности нулевой гипотезы.

В соответствии с теоремой Колмогорова нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости а, если:

D > Kja, (1)

где Ka находится из распределения Колмогорова Pr(K):

Pr(K * Ka) = 1 а.

Необходимо заметить, что вероятностная мера (1) будет вычислена правильно, только если параметры заданного распределения P(x) определены не по той же выборке, по ко­торой вычислена эмпирическая функция распределения F(x).

Полезным свойством статистики Колмогорова-Смирнова является инвариантность к сдвигам и растяжениям по оси параметра распределения. Для нашего случая еще более важно, что испытание Колмогорова-Смирнова, хотя оно становится асимптотически точ­ным при N—><ю, дает осмысленные результаты даже при очень малом (более четырех) раз­мере выборки.

У испытания Колмогорова-Смирнова есть полезная для нашего случая модифика­ция, которая называется испытанием Колмогорова-Смирнова-Кьюпера [4]. Оно более чувствительно к «хвостам» распределения, чем основной вариант. Статистика этого ис­пытания записывается как

СРРСН'2008

1-ч.1 - 126

V = D+ + D—=  max [f(x)— P(x)]+ max [P(x) — F(x)].

—x<x<x —x<x<x

Смесь K-распределенной помехи и известного шума приемника

В теоретических исследованиях алгоритмов обнаружения в помехах от подстилаю­щей поверхности часто предполагается, что мощность помехи намного превосходит мощ­ность шума приемника, что дает основание пренебречь шумом приемника. Однако в ре­альных РЛС обнаружение небольших целей в этих условиях обычно невозможно, и прак­тический интерес представляют ситуации, когда мощность помехи соизмерима с шумом приемника.

Известно [1], что алгоритмы оценивания параметра формы, основанные на оценке среднего логарифма выборок и дающие хорошие результаты при наличии только k-распределенной помехи, оказываются практически неработоспособными при наличии дополнительного гауссовского шума .

В этом случае необходимо учитывать обе компоненты мешающего воздействия. Таким образом, требуется оценка параметра формы K-распределения по выборочному массиву суммы этих компонент. Структура алгоритма оценивания параметра формы, ос­нованного на использовании испытания Колмогорова-Смирнова, для этого случая выгля­дит следующим образом.

По выборочному массиву вычисляется эмпирическая интегральная функция рас­пределения смеси помехи и шума приемника и их суммарная мощность. Далее вычисля­ется мощность K-распределенной помехи как разность оценки мощности суммы и из­вестной мощности шума приемника. В зависимости от особенностей построения прием­ного тракта мощность шума может быть известна на этапе проектирования, или она должна оцениваться во время работы РЛС.

Интегральная функция распределения мощности суммы K-распределенной помехи и шума [1] имеет три параметра: мощности Гауссовской и K-распределенной помехи и параметр формы K-распределения.

После оценивания мощности K-распределенной помехи в этом распределении оста­нется один неизвестный параметр распределения - параметр формы K-распределения, который требуется оценить. Если мы будем менять значения параметра формы в диапа­зоне его возможных изменений и вычислять статистику Колмогорова-Смирнова, то сле­дует ожидать, что при значениях параметра формы, близких к истинному, значения этой статистики будут максимальными.

Это иллюстрируется рис.1, на котором представлены статистики Колмогорова-Смирнова и Колмогорова-Смирнова-Кьюпера в функции от параметра формы. Истинное значение параметра формы (на рис.1 помечено маркером) при симулировании задавалось равным единице.

Из приведенных графиков можно сделать вывод, что максимумы статистик дейст­вительно близки к истинному значению параметра формы. При этом испытание Колмо-горова-Смирнова-Кьюпера более чувствительно к параметру формы распределения. Этот вывод подтверждается также данными симулирования точности оценивания параметра формы с использованием этих двух статистик, которые здесь не приводятся.

Это ожидаемый результат. «Хвост» распределения более чувствителен к параметру формы, выше упоминался метод определения параметра формы, который основан на оце­нивании «хвоста» распределения по одной точке. В последующем симулировании, ре­зультаты которого приводятся далее, использовалась статистика Колмогорова-Смирнова-Кьюпера.

Таким образом, задача оценивания параметра формы сводится к нахождению зна­чения этого параметра, при котором достигается максимум статистики Колмогорова-Смирнова. В вычислительной математике имеется много эффективных алгоритмов мак­симизации функции по параметру. При симулировании, результаты которого представле­ны далее, использовался алгоритм Брента, который хорошо подходит для функциональ­ных зависимостей вида рис. 1. Отметим также, что для наших целей нет необходимости

СРРСН'2008

1-ч.1 - 127вычислять вероятностную меру (1), для нахождения максимума может быть использова­на, например, величина 1/d.

Характеристики описанного алгоритма оценивания были исследованы симулирова­нием методом Монте-Карло. Симулирование проводилось для набора истинных значений параметра формы, перекрывающих диапазон его возможных значений 0.1 - 20, встре­чающихся в экспериментальных данных. Отношение мощности K-распределенной поме­хи к шуму приемника задавалось равным 0 дБ. Размер эмпирического массива, по кото­рому производилось оценивание, был N=100.

Для сравнения одновременно с симулированием алгоритма оценивания Колмогоро­ва-Смирнова (KS) на тех же эмпирических данных проводилось симулирование наиболее часто используемого в настоящее время алгоритма, основанного на оценивании первых двух моментов распределения (m1-m2) [1].

На рис.2 представлены графики оценок параметра формы, полученные этими алго­ритмами для ряда истинных значений параметра формы, которые на трафике представле­ны в логарифмической шкале. Количество повторений Монте-Карло составляло 1000.

Относительные средние ошибки и относительные стандартные девиации оценок (отнесенные к истинным значениям параметра формы) для ряда истинных значений па­раметра формы приведены в табл. 1 и 1 а.

Таблица 1

0,93 1,63

0,011 0,007

1,345 0,704

0,30 0,27

4,00 2,78

Таблица 1 а

Параметр формы

2,84

4,96

8,66

15,14

20,00

Относительная ошибка, К8

0,015

0,012

0,011

0,008

-0,036

Относительная ошибка, ш1-ш2

0,105

-0,344

-0,656

-0,800

-0,856

Относительная сд, К8

0,28

0,26

0,25

0,25

0,19

Относительная сд, ш1-ш2

1,67

1,14

0,88

0,87

0,89

Анализ данных, приведенных на графиках и в таблицах, свидетельствует, что пред­лагаемый в данной работе алгоритм оценивания намного превосходит существующий метод оценивания. Он имеет примерно на порядок меньшие ошибки оценивания и стати­стический разброс оценок.

Смесь ЛГ-распределенной помехи и неизвестного гауссовского шума. Оценива­ние параметров распределения составной помехи, состоящей из суммы ^-распределенной и гауссовской помех, представляет значительный интерес для обнаружения целей при одновременном воздействии ^-распределенной помехи от подстилающей поверхности и гауссовской помехи от метеообразований. В этом случае все параметры распределения суммарной помехи следует считать неизвестными.

Для этого случая сохраняется структура алгоритма оценивания Колмогорова-Смирнова, описанная в предыдущем разделе, но здесь уже не имеется возможности раз­делить оценку суммарной мощности на мощность ^-распределенной и гауссовской по­мехи. Для вычисления теоретической функции распределения Р(х) мы используем нуле­вую гипотезу - предполагаем, что мощности ^-распределенной и гауссовской помех рав­ны.

Конечно, с точки зрения первоначального назначения метода Колмогорова-Смирнова это лишено смысла, поскольку в этом случае эмпирическое и заданное распре­деления заведомо не совпадают. Однако, статистика Колмогорова-Смирнова, оцениваю­щая форму распределения, будет чувствовать влияние подлежащего оцениванию пара­метра формы и будет иметь максимум вблизи истинного значения этого параметра.

Параметр формы Относительная ошибка, К8 Относительная ошибка, ш1-ш2 Относительная сд, К8 Относительная сд, ш1-ш2

0,10

0,17

0,31

0,53

0,107

0,040

0,028

0,020

1,532

1,424

1,501

1,492

0,50

0,43

0,36

0,33

4,84

5,13

4,91

4,77

СРРСН'2008

1-ч.1 - 128

Симулирование этого варианта проводилось для приведенного выше набора истин­ных значений параметра формы. Отношение мощности K-распределенной помехи к шуму приемника задавалось равным 10 дБ, мощность гауссовской помехи от дождя составляла

20 дБ.

Одновременно с симулированием алгоритма оценивания Колмогорова-Смирнова на тех же эмпирических данных проводилось симулирование алгоритма, основанного на оценивании первых трех моментов распределения [1].

На рис.3 представлены графики оценок параметра формы, полученные этими алго­ритмами. Из приведенных результатов видно, что в этих условиях метод моментов не ра­ботоспособен, и соответствующий график рис.3 представляет собой просто вычислитель­ный шум. Нужно отметить, что были заданы жесткие условия симулирования. Мощность K-распределенной помехи, параметр формы которой мы намерены оценить, на 10 дБ меньше мощности гауссовской помехи, а для алгоритмов оценивания параметра k-распределения гауссовская помеха является помехой в прямом смысле.

Алгоритм Колмогорова-Смирнова, как следует из графика рис.3, в этих условиях дает осмысленные результаты. Ошибки оценивания по сравнению с приведенными в пре­дыдущем разделе возрастают, что является платой за отсутствие информации о распреде­лении мощности между K-распределенной и гауссовской помехами.

По нашей оценке, точность, достигаемая алгоритмом Колмогорова-Смирнова для этого случая, будет достаточна для практического применения в обнаружителях РЛС.

ЛГ-распределенная помеха. Как указывалось выше, для случая, когда на входе об­наружителя РЛС имеется только K-распределенная помеха, имеется близкий к оптималь­ному алгоритм оценивания параметра формы [1], основанный на оценке среднего лога­рифма выборок (далее называемый алгоритм "log z"). Представляет интерес сравнить предлагаемый в данной работе алгоритм с этим субоптимальным оценивателем.

Структура алгоритма оценивания Колмогорова-Смирнова остается той же. В этом случае заданным распределением будет интегральное K-распределение, а оценка средней мощности помехи используется для вычисления параметра масштаба K-распределения.

Симулирование этого варианта проводилось для тех же истинных значений пара­метра формы. На рис.4 представлены графики оценок параметра формы, полученные ал­горитмами Колмогорова-Смирнова и алгоритма "log z".

Результаты симулирования показывают, что алгоритм Колмогорова-Смирнова име­ет характеристики оценивания не хуже (для значений параметра формы менее единицы), или лучшие (для других значений параметра), чем алгоритм "log z".

Здесь нет противоречия с утверждением, что алгоритм "log z" близок к оптималь­ному. Оптимальность в таких случаях достигается асимптотически при неограниченном увеличении размера выборки. Это иллюстрируется графиком рис.4, на котором представ­лены более точные оценки, получаемые алгоритмом "log z" при количестве выборок N=1000.

Алгоритм, основанный на испытании Колмогорова-Смирнова, тоже близок к опти­мальному, но имеет гораздо более быструю сходимость. При размере массива выборки N=100 он обеспечивает значительно более высокую точность оценивания, чем алгоритм "log z" при большем на порядок объеме выборки.

При применении алгоритмов оценивания в реальном времени большое значение имеет трудоемкость вычислений. В рассматриваемом алгоритме для вычисления эмпири­ческой интегральной функции распределения целесообразно использовать простой в вы­числительном отношении метод, основу которого составляет упорядочивание исходного массива выборок по возрастанию. В вычислительной математике имеется много очень эффективных алгоритмов упорядочивания массивов. Процедура вычисления средней мощности тоже проста.

Объем вычислений для формирования заданной теоретической функции распреде­ления определяется тем, насколько удобны для вычислений имеющиеся в теории вероят­ности формулы для требуемого интегрального распределения.

СРРСН'2008

1-ч.1 - 129

1,20

1,00 4

0,80

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-KSK KS

 

 

1

\

 

 

 

true nu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

1

\

\

 

 

 

 

 

\

\

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

<? 0,60

0,40

0,20

0,00

0,00

0,50

1,00

1,50 2,00

Shape parameter

2,50

3,00

3,50

Рис. 1. Статистики Колмогорова-Смирнова и Колмогорова-Смирнова-Кьюпера в функции от параметра формы ^-распределения. Сумма ^-распределенной помехи и известного шума приемника

 

—•— KS

 

20,00

 

 

Jl

 

m1-m2 true nu

 

18,00

 

 

 

 

16,00

 

 

1

 

14,00

 

 

 

 

12,00

10 00

 

 

 

 

 

 

/

 

 

8,00

 

 

 

 

6,00

 

у

 

 

4,00

__■-

 

 

 

 

 

 

 

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа