2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 104

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Узя (0) = Ci = 1, уЗн (0) = 2Ci - ^3 + 3C2 = 0, C2 = - 4/9. Шуканий розв'язок задачі Коші дається формулою

у = e2x cos3x-4e2x sin3x-2xe2x cos3x. 9 3

6.5.4. Принцип суперпозиції

Ми часто-густо зустрічаємось з ситуацією, коли вільний член неоднорід­ного рівняння є сумою декількох різних доданків спеціального вигляду. Нехай, наприклад,

у" + py' + qy = fi (x)+f2 (x). ( 34 )

Частинний розв'язок учн рівняння (34) дорівнює сумі (суперпозиції) частинних розв'язків учн 1, учн2 наступних рівнянь:

■Нехай

і\у] = У " + ру" + qy.

Тоді

1\учн 1 ] = f1(x), Ь\учн2] = f2(x) тому

і\учн 1 + учн2 ] = Ьчи1 ]+ Ьчи2 ] = f1 (x) + f2 (x) • Це значить, що сума уЧН 1 + уЧН 2 є частинним розв'язком даного рівняння (36),

Т06ТО учн і + учн 2 = УЧН

На практиці можна шукати уЧН 1 + уЧН2 = уЧН за допомоги однієї процеду­ри.

Приклад 18. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння у" - 4у' + 4у = 8(x2 + в2 x + sin 2x).

1. Загальнии розв'язком відповідного однорідного рівняння

у"-4 у + 4 у = 0

є функція

У ЗО = С1в     + C2 Хв ,

оскільки характеристичне рівняння к2 - 4k + 4 = 0 має два рівних дійсних коре­ні k1 = k2 = 2 (або ж один двократний корінь к0 = 2).

2. Вільний член заданого рівняння є сумою трьох доданків

f (x) = 8x2 = в0Х 8x2, f2 (x) = 8в2Х = в2Х 8, f3 (x) = 8sin 2x = 0 cos2x + 8 sin 2x. На підставі принципу суперпозиції і формул (27) - (28), (24) - (26), (32) - (33) ми можемо послідовно знайти частинні розв'язки трьох неоднорідних рівнянь

у" - 4у" + 4у = 8x2   чи 1 = x0 в0x (A + A, x + A2x2)) у" - 4у" + 4у = 8в2x   чи2 = x2 в2xB0) у" - 4у" + 4у = 8sin2x   (уЧН3 = x0 •(М cos2x + N sin 2x)), а потім утворити їх суму. Але краще зразу знайти частинний розв'язок даного рівняння у вигляді суми таких розв'язків, саме:

УЧН = УЧН1 + УЧН 2 + УЧН 3 = A0 + A1 x + A2 x2 + B0 x2 в2x + M cos2x + N sin 2x. Оскільки

уЧН = A1 + 2A2x + 2B02x + 2B0x2в2x -2Msin2x + 2Ncos2x, уЧН = 2A2 + 2B0в2x + 8B02x + 4B0x2в2x -4Mcos2x-4Nsin2x,підстановка значень функцій уЧН, у'ЧН, у"ЧН в дане рівняння дає

уЧн - 4уЧн + 4учн = 2 A2 + 2B0 e2x + 8B0 xe2x + 4B0 x2 e21 - 4M cos2 x - 4N sin2x -

- 4(Aj + 2A2 x + 2B0 xe2x + 2B0 x2e2x - 2M sin 2x + 2N cos 2x)+ + 4(a0 + A1 x + A2 x2 + B0 x2 e2x + M cos2x + N sin2x)= 8x2 + 8e2x + 8sin2x. Після відповідного перегруповування доданків,

(4A0 -4Aj + 2A2) + (4Aj -8A2)x + 4A2x2 + 2B0e2x -8Ncos2x + 8Msin 2x =

= 8 x2 + 8e2 x + 8sin2 x,

ми дістаємо:

а) (4A0 - 4AJ + 2A2)+ (4AJ - 8A2 )x + 4A2 x2 = 8x2 ^>

x2

x0

4A2 = 8, A2 = 2,

4Aj - 8A2 = 0, Aj = 4, [4A0 - 4Aj + 2A2 = 0,   A0 = 3;

б) 2B0e2x = 8e2x ^ 2B0 = 8, B0 = 4, в) -8Ncos2x + 8Msin2x = 8sin2x => -8N = 0, 8M = 8 ^M = 1, N = 0. Таким чином,

уЧН = 3 + 4 x + 2 x2 + 4 x2 e2x + cos2 x, так що загальний розв'язок заданого рівняння має вигляд

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1