І Г Дейнека - Аналіз теоретичних основ про вивчення впливу агресивних середовищ на матеріали з полімерним покриттям - страница 21

Страницы:

subject to 3x1 + 2x2 - x3 - 11x5 + x6 <-48 ; x1 + 6x2 + x3 + 2x6 < 18; x5 < 6; -5x5 < -24 ; 2x1 + x2 + x3 < 24 ; 2x3 + x5 + 3x6 < 36 ; -xj < 0 , j ф 5 (normals are not noted).

The maximal projections   prn5n = Зб, the second  main  hyperplane is

L5 : 2x1 + x2 + x3 = 24 , x3 = 24 - 2x1 - x2. Not adjacent facets L4 , L6 , x1 = 0 is ex­cluded from the constraint system.

Problem of the third iteration is maximize Z = -13x1 - 4x2 + 2x5 + 2x6 , subject to 5x1 + 3x2 - 11x5 + x6 < -24 ; -x1 + 5x2 + 2x6 < -6 ; x5 < 6 ; -xj < 0 , j = 2,6 .

The maximal projection prn8n = 4 therefore the third main hyperplane is L8 : x2 = 0.

Problem of the fourth iteration is maximize Z = -13x1 + 2x5 + 2x6, subject to 5x1 - 11x5 + x6 < -24 ; -x1 + 2x6 < -6 ; -x1 + 2x6 < -6; x5 < 6 ; -x6 < 0 . The fourth main hyperplane is L2: -x1 + 2x6 = -6 , x1 = 6 + 2x6 .

Problem of the fifth iteration is maximize Z = 2x5 - 24x6, subject to -11x5 + 11x6 < -54 ; x5 < 6 ; -x6 < 0 , hence the fifth main hyperplane is L12: x6 = 0.

Define Z = 2x5 +174 , therefore max Z = 186 at x5 = 6, x6 = 0, x1 = 6 + 0 = 6 ,

x2 = 0, x3 = 24 - 2 • 6 - 0 = 12, x4 = 12 - 2 • 6 = 0, i.e. X(6,0,12,0,6,0).

The minimal angle between the not main hyperplane L and the objective hyper­plane may be when L cuts the edge, having a small angle with the objective hyper­plane. As a consequence of adding the constraint L0 =-z + z(X) < 0 the inequality

L < 0 becomes dependent in the suboptimal point X(6,0,12,0,6,0). According to the Farkas' theorem [6] there is the L decomposition on Ц with the nonnegative factors. Find the decomposition: 5L5 = 24L,2 + L0 + 13L2 + 6L3 + 69L8 + L10 . Therefore the ver­tex X is not optimal, L5 is the dependent constraint and may be excluded from the constraint system.

Repeating     computations     define     the     point     X * (2,4;0;15,6;2,4;4,8;0)

(Z0 = Z(x*) = 201,6) as the intersection of hyperplanes L3 , L6 , L2, L12, L8 , L4 . For

L0 = z - z0 < 0 there is the decomposition

L0 = 3L2 + 4,7L3 + 0,1L4 + 14L8 + 2,5L6 + 11,5L12 so according to the Farkas' theorem

the vertex X * is the optimal point.

To find the integer solution to the example the simple heuristic algorithm may be used. Set of conditional extremums for two-dimensional cones gives the solution of the Integer Programming Problem. Find the integer solution x2 = 0, x3 = 15 for the

fifth iteration. For the third iteration by substitution x2 = 0 , 120

x3 = 15 find the conditional extremum x6 = 0, x1 = 3 of the task: maximize

z = 3x1 - 4x6 subject to 3x1 + 34x6 < 33 , x1 + 2x6 < 3, 5x6 < 2 , x6 < 2 , -x1 < 0 ,

-x6 < 0 .

At last for the first iteration by substitution x6 = 0 , x1 = 3 find the conditional ex­tremum x4 = 0, x5 = 6 of the task: maximize z = 6x4 + 12x5 subject to 6x4 + x5 < 30 , x4 + 2x5 < 12, 3x4 + x5 < 12, x5 < 6 , -x4 < 0 , -x5 < 0 . The point X0(3,0,15,0,6,0), Z( X0) = 201 is the integer solution and there is no need to do cor­recting calculations. Conclusion

Note that the determination of adjacent hyperplanes and effective definition of in­consistency of inequalities represents the independent problem in the convex analysis and are the subject of the research. The offered method is reduced the LP problem to classic tasks of the theory of polytopes and so new opportunities appear for construct­ing linear-time algorithms for solving large size LP problems.

References

1. Dantzig G. B. Linear Programming and Extensions. - Princeton University Press, Princeton, New York, 1963.

2. Karmarkar N. A. A new polynomial-time algorithm for linear programming // Combinatorica. - 1984, v. 4. - P. 373-395.

3. Megiddo N. New approaches to linear programming. - Algorithmica 1:4, 1986.

4. Brensted A. The introduction to the theory of convex polytopes. - Denmark, Copenhagen,

1983.

5. Mogaril-Iljaev G. G., Tikhomirov V. M. Convex Analysis and its applications. - Moscow: Publishing House of the Educational and Scientific Literature, 2001.

6. Tchernikov S. N. Linear Inequalities. - Moscow: Science, 1968.

УДК 628.218

Гусенцова Я.А.

ТИПОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ В СИСТЕМАХ ВОЗДУШНОГО ОТОПЛЕНИЯ И ВЕНТИЛЯЦИИ

Приведены типовые математические модели расчета характеристик структуры газовых потоков в системах воздушного отопления и вен­тиляции. Показано использование математических моделей при про­ектировании вентиляционных систем.

Вентиляционные системы современных промышленных предприятий и об­щественных зданий в общем случае представляют собой приточно-вытяжные системы, обслуживающие одно или несколько помещений.

За последние годы коренным образом изменился подход к анализу и расче­ту процессов вентиляции, к анализу работы вентиляционных устройств и к управлению ими.

Методы оптимизации стали необходимой составной частью технологиче­ских расчетов не только с целью выбора оптимального технологического реше­ния при создании той или иной системы, но и с целью оптимального управления.

Страницы:

Похожие статьи

І Г Дейнека - Дослідження ступеня надійності кислотозахисних костюмів від волокнистого складу текстильних матеріалів

І Г Дейнека - Аналіз теоретичних основ про вивчення впливу агресивних середовищ на матеріали з полімерним покриттям