І Г Дейнека - Аналіз теоретичних основ про вивчення впливу агресивних середовищ на матеріали з полімерним покриттям - страница 74

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93 

J

,   II       її    шил^ iiy^j / \

7

получим

M z U ,   n n'. (3)

Если {n }=0 - произвольная последовательность векторов из M, то на основании (3) находим

хп є U ,    n n' (4) є

или

s хп є U ,    n n'. (5)

Соотношение (5) эквивалентно предельному переходу в топологии про­странства Е вида

8пхп 0 ,       n оо . (6)

Достаточность. Пусть {п }п=7 - произвольная последовательность векторов из M z Е и {sn }оо=7 - бесконечно малая последовательность положительных чисел, причем limєпхп = 0 в заданной топологии. Предположим, что M- не-

п—оо

ограниченное в Е множество. Тогда существует такая окрестность нуля U , что для всех вещественных чисел X имеет место соотношение

M П XU = 0 ,      Хє R. (7) Полагая в (7) X = —, п = 7, 2, ... получим

M П-7-U = 0 ,   п = 7, 2,.... (8)

Так как {п }„=7 z M , то на основании (8) легко найти, что

7п £—U ,    п = 7, 2,..., (9)

или

єп7п £ U ,     п = 7, 2,.... (10) Соотношение (10) противоречит равенству limєпхп = 0 .

n—оо

Теорема доказана.

Лемма 5. Если М - ограниченное множество в векторном топологическом

пространстве E, то для любого вектора x є E , x Ф 0 множество x + М огра­ничено.

Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность векторов

\yn ]п=1 c x + М . Тогда yn = x + xn , где \xn ]п=1 c М . Так как М - ограничен­ное множество, то в силу теоремы 1 для любой бесконечно малой последова­тельности положительных чисел [єп}°о=1 limsnxn = 0 , где предел вычисляется

в топологии пространства E. Легко видеть, что єпуп nxn nx 0, п о . Это соотношение представляет собой достаточное условие теоремы 1

ограниченности множества x + М . Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть {xn }'°=1 - последовательность векторов топологического

векторного пространства E, сходящаяся к вектору x . Тогда множество {xn }°°=1 ограничено.

Доказательство. Сходимость последовательности {{{}=1 к x эквива­лентна сходимости к нуль-вектору 0 последовательности      - x}=1. Покажем,

что последовательность {Xn - x}=1 ограничена в топологии пространства E. Если это не так, то существует некоторая окрестность нуля U , что для всех ве­щественных Лф 0       - x}=1 I Ли = 0 . В частности, при  Л = 1 имеем

{{{ - x}=1 П U = 0 , что противоречит сходимости данной последовательности к нулю. Из ограниченности множества - x}n=1 следует, в силу леммы 5, ог­раниченность последовательности vcn }=1 = vcn - x\=1 + x. Лемма доказана.

Теорема 2. Если векторное топологическое пространство E локально ог­раничено, то в нем выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть М cz E - непустое открытое ограниченное мно­жество. Без ограничения общности можно считать, что М - окрестность нуля. В

противном случае ограниченной окрестностью нуля будет множество М - x,

где x - некоторый вектор, принадлежащий М. Это утверждение корректно в силу лемм 1 и 5. Пусть U cz E - произвольная окрестность нуля. Тогда, учиты­вая ограниченность множества  М, найдется такое натуральное  п, что

1 def 1

М c nU или М c U. В силу леммы 2, множества Gn = М , п = 1, 2, ... п п

открыты в E. Так как Gn+1 c Gn, то совокупность {Gn }a°=1 является счетной оп­ределяющей системой окрестности нуля. Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93 


Похожие статьи

І Г Дейнека - Дослідження ступеня надійності кислотозахисних костюмів від волокнистого складу текстильних матеріалів

І Г Дейнека - Аналіз теоретичних основ про вивчення впливу агресивних середовищ на матеріали з полімерним покриттям