2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 109

q = -1,

проґресія має вигляд

a + (- a) + a + (- a) + a + (- a) + a + (- a) +... = a - a + a - a + a - a + a - a + її n-а часткова сума дорівнює 0 для n парних і a для n непарних. Тому границя

lim Sn

n—от

не існує.

Таким чином, у всіх трьох випадках а), б), в) проґресія розбігається.^ Приклад 10. Гармонічний ряд

1        1    1    1 1

n=1 np        2p   3p   4p np

збігається при p > 1 і розбігається при p < 1. Ми доведемо цей факт пізніше. Наприклад, гармонічні ряди

1 + J_+J_+J_+ +J_+    1+_L+_L+_1_+ +_L+

22   32   42   "'   n2   '"'       2-V2   3л/3   4л/4   "'   n4n "' збігаються (p = 2 > 1, p = 3/2 > 1 відповідно), а ряди (також гармонічні)

1 1  1      1 1    1    1 1

1 + — + - + — + ...+ — + ...,   1 + —= + —= + —= + ... + —= + ...

2 3   4        n 4n

розбігаються (відповідно p = 1, p = 13 < 1).

Теорема 1. Необхідна (але не достатня!) умова збіжності ряду (1) така:

lim un = 0. ( 9 )

n—от

Теорема 1 означає, що якщо ряд (1) збігається, то границя його загального члена un при n — от повинна бути рівною нулю.

■Нехай ряд (1) збігається до S * от. Це означає, що

З lim Sn = S,   З lim Sn-1 = S.

n — от n —от

Але

і тому

lim un = lim(Sn -Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S = 0^

n — ОТ n —ОТ n —ОТ n — OT

Приклад 8. Ряди

n==f4n+7   ;=f3n+2

розбігаються, оскільки для першого з них

,. ,. 3n - 2 f—Л ,. n(3 - 2/n) 3 - 21 n 3 - 0 3 n limun = lim-= | — | = lim—)-= lim--— =-= — * 0,

п—от      п—от 4n + 7   .—J   п—от n(4 + 7/ n)   п—от 4 + 7 n   4 + 0 4

а для другого

lim un = lim—Є— = | — | =

n—OT n—— 3n + 2     V —

є* (єх) єх

lim-= lim —^—-—T = lim — = +—

x—+ot 3x + 2   x—+ot (3* + 2)    x—+ot 3

= + —,

і необхідна умова збіжності для обох рядів не виконується.

Приклад 11. Необхідна умова збіжності виконується для двох наступних

рядів

У  1     УУ n

n=2 n ln2 n       n=1 n 2+1'

але тільки на підставі цього ми не можемо нічого сказати про їх збіжність чи розбіжність. Нижче ми доведемо, що перший ряд збігається, а другий - розбіга­ється.

Теорема 2. Якщо ряд (1) збігається, то для будь-якого n збігається його залишок після n-го члена (n-й залишок) (3). Якщо, далі, залишок (3) ряду (1) збігається при деякому n, то збігається і сам ряд (1).

■Доведімо першу частину теореми. Нехай ряд (1) збігається до S, і позна­чмо ак k-у частинну суму залишку (3),

°к = un+1 +un+2 + ... +un+k .

Очевидно, що

ak = Sn+k - Sn

а отже існує границя

lim ak = lim(Sn+k - Sn )= lim Sn+k - Sn = S - Sn * —.

k—от k—от k—от

Це значить, що залишок (3) збіжного ряду (1) збігається для будь-якого n.^

Сенс теореми 2 полягає в наступному: факт збіжності чи розбіжності ряду не змінюється, якщо додати до нього чи відкинути в ньому скінченну кількість членів.

Наслідок 1. Позначмо Rn суму n-го залишку збіжного ряду. На підставі доведення теореми 2 отримуємо

Rn = limcik = S - Sn,

k—от

і тому

S = Sn+Rn. ( 10 )

Формула (10) подає суму S збіжного ряду сумою його n-ої часткової суми Sn і суми Rn відповідного n-го залишку.

Наслідок 2. Сума Rn n-го залишку збіжного ряду прямує до нуля при

n — —,

lim Rn = 0 ( 11 )

n—OT

■З формули (10) випливає, що

lim Rn = lim(S - Sn ) = S - lim Sn = S - S = 0.^

n—OT n—OT n—OT

Наслідок 3. Для великих n сума S збіжного ряду наближено дорівнює

S * Sn ( 12 )

з абсолютной похибкою

« = S - SJ = Rn|. ( 13 )

Останню можна зробити як завгодно малою для достатньо великих значень n.

На практиці часто-густо нема необхідності досліджувати ряди на збіж­ність тільки за допомоги означень 5, 6, тобто відшуканням границі n-ої частко­вої суми . Достатньо встановити факт його збіжності чи розбіжності з інших мі­ркувань і в разі збіжності знайти наближене значення його суми.

Існує багато ознак збіжності або розбіжності рядів. Розпочнімо з форму­лювання наступної теореми.

Теорема 3 (необхідна і достатня ознака Коші[1] збіжності числового ряду). Числовий ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, якщо для довільного додатного як завгодно малого числа є існує (натуральне) число N таке, що для будь-якого більшого натурального числа n и для довільного натурального m виконується нерівність

|Sn+m - Sn| < Є .

Символічно

(Ує > 0,3N є X, Vn є X, Vm єК: {n > N => |Sn+m - Sn\< є}). ( 14 )

Буквою X позначена множина всіх натуральних чисел.

Теорема 4 (почленні лінійні операції над числовими рядами). Нехай дано два числових ряди з сумами S і T відповідно,

от от

u1 + u2 + u3 +... + un +... = У un = S,   v1 + v2 + v3 +... + vn +... = У vn = T .

12 3 n /  j    n '12 3 n /  j n

Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1