О І Бабинюк - Дослідження моделі популяції - страница 1

Страницы:
1  2 

7. Вентцелъ Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. М.: Нау­ка, 1964. —576 с.

8. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов / Н. Винер. М.: ИЛ, 1960. — 160 с.

9. Волътер Я. Стохастические модели в экономике / Я. Вольтер.М.: Статистика, 1967. — 320 с.

10. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. К. : Наук. думка, 1987. — 612 с.

11. Гихман И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гих­ман, А. В. Скороход. М.: Наука, 1977. — 567 с.

12. Джалладова І. А. Оптимізація стохастичних систем / И. А. Джал-ладова.— К.: КНЕУ, 2005. — 284 с.

13. Дуб Дж. Вероятностные процессы / Дж. Дуб. М. : Изд-во иностр. лит. 1956. — 605 с.

14. Дынкин Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин. М.: Физма-тгиз, 1963. — 659 с.

15. Ито К. Вероятностные процессы / К. Ито. М.: ИЛ, 1960. — 133 с.

16. Ито К. О стохастических дифференциальных уравнениях / К. Ито // Математика: сб. переводов. — 1957. —Т. 1. — № 1. — С. 78—116.

17. Казаков И. Е. Оптимизация динамических систем случайной структуры / И. Е. Казаков, В. М. Артемьев. — М. : Наука, 1980. — 382 с.

18. Квакернаак Х. Линейные оптимальные системы управления / Х. Квакернаак, Р. Сиван. М.: Мир, 1977. — 650 с.

19. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статис­тика: [Сб. статей]/ А. Н. Колмогоров. М.: Наука, 1986. — 535 с.

20. Королюк В. С. Стохастические модели систем / В. С. Королюк.К.: Наук. думка, 1989. — 210 с.

Статтю подано до редакції 29.04.10 р.

УДК 303.732.4

О. І. Бабинюк, асистент кафедри вищої математики ФІСІТ, ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана»

ДОСЛІДЖЕННЯ МОДЕЛІ ПОПУЛЯЦІЇ

І ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ЗА ДОПОМОГОЮ

ФУНКЦІЇ ЧУТЛИВАОСТІ

АНОТАЦІЯ. Досліджено модель популяції за допомогою традіційних ме­тодів, за допомогою функції чутливості першого порядку. А також за­пропоновано метод дослідження за допомогою функції чутливості дру­гого порядку, проведено порівняння точності оцінок за традиційними методами та новими.

© О. І. Бабинюк, 2010

199

ANNOTATION. We researching the population models with help traditional methods and with help sensitivities functions first order. Also supposed the methods of investigating with help sensitivities functions second order and fulfill analyses accuracy of estimates as traditional and new methods.

КЛЮЧОВІ СЛОВА. Функція чутливості першого та другого порядків, матри­ця інформації Фішера, оцінки параметрів,

Вступ. Припустимо, що задано динамічну систему, яка є мо­деллю фізичного, соціального або біологічного явища, тобто:

x(t) = F(t, x(t), в),  x(t) = x0 (в),

n(t) = h(t, x(t), в), t є[0,Т ], (1)

де x(t)є Rn , n(t)є Rn, вє Rp, F : Rl+n+p Rn, n: Rl+n+p R, F і h — достатньо гладкі функції. Розв'язок задачі (1) подамо у вигляді:

x = x(t, в), 0 < t < T ,

П = f(t, в), 0 < t < T , (2)

де f визначена як f (t,в) = h(t, x(t, в), в).

Звичайно, цікавим в контексті моделі (1) — (2) є питання:

1. Пряма задача, тобто знаходження і] залежно від парамет­ра в . Важливим є завдання ідентифікації цих параметрів, до яких модель більш (менш) чутлива.

2. Обернена задача, або задача оцінки параметрів, яка полягає в оцінці параметра в залежно від множини значень і].

Це дуже важливі задачі і вони раніше вивчалися за допомогою традиційної функції чутливості (ТФЧ) [1, 2].

У цій роботі ми розглядаємо задачу оцінки параметру в за­лежно від оптимального припущення на майбутнє.

Припускаємо, що інформація про параметр в може значно змінюватися від одного моменту вимірювання до іншого. Мета дослідження: отримати математичний інструмент, який дозволяв би отримувати більш точну оцінку, та сформулювати задачу оці­нювання «істинного» значення в від номінального за аналогією метода найменших квадратів, шукають найменше значення від суми квадратів різниць y(t) = n(t,      і j(t, в).

Традиційно, відповідь на це питання полягає в знаходженні розподілів для вимірювань, які оптимізують деякий критерій. За­звичай, критерієм слугує матриця інформації Фішера. Але ця мат­риця залежить від параметрав0, який на практиці не відомий. Ми розв' язуватимемо задачу використовуючи поняття узагаль­неної функції чутливості, яка вперше була введена Thomasehh and Cabelli [5]. Отримані результати будемо ілюструватимемо на логістичній моделі популяції VerhulstPearl. Ця модель широко застосовується в науково-дослідницькій літературі, має аналітич­ний розв' язок, кілька параметрів та добре відому динаміку [2]. Логістична модель, яка наближає розмір граничного насичення популяції залежно від часу, описується диференціальним рівнян­ням:

x(t) = rx(t)|1 --^ I,  x(0) = x0,

(3)

де к, r, x0 — сталі, які, відповідно, описують: стан навколиш­нього середовища, коефіцієнт зростання популяції і початкове значення популяції.

Наша задача полягає в оцінці параметра в = , r.x0) є R . Аналітичний розв' язок задачі (3) подається у вигляді:

x(t) к

1+(А -1|. е­(4)

і наближено дає стійкий стан х = к при t —> °° (рис. 1).

18

x(t,k,r)

5     10    15    20    25 ЗО час

Рис. 1. Розв'язок логістичного рівняння при в 0 = (17,5;0,7;0,1)

Порівнявши з (2), матимемо, що в цьому випадку функція ви­значається правою частиною рівняння (4).

1. Загальні постановки задачі оцінювання параметра

1.1. Процедура вимірювання

Припускаємо, що при заданому T > 0 ми можемо здійснити вимірювання t є [0, T]. Виходячи з класичної статичної теорії, розглянемо

y(t) = f (t, в) + e(t), t є[0, T] (5)

в якості реалізації моделі для процесу, який спостерігається, де в 0 — «істинний» або номінальний параметр, про який вже нам відомо із вступу; нелінійна функція f неперервна і двічі диферен­ційована по в0 .

Функція y , яка задає вимірювання в будь-який час t є [0, T], реалізує стохастичний процес (статистична модель):

y(t) = f (t, в 0) + w(t),

який регулює процес вимірювання.

Звичайно f(t, в) детермінована функція означає зовнішню модель відповідно y істинного значення в0 і w(t) — випадковий процес типу білого шуму для вимірювання похибки. Похибка e(t) в (5) це просто реалізація w(t). Далі припускаємо, що

E (w(t)) = 0, t є[0, T ],

Var w(t) = ст2(t), t є[0, T], Cov(w(t) w(s)) = a(t)a(s)8(t - s), t є [0, T],

де 8(t) функція Дірака.

Позначимо через m(t) щільність вимірювань при t є [0, T],

t

тобто \ m(r)dr — кількість вимірювань на інтервалі [s; t], s < t.

Визначимо, згідно з методом найменших квадратів, похибку вимірювань за формулою [1]:

J(У, в) = J-^(y(t) - f (t, в))2 dt. 0 о 2(t)

Інтеграл можна розглядати по відношенню до міри P на [0, T]

dP(t)

зі щільністю m(t) = ^ . Це мотивує нас розглядати більш загаль­ний функціонал похибки у вигляді:

J (У, в) = T~1 (y(t) - f (t, в))2 dP(t), 0 о 2(t)

де P — загальна міра на [0, T ].

Л

Якщо ми хочемо отримати оцінку параметру в мінімізуючи J(y, в) по в в сусідньому в 0 , ми можемо, не обмежуючи загаль­ності, припустити, що P — ймовірнісна міра на [0,T ]. У дискретному випадку (скінчене число вимірювань), беручи

n

Pd = Z 8ti отримуємо:

Jd(У,в) = J—1—(y(t) - f (ti,в))2 . i=1 о 2(ti)

1.2. Оцінки найменших квадратів

Для оцінки в0 використовуємо процедуру найменших квад­ратів, тобто:

Л

в = arg min J(y, в). (6)

в

Л

Розглядаємо y як реалізацію стохастичного процесу Y, в як

Л

реалізацію випадкової величини в , яку називають вагою оцінки найменших квадратів. Запишемо (6) у вигляді:

Л

в = arg min J (Y, в).

в

Використовуючи процедуру лінеаризації [5] ми отримаємо в першому наближенні результат

0= Np (0 о, X о):

тобто 0 наближено має нормальний розподіл з математичним сподіванням 0о і дисперсією X о, де X о обернена до матриці інформації Фішера.

1.3. Традиційна функція чутливості

Розглянемо модель (2). Визначимо традиційну функцію чут­ливості парного порядку у вигляді:

sk (t, 0) = d0- (t, 0) є R , k = ~p,

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

О І Бабинюк - Дослідження моделі популяції

О І Бабинюк - Моделювання оптимізації інвестиційного портфеля з урахуванням ризиків в умовах фінансової кризи