2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

С 1 т

limI 1 + | = e.

n—coV    n J

Вірним є і такий більш загальний результат

С 1 т

limI 1 + | = e,

x—coV    x J

де x може прямувати як до + да, так і до да. Цей же результат можна записати і в дещо іншій формі:

lim(1 + x)

iV x

x—0

Ми запишемо всі три формули разом і назвемо їх сукупність другою стандарт­ною границею

1ігпс1 + -) = e;limf1 + -) = e; lim(1 + x)1/x = e. ( 2 )

n—coV     n J x—=oV     x J x—0

Зауваження. Друга стандартна границя дає нам ще один тип невизначе­ності, а саме

1да.

Така невизначеність, наприклад, виникає, якщо треба знайти границю степеня, основа якого прямує до 1, а показник - до нескінченності. В такому випадку ви­користання другої стандартної границі стає нам в великій пригоді.

x—1

Приклад. Знайти границю limI

(2x3T

< 2 x + 5 J

Розв"язання дається наступним ланцюжком перетворень. І2 x — 3

limI 2x Г" 2 x + 5

1, r 2x + 5 1

x 1 да

xда[    2 x + 5    J      x—c4    2 x + lim — 8   л —8

2 x + 5

lim —— (x—1)         lim   8(x 1)         lim ——          л 1 ' c _ex—да 2x+5 _ex—да 2x _e~ _

_ex—да 2 x+5

e

4

З другої стандартної границі можна вивести деякі важливі наслідки.

1. limln(1 + x) = 1 (третя стандартна границя)

x—0 x

( 3 )

1

1

і limln(1 + x) = limln(1 + x)= limln(1 + x)x = lnlim(1 + x)x = lne = 1.^

x—0

x—0

x       x^' x

Законність переходу до границі під знаком логарифма буде обгрунтована піз­ніше.

ex — 1

2. lim

x—0 x

і lim-

x—0 x

= 1 (четверта стандартна границя) ( 4 )

ex —1 = y,

y — 0, x = ln(1 + y)

y

lim-y—0 ln(1 + y)

3. З формул (3), (4) випливає, що при x — 0 функції ln(1 + x), ex — 1 є нм, які є еквівалентними своєму аргументу x,

ln(1 + x) ~ x, ex — 1 ~ x (якщо x — 0). ln(1 + x) 1

4. loga (1 + x) = M±4 ~J-.x.

ln a lna

5. ax — 1 = (elna )x — 1 = exlna1~ x ln a .

6. (1 + xУ — 1 = ealn(1+x)1~ a ln(1 + x) ~ ax.

Як остаточний результат складемо таблицю еквівалентних нм

sin x

arcsin x ln a !

> ~ x при x — 0 ax 1~ x ln a   >   при x — 0

arctgx (1        )a 1

ln(1 + x) V 7

ex Наведемо кілька прикладів з використанням таблиці еквівалентних нес­кінченно малих.

Приклад. Знайти границю

lim(3x 2)(ln(4 x + 3) — ln(4 x — 7)).

lim(3x 2)(ln(4 x + 3) ln(4 x 7)) = (да (да да)) = lim(3x 2)ln

lim (3x 2)ln I 1 + 4x+3 1І = lim (3x 2) k/1 + 10

4 x + 3 4 x 7

10

0, тому lnI 1 + -

4x7 10  Л 10

4x—7

,.   10(3x 2)   ,.   30x 15

: lim —--- = lim-= —.

4x 7 V    4x 7 J   4x 7  x—co   4x 7     x° 4x 2

Приклад. Знайти границю

/1 + tan 4 x 1) log8 (1 arcsin 3x) x— (6sin3 x 1)arctan5x '

Оскільки tan 4x, arcsin 3x, sin 3x, arctan 5x є нм при x 0, всі чотири мно­жники дробу під знаком границі є також нм. За таблицею еквівалентних нм по­слідовно маємо

5 г-—  1   1     _     1 _    ,     ,        ■ ~ \    arcsin 3x      1 „

v1 + tan4x 1 — tan4x---4 x, log8 (1 arcsin3x)-------3x,

6sin3x 1 ~ sin3x ln6~3x ln6, arctan5x~5x,

а отже

,.   /1 + tan 4 x 1) log8 (1 arcsin 3x)        5      і ln8

li^^--г—. v——-- = lim---:

x0 (6sin3 x 1)arctan5x x0     3x ln6 5x

375^ ln8 ln6

Приклад. Знайти границю

58 x

lim ,-

x—^1 — sin3x — 1

Відразу помічаємо, що

sin3x1~  (— sin3x)~ 2 (— 3x ) = — -3 x.

Що стосується чисельника, перетворимо його наступним чином (з використан­ням так званої основної логарифмічної тотожності):

43x 58x = e3xln4 xln5 = ^8xln5 (ex(3ln4—8ln5) 1)

Перший з множників прямує до 1, другий

ex (3in48in5) 1 x(3ln4 8ln5).

Отже,

43x 58x       ,.    8xln5 ,.   x(3ln4 8ln5)   2(3ln4 8ln5)     2, 43

lim , =— = lime xln5 lim—^-'- =-^-'- = in — .

x0V1 sin3x 1   x0        x0       3 3 3 58

2 x

1.1.5. Відсотки в інвестиціях

Нехай

B(t) - кількість грошей, яку мають в момент часу t;

B(0) = P - початковий капітал (в момент часу t = 0);

I (t) - прибуток, який отримують в момент часу t;

a - відсоток прибутку, віднесений до одиниці часу.

Нехай ми робимо інвестицію всього нашого початкового капіталу P до моменту часу T. В цей момент T ми матимемо наступну кількість грошей (суму початкового капіталу P і прибутку I(T) в момент часу T)

B(T) = P + I(T) = P + —TP = P(1 + T). ( 5 )

100 100

Це є формула простих відсотків.

Припустимо тепер, що ми здійснюємо n інвестицій всіх наших грошей

T ( п T   2T       (n 1)T)

протягом часу T (в моменти часу П, , —--—).

n    n n

В момент часу T/n ми матимемо (суму початкового капіталу P і прибут­ку I (T/n) в момент T/n)

BfT1 = p +1С T1 = p +   T =    + V n J V n J 100 n     V    100 n

В момент часу 2T/n ми матимемо (суму інвестованого капіталу B(Tjn) прибутку I(2T/n) від момента T/n до момента 2T/n)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1