Автор неизвестен - Сборник научных трудов 3-го международного радиоэлектронного форума прикладная радиоэлектроника - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117 

n n

z (x) = V u x. > h ;    u. =V R. S. ;     x. = S. + y.. (1)

где: S(,y) - отсчеты сигнала и помехи в выборке, Rj - элементы матрицы, обратной к корреляционной матрице Kij помехи; порог обнаружения h устанавливается в зависимо­сти от принятого критерия качества (Байеса, Неймана-Пирсона и т. д.).

Показатели эффективности системы непосредственно зависят от отношения сигнал-шум (ОСШ) на ее выходе. ОСШ является параметром рабочей характеристики. Покажем, что независимо от распределения помехи, статистика zn (x) (1) в классе произвольных линейных статистик обеспечивает максимальное ОСШ на выходе системы.

Для центрированной помехи математическое ожидание и дисперсия статистики zn (x) соответственно равны

СРРСН'2008

1-ч.1 - 218

< zn (x) >=Zuг s,; °2 = Z ui Kv Mi (2)

1=1 i,j=l

где: К =< yi y. > ;   < > - символ усреднения^

В классе линейных статистик zn (x) с произвольными коэффициентами ui найдем вектор коэффициентов UU = (u1,u2,---,un), обеспечивающий максимум ОСПХ

d2(н) =< Zn (x) >2 / а2 = (Zu S, )2 /(Z u Kj uj) = max^ (3)

Дифференцируя (3) по um, получаем систему уравнений для определения вектора u

^^М. = Sm c(u)-[2Sm -c(u) (£КЩ. uj +ZKm u)] = 0;      m = 1,2,n , (4)

dum j=1 1=1

или, с учетом симметричности матрицы ,

Е кт/  и} = с~1) •5»;    с(и)=(Ем.- ■5*)/(Ем.-  к  и});   т = ^->и • (5)

] = \ 1=1 1,.; = 1

Множитель с) постоянный для всех уравнений системы (5) С учетом этого систему (5) можно записать в матричной форме

К х и = с"1 (и) 5 (6) где: К - корреляционная матрица с коэффициентами 5 = (51,---,5п) - вектор ком-

понентов сигнала^

Умножая (6) слева на обратную матрицу Б1 = 1С 1, получим

п

и = С1(й) х 5)     или      ит = с_1(и) 5] ,      т = 1,2, "",п • (7)

]=1

Множитель с) в (7) может быть произвольным, тж при подстановке (7) в (3) и в (4) он сокращается^ Подставляя (7) в (3), получаем выражение для максимального ОСШ

а ( Лх §)       = ( Лх §) =фр^Х¥) = [ £5 я «5 ]1/2 (8)

Я х К х Я х 5)    ^5р(Я х §) «,] =1

где: 5 - матрица с коэффициентами    = Б{ • 5];   5р(Н) - след матрицы Н

Таким образом, в классе произвольных линейных статистик zn (х) оптимальной является статистика с коэффициентами (7), обеспечивающая максимальное ОСШ (8) Эта стати­стика совпадает со статистикой (1) Результаты (7,8) получены без привлечения логариф­ма отношения правдоподобия и без информации о многомерном распределении помеха

Для построения рабочей характеристики необходимо экспериментально определить одномерную плотность распределения статистики (1) Методики оценки одномерных за­конов распределения случайных величин на основе опытных данных достаточно развиты • Рассмотрим один из возможных вариантов^ При заданном объеме (Т) обрабатываемой выборки разбиваем реализацию помехи у(/) большой длительности (0</< со) на под­диапазоны длительности Т Получаем множество реализаций {ук^)}, (к = 1,2,N) дли­тельности Т Каждую реализацию ук (/) считаем заданной в интервале [0,Т], умножаем ее в этом интервале на функцию и (/) и интегрируем

= } u (t) • yk (t )dt

Путем подсчета количества п{ величин zk, попадающих в интервал (zi, z« +Az), строится гистограмма р1 = п{ /(N • Az) • Сглаженная гистограмма Р(z) является оценкой плотности

СРРСН'2008

1-чЛ - 219распределения статистики гт (у) = | и(/) • у(/)й/ (рис. 1). Для стационарной помехи функ-

ция Р(г) не зависит от времени.

Рис. 1. Оценка плотности распределения Р(г) статистики г = х у), либо Р(х) для статистики х = г / а .

При наличии функции Р(г), процедура установления порогового уровня и по­строения рабочей характеристики аналогична принятой для нормального распределения. Для заданной вероятности а ложной тревоги порог обнаружения равен координате г1, правее которой площадь под кривой Р(г) равна а (рис.1). Несовпадение медианы М функции Р( г) с осью г = 0 означает, что помеха нецентрирована. Это учитывается в зна­чении координаты г1, порог смещается на величину а (рис.1). Слева от точки г1 на рас-

п

стоянии г =< гт (х) >=Еиг •     фиксируем точку г2. Площадь под кривой Р(г) левее

1=1

точки г2 равна вероятности р пропуска сигнала, а правее г2 - вероятности правильного обнаружения (1 — р).

Для нормального распределения при определении процентных точек используется канонический вид плотности распределения, приведенной к единичной дисперсии. Функ­цию Р(г)  также можно привести к такому виду. Для величины  х = г /а имеем

Р (х) = а- Р/ а). При этом точки г1, г2 переводятся в "процентные" точки ха = 2\/ а, Х1—р = г2/ а . Расстояние между ними Ха—Х1—р / а = й равно ОСШ (8). Увеличение ОСШ ведет к уменьшению вероятности пропуска сигнала р, т. е. к повышению эффек­тивности алгоритма. Классический вид уравнения рабочей характеристики сохраняется.

Найдем теперь вид оптимального зондирующего сигнала 5(/). Оптимальный сиг­нал при фиксированной энергии должен обеспечивать максимум величины й (8).

=гпах

при условии    ^ 52 = Е .

(9)

Компоненты вектора * находим методом неопределенных множителей Лагранжа [3]

Ф(8) = -Х-8] -Е);     дФ(8)/ дБт = 2(£Ящ - У -Х-Бт) = 0 . (10)

і, І=1

І=1

Систему уравнений (10) можно записать в матричном виде

СРРСН'2008

1-ч.1 - 220к х 5 = X• 5 ; соответственно, К х 5 -51, X = 1/X . (11) Вектор 5 является собственным вектором матричных операторов к и К . Соответст­вующее ОСШ получаем, подставляя (11) в (9)

с12 = 5х к х 5 = х- (5х 5) = х-|5|2. (12)

Собственные значения X находим из уравнения [3]

(К у -X -Ьу) = 0;    X = 1/ X ;      др - символ Кронекера. (13)

С учетом (11,12) искомый вектор 50 является собственным вектором оператора к при максимальном собственном значении X0 и оператора К при минимальном собственном значении X0 (минимальный действительный корень уравнения (13)). Вектор 50 опреде­ляется из (11) с точностью до постоянного множителя. Множитель конкретизируется до­полнительным условием (9). Окончательно получаем

К х 50 =    А;      |5>|2 = Е;      й = \5\/^к, ГЁ?к, . (14)

Полученные результаты сохраняются и для непрерывных выборок. При этом функция и (/) определяется из интегрального уравнения [2], эквивалентному матричному уравне­нию (6). Предельное значение ОСШ й определяется выражением (14). Оптимальный

зондирующий сигнал 50 (/) и величина XX 0 определяются из уравнения т т

, /') • 50(/')Ж' = X 50(/); 1502(/)<И = Е . (15)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа