І Габрусєва, Б Шелестовський - Взаємодія кільцевого штампа із попередньо напруженим шаром у випадку потенціалу бартєньєва-хазановіча - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

Габрусєва І. Взаємодія кільцевого штампа із попередньо напруженим шаром у випадку потенціалу Бартєньєва-Хазановіча / Габрусєва І, Шелестовський Б. // Вісник ТНТУ. — 2010. — Том 15. — № 3. — С. 14-22. — (механіка та матеріалознавство).

УДК. 539.3

І. Габрусєва; Б. Шелестовський, канд.фіз.-мат.наук

Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя

ВЗАЄМОДІЯ КІЛЬЦЕВОГО ШТАМПА ІЗ ПОПЕРЕДНЬО НАПРУЖЕНИМ ШАРОМ У ВИПАДКУ ПОТЕНЦІАЛУ БАРТЄНЬЄВА-ХАЗАНОВІЧА

Резюме. Побудовано розв 'язок контактної задачі про тиск жорсткого кільцевого штампа складної конфігурації на попередньо напружений ізотропний шар із використанням лінеаризованої теорії пружності. Розглянуто числовий приклад побудови функції розподілу контактних напружень. Проаналізовано вплив товщини шару на розподіл контактних напружень під штампом.

Ключові слова: кільцевий штамп, попередні напруження, потенціал Бартєньєва-Хазановіча.

INTERRELATION OF THE ANNULAR PUNCH WITH THE PRELIMINARY STRESSED LAYER IN THE CASE OF BARTENEV-

KHAZANOVYCH POTENTIAL

The summary. The solving of tasks on the contact interaction of the annular punch and isotropic layer with residual deformations is built. Numerical example of searching components of contact strain under the punch, is consider. The effect of thickness of a layer on distributing contact stresses is analyzed.

Key words: annular punch, residual deformations, preliminary stresses, Bartenev-Khazanovych potential.

Підвищення надійності та довговічності конструкцій і механізмів є одним із найактуальніших завдань сучасного будівництва та машинобудування. Як відомо [1], в елементах конструкцій та деталях машин майже завжди наявні залишкові деформації. Природа їх виникнення може бути дуже різною: незворотні деформації (пластичність, повзучість), структурні перетворення в матеріалі, зміна агрегатного стану в окремих місцях конструкцій, механічні, хімічні та технологічні процеси тощо. Напруження, що при цьому виникають, так само як і будь-які інші, можуть викликати руйнування, прискорити певні фазові переходи, корозію. Врахування залишкових деформацій при розрахунку важливих елементів конструкцій, машин та споруд дозволяє точніше оцінювати запас міцності матеріалу, отже суттєво зменшити його витрати, зберігаючи при цьому необхідні функціональні характеристики елементів у цілому.

Саме тому дослідження контактної взаємодії пружних тіл із залишковими деформаціями є надзвичайно актуальним завданням на сьогодні та залишатиметься таким у майбутньому.

Задачі про контактну взаємодію тіл із залишковими деформаціями розв'язували

I. Gabruseva; B. Shelestovsky

раніше багато вітчизняних та закордонних учених. Повний опис та огляд робіт, присвячених теорії контактної взаємодії попередньо напружених тіл із жорсткими штампами, можна знайти у статті [2]. Проте

недостатньо вивченим залишається питання

взаємодії     кільцевих     штампів складної

Рис. 1. Схема контактної взаємодіїконфігурації з пружним півпростором та шаром, у якому наявні залишкові деформації.

Розглянемо осесиметричну задачу про тиск жорсткого кільцевого штампа на попередньо напружений ізотропний шар товщиною h, що лежить на жорсткій, абсолютно гладкій основі.

Розв'язуватимемо задачу у рамках лінеаризованої теорії пружності з використанням термінології та позначень монографії [3]. Вважатимемо, що пружні потенціали є неперервними, двічі диференційованими функціями алгебраїчних інваріантів тензора деформацій Гріна [3]. Усі виклади проведено у координатах деформованого стану yi, що пов'язані з лагранжовими координатами (які в початковому, не деформованому стані, співпадають із декартовими) співвідношеннями yi = Aixi   (i = 1,2,3), де  Лі  - коефіцієнти видовження лінійного елемента, який

направлений вздовж декартової осі xi. Також вважатимемо, що дія штампа викликає у

шарі малі збурення основного однорідного напружено-деформованого стану, для якого виконуються умови

де £0 - складові тензора початкових напружень.

Штамп втискується у шар поступально без обертання та тертя під дією постійної сили P . Його утворено обертанням навколо спільної осі двох віток парабол, спряжених у вершинах відрізком прямої, перпендикулярної до осі обертання. Осі парабол, що обмежують штамп, паралельні до спільної осі обертання, що співпадають із лінією дії сили P .

Виберемо циліндричну систему координат (O, r, в, z) так, щоб координатна

площина (O, r, в) співпадала з верхньою граничною площиною шару, а вісь Oz - із

лінією дії сили P (рис. 1).

Граничні умови поставленої задачі такі:

°rz (r,0) = 0,0 < r <o; (2) azz (r, 0) = 0, 0 < r < a, b < r ; (3) uz (r,0) = w(r), a < r < b ; (4) Gzz (r, -h) = 0,0 < r <oo ; (5) uz (r, -h) = 0,0 < r <oo . (6)

Функцію w (r), що описує форму жорсткого штампа, зобразимо так:

w І

1

(a)+ 2R  l(ra - r)   -(ra - a)

2      ' . ^2

a

, a < r < ra;

w ( r ) = <

12 w (ь)-2R^    - ь) , 1 < r < гь '

(7)

, Гь < r < b;

де r1 = r + r

—--, R1 та R2 - радіуси кривини парабол, якими обмежено штамп.

Компоненти тензора контактних напружень та вектора переміщень у осесиметричному випадку за допомогою двох невідомих функцій щ (r, z) та щ2 (r, z) можна записати у вигляді [1]

д . ,      д2

U„ =—((Р1 +02 ) + z^T_ (Р2;

дг

drdz

u = m,

1

\{ д(1   ,   _ d V2 1  ,   „ д(Р2

°Z = С33

д

2

+

д 2

+ s

д

д 3(2

(8)

дz2Уі       2)      дz3

( +       ) + .

д>2

дrдz2

(9)

Функції щ (r, z) та (2 (r, z) при цьому повинні задовольняти рівняння

д2    1 д

д2

2 +----+ П 2

r дr

Щ = 0; i = 1,2 (10)

Співвідношення (8) - (9) записано у загальному вигляді для випадку теорії великих (скінчених) деформацій, а також різних варіантів теорії малих початкових деформацій, та враховують наявність пружного потенціалу довільної структури. Вони побудовані для стискуваних та нестискуваних тіл без будь-яких обмежень. Коефіцієнти c31, c33,

m1, n1, s, s0 та s1, у співвідношеннях (8) - (10), залежать від характеру пружного

потенціалу, їх підбирають у кожному окремому випадку відповідно до [3].

Застосувавши до співвідношень (10) формулу обернення інтегрального перетворення Ганкеля, отримаємо

Г    d2 1

П      -ay, (a, z ) = 0; i = 1,2. У співвідношеннях (11) Щ (a, z) - трансформанта Ганкеля нульового порядку

сю

(11)

Функції щ (a, z) (i = 1,2 ) будемо вибирати у вигляді

Щ (a, z) = Ai (a) ch (az) + Bi (a) sh (az). (12)

Застосувавши до співвідношень (12) формулу інтегрального перетворення Ганкеля, врахувавши вирази (8) - (9), отримаємо

ю

ur (r, z) = - j a2 {A1ch (az ) + A2 \ ch (az ) + azsh (az)] +

0

+ B1sh (az ) + B2 \ sh (az ) + azch (az )]} J1 (ar ) da;

ю

uz (r, z) = m1 ja2 {A1 sh (az) + A2 \s1 sh (az ) + azch (az )] +

0 (13) + B1ch (az) + B2 \ s1 ch (az } + azsh (az )]} J0 (ar ) da;

ю

orz (r, z) = -c31 j a3 {A1sh (az ) + A2 \ s0 sh (az) + azch (az )] +

0

+ B1ch (az ) + B2 \ s0 ch (az } + azsh (az )]} J1 (ar ) da;

azz (r, z) = c33 ja3 {A1ch (az) + A2 \s ch (az) + azsh (az )] + (14)

+ B1sh (az) + B2 \s sh (az} + azch (az)]} J0 (ar ) da .

На верхній граничній площині шару, при z = 0, зі співвідношень (13) - (14), отримаємо

ю

°zz = c33 ja {A1 + A2 ^ s} J0 (ar) da (15)

0

ю

°rz = -c31 ja {B1 + B2 ^ s0 } J1 (ar) da (16)

0

ю

uz = m1 ja2 {B1 + B2 s1}J0 (ar)da (17)

0

На нижній граничній площині шару, при z =-h, використавши (13) - (14), отримаємо

orz = -c31 j a3 {-A1sh (ah) + A2 \-s0 sh (ah) - ahch (ah)] +

0

+B1ch (ah) + B2 \ s0 ch (ah) + ah sh (ah )]} J1 (ar) da, (18)

ю

uz = m1 j a2 {-A1 sh (ah) + A2 \-s1 sh (ah) - ahch (ah)] +

(21)

+B1ch (ah) + B2 \s1ch (ah) + ah sh (ah)]} J0 (ar) da. (19)

Вимагаючи виконання граничної умови (2), із рівності (16) отримаємо співвідношення між функціями B1 та B2

B + B2 s0 = 0 => B1 =-s0 B2. (20) Підставивши (20) у співвідношення (18) - (19) та задовольнивши граничні умови (5) - (6), отримаємо систему відносно невідомих A1 та A2

A1sh (ah) + A2 \s0 sh (ah) + ahch (ah)] = B2ah sh (ah),

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

І Габрусєва, Б Шелестовський - Взаємодія кільцевого штампа із попередньо напруженим шаром у випадку потенціалу бартєньєва-хазановіча