Автор неизвестен - Бионика интелекта информация язык интеллект№ 3 (77) 2011научно-технический журналоснован в октябре 1967 г - страница 19

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77 

Минимальная ДНФ этого предиката имеет вид:

f=x1ax2avx1ax2bvx2cx3a.

Система Гвсех решений уравненияf(x1, x2, x3)=1 может быть представлена в следующей сокращен­ной форме J={(a, a, x3 ), (a, b, x3), (x1, c, a)). В дан­ной записи под x1 и x3 понимаются произвольные буквы алфавита А. Полная же запись системы всех решений имеет вид: Г={(а, а, а), (а, а, b), (а, а, с), (а, b, а), (а, b, b), (а, b, с), (а, с, а), (b, с, а), (с, с, а)}.

Введенные ранее понятия конечного предиката, формулы алгебры конечных предикатов, канони­ческого уравнения и множества всех его решений допускают содержательную логическую интерпре­тацию. Формулы алгебры конечных предикатов можно интерпретировать как высказывания или суждения интеллекта. Каноническое уравнение А=1, где А — произвольно выбранная формула ал­гебры конечных предикатов, можно интерпрети­ровать как утверждение об истинности высказыва­ния А, уравнение A=0 можно интерпретировать как утверждение о ложности высказывания A. Конеч­ный предикат f(x1, x2,..., xn), обозначаемый форму­лой А, а также эквивалентное ему множество Гвсех решений (x1, x2,..., xn) уравнения А=1 можно интер -претировать как содержание высказывания А.

Формулы, обозначающие тождественно истин­ный предикат, назовем тождественно истинными, их можно интерпретировать как бессодержатель­ные или тавтологические высказывания. Формулы, обозначающие тождественно ложный предикат, назовем тождественно ложными. Их можно ин­терпретировать как противоречивые высказывания. Формулу, не являющуюся тождественно ложной, можно рассматривать как выполнимое высказыва­ние. В случае, когда формула Az>B тождественно ис­тинна, высказывание В можно интерпретировать как логическое следствие высказывания А. Если тождественно истинна формула A~B, то высказы­вания A и B можно интерпретировать как логически равносильные. Если формула A~B тождественно ложна, то высказывания А и В можно интерпрети­ровать как логически несовместимые, в противном случае — как логически совместимые, иначе говоря, как высказывания, имеющие общее содержание.

Рассмотрим пример логического использова­ния понятия уравнения алгебры конечных преди­катов. Решим средствами алгебры конечных пре­дикатов одну простую задачу. Пусть задано, что xe {а, b, с} x+а, x+b. Требуется определить значение буквенной переменной x. Человек, лишь взглянув на условие задачи, мгновенно находит: x=c Ал­гебраическое же решение данной задачи требует определенной затраты усилий. Условие xe {а, b, с} означает, что х=а или х=Ь, или х=с. Оно формаль­но запишется в виде канонического уравнения xavxbvxc=1. Условия xи x+b на языке алгебры конечных предикатов запишутся в виде уравнений xa =1, xb =1. Все вместе условия задачи запишутся в виде уравнения:

(xavxbvxc) xa xb =1. Упрощаем левую часть этого уравнения:

(xavxbvxc) xa xb xb—xaxa xb vxbxa xb vxcxa xb—0v0vxc—xc.

Таким образом, xc=1, откуда находим x=c. Рас­смотрим другой пример на ту же тему: доказать, что из xe {a, b, c}, x+a, x+b следует x=c. Чтобы решить эту задачу, записываем формулу, соответствую­щую утверждению, которое требуется доказать:

(xavxbvxc) xa xb 3xc. Производим упрощение этой формулы

(xavxbvxc) xa xb ^>xc—xc^>xc—1.

Таким образом, формула тождественно истин­на, а значит, утверждение x=c следует из условия xe {a, b, c}, x+a, x+b.

Приведенные примеры могут служить иллю­страцией к следующему общему утверждению: процесс решения уравнений и определения зна­чения формул алгебры конечных предикатов мож­но интерпретировать как мышление интеллекта, являющееся основой интеллектуальной деятель­ности человека. Машинное мышление возможно в той же мере, в какой возможно машинное реше­ние уравнений и машинное определение значе­ний формул алгебры конечных предикатов. Одной из важнейших задач теории интеллекта является разработка методов оперирования с формулами и уравнениями алгебры конечных предикатов, пред­назначенных для их машинной реализации.

2. Универсальная алгебра

До сих пор говорилось об алгебре конечных предикатов в единственном числе, на самом же деле была введена не одна, а целое семейство та­ких алгебр. Данное семейство включает в себя бес­конечное число различных алгебр. Каждой паре алфавиту букв А=^, a2,..., ak} и алфавиту пере­менных В={x1, x2,..., xn} соответствует отличная от других алгебра конечных предикатов. Всякий раз, прежде чем приступить к рассмотрению той или иной задачи, мы указывали алфавиты А и В, производя тем самым выбор конкретной алгебры конечных предикатов, на языке которой затем ве­лось решение задачи. Указанный образ действий, однако, не всегда удобен, в частности при рассмо­трении проблем, включающих в себя ряд взаимос­вязанных задач. Если для каждой из таких задач выбрать наиболее экономную при заданных усло­виях алгебру конечных предикатов и на ее языке описывать решение задачи, то впоследствии могут возникнуть трудности, обусловленные «языковым барьером», при соединении в единое целое резуль­татов, полученных при решении различных задач. Так, например, если формула А записана на языке одной алгебры конечных предикатов, а формула В на языке другой, то система уравнений {A=1, B=1}, вообще говоря, теперь уже не равносильна уравнению AvВ=1.

К такого рода проблемам относится проблема математического описания функций человече­ского интеллекта. Интеллект человека это очень сложная система, его функционирование не может быть описано «одним ударом». Теория интеллекта, без сомнения, будет развиваться постепенно, на­капливая отдельные результаты. Чтобы в процес­се развития не столкнуться с языковым барьером при объединении отдельных результатов в единую систему, очевидно, нужно с самого начала выбрать в качестве формального языка весьма мощную и единую для всех задач теории интеллекта алгебру, оперирующую достаточно большим числом букв и переменных. Тогда все объекты теории интеллекта можно будет описывать на одном и том же языке.

Однако возникает серьезное неудобство: всякий раз, описывая те или иные функции интеллекта, в том числе самые простые (а именно с простейшими функциями теория интеллекта будет иметь дело в первую очередь), придется использовать в качестве формального языка громоздкий математический аппарат, рассчитанный на применение к сложным объектам. Так, например, для записи СДНФ про­стейшего предиката придется ввести в действие весь арсенал букв и переменных. Такая СДНФ должна иметь невообразимо большую длину, оперировать ею будет практически невозможно. Вместе с тем, резервирование с самого начала огромного числа букв и переменных не спасает положения: сколь бы ни была обширна выбранная алгебра конечных предикатов, рано или поздно она станет недоста­точной для удовлетворения постоянно растущих нужд развивающейся теории интеллекта. Таким образом, оба подхода — использование для каждой конкретной задачи собственной экономной специ­ализированной алгебры и использование алгебры, общей для всех возможных в теории интеллекта задач, — обладают достоинствами и недостатками. Хотелось бы иметь такой третий подход, который, соединяя достоинства первых двух подходов, был бы свободен от присущих им недостатков. Такой подход существует. Он основан на использовании универсальной алгебры конечных предикатов, к рассмотрению которой мы и переходим

Теперь мы будем во всех случаях пользоваться единой алгеброй с алфавитом букв А=^, a2,..., ax} и алфавитом переменных В={х1, х2,..., xv}, называе­мой универсальной алгеброй конечных предикатов, особенность которой заключается в том ,что чис­ла х и v букв и переменных в ее алфавитах всегда будут оставаться неопределенными. Вместе с тем, при практическом применении универсальной ал­гебры не должна возникать необходимость узнать точные значения этих чисел. О числах х и v будем считать известным лишь то, что они конечны и на­столько велики, что удовлетворяют любым нуж­дам теории интеллекта, которые могут возникнуть даже в самом отдаленном будущем при ее разви­тии. При указанном подходе невозможно пере­числить все буквы и переменные универсальной алгебры, однако такое перечисление нам никогда и не понадобится. Просто мы будем считать, что в алфавитах А и В содержатся все нужные знаки и в универсальной алгебре можно будет пользоваться любыми знаками без каких бы то ни было ограни­чений. Поскольку у отдельного человека (и даже у всего человечества в целом за всю историю его существования) может находиться в обращении лишь конечное число знаков, мы не вступаем в противоречие с требованием конечности алфави­тов А и В универсальной алгебры.

Приступая к рассмотрению той или иной кон­кретной задачи теории интеллекта, будем каждый раз перечислять все переменные, которые мы со­бираемся в этой задаче использовать. Остальныепеременные универсальной алгебры, не указанные в этом перечне, будем молчаливо считать фиктив­ными. Обозначим переменные, введенные в дан­ной конкретной задаче, через x1, x2,..., xn. Для каж­дой такой переменной укажем область ее задания, то есть множество всех тех букв, которые эта пере­менная может принимать в данной задаче. С этой целью вводим следующую систему уравнений:

'x?1 v x;21 v... v x^11 = 1,

Х2    V V... V 1, /,-іл\

[x> vxan2n v... vxank»" 1. Эти уравнения означают, что x1e {an, a21,..., atl1

ь ^l-v        a2n,..., ak„n}; они

задают для каждой переменной, участвующей в за­даче, свою область изменения. Здесь a11, a21,..., ak1 , a12 , 022,..., a*22a1n, a2n,..., буквы алфави­та А, предназначенные для использования в задаче; k1, k2,..., kn числа, не превышающие число %. На систему уравнений (20) целесообразно смотреть, как на часть математического описания объекта, рассматриваемого в задаче. При решении задачи уравнения (20) должны учитываться наравне с дру­гими фигурирующими в ней уравнениями.

Требование предварительного задания области изменения для каждой переменной, встречающей­ся в задаче, не более обременительно, чем необхо­димость указания алфавита букв при выборе спе­циализированной алгебры конечных предикатов для той же задачи. Если область изменения неко­торой переменной точно неизвестна, то всегда до­пустимо взять для этой переменной область зада­ния «с запасом», включив в нее и такие значения, которые переменная, быть может, никогда не будет принимать. В частности, при желании можно для всех переменных, участвующих в задаче, принять одну и ту же область задания. В универсальной алгебре, ввиду невозможности перечисления всех букв алфавита А, практически не удается восполь­зоваться законом истинности:

xj vxaf v...vx} 1, (1<j<n). (21)

Указанное обстоятельство, однако, не приводит к затруднениям, так как в универсальной алгебре на смену системе тождеств (21) в каждой конкрет­ной задаче приходит система (20) уравнений того же типа. Уравнения (20) назовем усеченными зако­нами истинности.

В универсальной алгебре по той же причине нельзя практически применить и закон отрицания

x"; vxJ2 v...v^ v^ v... vxJ, (22)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа