2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ

Косолапов Ю.Ф.

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ПЕРШОГО КУРСУ ЧАСТИНИ 1 - 2

Навчальний посібник по вивченню курсу "Математичний аналіз" для студентів ДонНТУ

Розглянуто на засіданні кафедри вищої математики протокол № 8 від 29.04.2009

Затверджено на засіданні навчально-видавничої ради ДонНТУ протокол № 2 від 29.04.2009

ДОНЕЦЬК 200УДК 517.2(071)

Косолапов Ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу. Частини 1 - 2: Вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування. Інтегра­льне числення. Диференціальні рівняння. Ряди: Навчальний посібник по ви­вченню курсу "Математичний аналіз" для студентів ДонНТУ/ - Донецьк: РВА ДонНТУ, 2009. - 458 с.

Викладаються основні поняття теорії границь, неперервності, диференці­ального числення, невизначеного, визначеного і подвійного інтегралів, звичай­них диференціальних рівнянь та систем, теорії рядів. Подаються численні прак­тичні застосування. Докладно розглядаються приклади розв'язання типових за­дач. Дано завдання для самостійної роботи.

Для студентів і викладачів технічних вузів.

УКЛАДАЧ: Косолапов Ю.Ф.

РЕЦЕНЗЕНТ: кандидат фізико-математичних наук, доцент Косілова О.Ф.

ВІДПОВІДАЛЬНИЙ ЗА ВИПУСК:

зав. кафедри вищої математики ДонНТУ, доктор технічних наук, професор

Улітін Г.М.

ЧАСТИНА ПЕРША: ВСТУП ДО АНАЛІЗУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ Л І Т Е Р А Т У Р А

ПІДРУЧНИКИ

1. Bermant A., Aramanovich I. Mathematical analysis. A brief course for en­gineering students. - Moscow: Mir Publishers, 1975. - 782 p.

2. Kosolapov J. Introduction in Mathematical Analysis. Differential calculus. Методичний посібник по вивченню розділу курсу "Математичний аналіз" для студентів ДонНТУ (англійською мовою)/- Донецьк: РВА ДонНТУ, 2006.- 169 с.

3. Piscunov N. Differential and integral calculus. - Moscow: Mir Publishers, 1969. - 895 p.

4. Yakovlev G. Higher mathematics. - Moscow: Mir Publishers, 1990, -

480 p.

5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Уч. пособие для вузов.- М.: ЮНИТИ, 2004. - 471 с.

6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. - М.: ИНФРА, 1999. - 656 с.

7. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. - Д.: "Видав­ництво Сталкер", 2003. - 496 с.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1, 2. - М.: Наука, 1978, 1985. - 456, 560 с.

9. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей мате­матики. Тт. 1, 2. Учеб. пособие для втузов. - М.: „Высшая школа", 1978. - 384,

328 с.

ЗБІРНИКИ ЗАДА Ч

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб.

пособие для вузов. - СПб: Профессия, 2005.- 432 с.

2. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 423 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. посо­бие / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2002. - 575 с.

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

1.1.1.Функція (додаткові зауваження)

Означення 1. Дійсне число x, пару дійсних чисел x = (x1, x2), трійку діс-них чисел x = (x1, x2, x3) називатимемо відповідно одновимірною, двовимірною, тривимірною точкою. Множини Щ = Щ1 = (-^,да), Ш2, Ш3 всіх одновимірних, двовимірних, тривимірних точок називатимемо відповідно одновимірним, дво­вимірним, тривимірним просторами. Геометрично їм відповідають вісь Ox, площина Ox1 x2 та простір Ox1 x2 x3.

Означення 2. "-вимірним простором Ш" називається множина всіх так званих "-вимірних точок x = (x1, x2,..., xn).

Означення 3. Відстанню між двома точками

Теорема 1. Для будь-яких точок x, y, z "-вимірного простору Ш" p(x, y)< p(x, z) + p(z, y) (нерівність трикутника).

Означення 4. Функцією y = f (x) з областю визначення Z)(f )є Ш" і мно­жиною значень E(f) с Ш називається відображення області визначення D(f) на множину значень E(f), тобто певне правило, яке кожній точці x є D( f) ставить у відповідність певне (єдине) число y є E(f) <z Ш.

Для " = 1, 2, 3, ..., " ми маємо функцію однієї, двох, трьох, " змінних

1. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ 1.1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

x = (x^x2,..., xn), y = (yl,у:

"-вимірного простору Ш" називається вираз

У = fix), у = f(x) = f{xx, х2), у = f(x) = f{xx, х2, х3), у = fix) = f(Xi, х2,..., хп).

Означення 5. Символ f (х) називається значенням функції в точці х.

Приклад. Числова послідовність. Нехай областю визначення функції є множина всіх натуральних чисел D(f) = К = {l, 2, 3,...,n,...}, тобто йдеться про функцію у = f (п) натурального аргументу, і

уі = ДІХ у2 = f i2), У3 = fi3),..., уп = Д^-^ скорочено п = Дп)}.

Послідовно виписані значення функції у = f (п) утворюють числову послідов­ність з загальним членом уп = f (п). Способи визначення функції.

1. Аналітичний спосіб: за допомоги формули у = f (х), в правій частині якої визначена процедура, яка дозволяє для будь-якої точки х є D(f) знайти відповідне значення функції.

Наприклад: у = х2, у = х12 + х22, у = х12 + х22 + х32.

О

2. Графічний (гео-

Рис. 1

метричний) спосіб (для п = 1, 2): за допомогою графіка.

Все зрозуміло для ви­падку п = 1 (див. рис. 1). Нехай тепер п = 2, тобто

Рис. 2

йдеться про функцію двох змінних у = f (х) = f (х1, х2). Для будь-якої точки х = (х1,х2)є D(f) ми отримуємо точку M(х1, х2,у), у = f (х1, х2) простору Ох1х2 у. Множина всіх таких точок часто-густо утворює деяку поверхню S, яка називається графіком функції (рис. 2).

Функцію двох змінних у = f (х) = f (х1, х2) можна геометрично представити так званими лініями рівня, а саме лініями, вздовж яких функція має сталі зна­чення,

f (х1, х2 ) = C, C - соті.

Границя функції 7 Очевидно, для кожного C лінія рівня є проекцією на площину х0х2 лінії

перерізу графіка функції у = f (х) = f (х1, х2) з площиною z = C.

Приклад. Лінії рівня функції

у = f (xl, х2 )= х12 +

визначаються рівнянням

х2 + х22 = C; C > 0.

При C = 0 маємо х1 = х2 = 0, тобто точку 0(0,0). Якщо ж C > 0, лінії рівня є ко­ла з радіусами R = -\JC і спільним центром в початку координат 0(0,0).

Функція трьох змінних у = f (х) = f (х1, х2, х3) не може мати графіка в

просторі, але її можна геометрично характеризувати поверхнями рівня, тобто поверхнями, на яких функція має сталі значення, тобто

f (х1, х2, х3) = C, C - соті. Приклад. Поверхні рівня функції

у = f (х1, х2, х3 ) = х1 + х2 + х3

подаються рівняннями

х12 + х22 + х32 = C; C > 0.

Для C = 0 поверхня рівня вироджується в точку 0(0,0,0), а для C > 0 поверхні

рівня є сферами з радіусами R = VC і центром в початку координат 0(0,0,0).

3. Табличний спосіб (для п = 1, 2, 3): за допомогою деякої таблиці.

При п = 1 існують, наприклад, таблиці тригонометричних функцій, лога­рифмів тощо. Є таблиці з двома і трьома входами для п = 2, 3 відповідно.

4. Описовий спосіб (за допомогою деякого опису).

Приклад. Означення тригонометричних функцій дійсного аргументу.

5. Алгоритмічний спосіб (за допомогою програми для ЕОМ або ПК). Означення 6. Основними елементарними називаються наступні функ­ції (однієї змінної):

1) стала функція у = f ( х ) = C, C -const;

2) степенева функція

у = ха, аєЖ1;

3) показникова функція

у = ax, 0< a ф\, зокрема у = єх,

де є « 2.71828... - так зване число Ейлера;

4) логарифмічна функція

у = loga х, зокрема у = In х = loge х;

5) тригонометричні функції

у = sin х, у = cos х, у = tan х, у = cot х;

6) обернені тригонометричні функції

у = arcsin х, у = arccos х, у = arctan х, у = arc cot х.

Означення 7 (складена функція). Нехай у = f (u), u = ср(х) - дві функції однієї змінної, причому E(ер) <z D(f). Функція у = f ((х)) називається складе­ною [або функцією від функції, суперпозицією функцій f та р].

Розглядають також складені функції декількох змінних.

Приклад. Складена функція трьох змінних

у = f 1( х^ ^ х3Х р2( х^ ^ X3)),

де

u = (u1, u2) є Ж2, x = (x1, x2, x3) є 913 Означення 8 (елементарна функція). Функція у = f ( х ) однієї змінної х є Ж1 називається елементарною, якщо вона є основною елементарною функ­цією або може бути отримана за допомоги скінченної кількості арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозицій над основ­ними елементарними функціями.

Приклад. Многочлен n-го степеня (однієї змінної х є Ж1) Pn(х) = a0 + a1 х + a2х2 +... + anxn, an Ф 0 .

Приклад. Раціональний дріб (від х є Ж1),

Rix) = Qmix) = b0 + bxx + b2x2 +... + bmxm,

тобто відношення двох многочленів. Дріб називається правильним, якщо m < п, і неправильним в противному разі (при m > п).

Означення 9. Нехай a є Ж1. Околом Ua точки a називається будь-який інтервал, який містить цю точку. Зокрема, інтервал Uae = (a - є, a + є), визначе­ний нерівністю |х - a < є , називається є - околом точки a.

Означення 10. Проколеним околом U'a точки a є Ж1 називається її окіл Ua без цієї точки:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1