І Г Дейнека - Аналіз теоретичних основ про вивчення впливу агресивних середовищ на матеріали з полімерним покриттям - страница 73

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93 

z x

векторов z и x , что z' - x' є U при z У , x' є У. В частности, при x' = x

z x

получим У - x c U или У c x + U . Учитывая произвольность вектора z ,

zx

окончательно получим: x + U = Ц) У- , x є x + U . Лемма доказана.

zєx+U

Лемма 2. Если U - открытое множество в векторном топологическом про­странстве E, то множество XU при любом Я Ф 0 открыто.

Доказательство.   Рассмотрим   произвольный   вектор   x є XU, или

■^-x є U, тогда y = -^-x, где y є U . Учитывая, что U - окрестность вектора y

Я Я

и в силу непрерывности операции умножения вектора на число, можно указать

такую окрестность У вектора x и такое число 8 > 0, что —x' є U при x' є У~

x Я x

-1 < 8 . Полагая X = Я , получим У- c U или У- c XU . Отсюда сле-

X   Я Я x x

дует, что XU = U У~ открыто в топологическом пространстве E. Лемма дока-

xєЯU

зана.

Лемма 3. Если F - замкнутое множество в векторном топологическом про­странстве E, то для любого числа Я Ф 0 множество Я замкнуто.

Доказательство. Пусть вектор x £ AF , тогда y = x £ F . Так как мно-

Я

жество F замкнуто в топологии пространства E, то существует такая окрест­ность У- вектора y , что У- П F = 0 и, очевидно, [яУ~)= 0 , Яф 0 . В силу непрерывности операции умножения вектора на число относительно за­данной в пространстве Е топологии, найдется такая окрестность V- вектора х

7

и такое число 8> 0, чтоX є V- при х' є V и

X       у х

-X~X\

< 8 . Для X = X

имеем V z V или V cz XV-, тогда V П (X) = 0 . Отсюда следует, что

X    х у х у X

множество XF замкнуто в Е. Лемма доказана.

Лемма 4. Если M - ограниченное множество в векторном топологическом пространстве Е, то для любого числа а Ф 0 множество aM ограничено в то­пологии пространства Е.

Доказательство. Предположим, что множество aM, аФ 0 неограничен­но в Е. Тогда существует такая окрестность нуля V~o, что для всех чисел Хф 0

X

имеем aM П XV- = 0 , или M ПV- = 0 . Последнее соотношение противо-

0 а 0

речит ограниченности множества M. Лемма доказана.

Теорема 1. Множество M в векторном топологическом пространстве Е ограничено тогда и только тогда, когда для любой последовательности векторов

{n }„=0 z M и произвольной бесконечно малой последовательности положи­тельных чисел [sn}™=7 последовательность {:„хп }п=7 сходится к 0 в заданной

топологии пространства Е.

Доказательство. Необходимость. Если M ограничено в Е, то для любой

окрестности 0 U z Е существует натуральное число n(U), зависящее только

от U , что для всех вещественных чисел X , таких что X - n(U), имеет место

включение

M zXU,      X- n(U). (1)

Пусть \sn }}=7 - бесконечно малая последовательность положительных чи­сел. Тогда имеет место неравенство

7

n   n(U) [n(Ul

7

(2)

7

Пролагая в (1) X = , n n' = max<{ n(U), n

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93 


Похожие статьи

І Г Дейнека - Дослідження ступеня надійності кислотозахисних костюмів від волокнистого складу текстильних матеріалів

І Г Дейнека - Аналіз теоретичних основ про вивчення впливу агресивних середовищ на матеріали з полімерним покриттям