2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 109
q = -1,
проґресія має вигляд
a + (- a) + a + (- a) + a + (- a) + a + (- a) +... = a - a + a - a + a - a + a - a + її n-а часткова сума дорівнює 0 для n парних і a для n непарних. Тому границя
lim Sn
n—от
не існує.
Таким чином, у всіх трьох випадках а), б), в) проґресія розбігається.^ Приклад 10. Гармонічний ряд
1 1 1 1 1
n=1 np 2p 3p 4p np
збігається при p > 1 і розбігається при p < 1. Ми доведемо цей факт пізніше. Наприклад, гармонічні ряди
1 + J_+J_+J_+ +J_+ 1+_L+_L+_1_+ +_L+
22 32 42 "' n2 '"' 2-V2 3л/3 4л/4 "' n4n "' збігаються (p = 2 > 1, p = 3/2 > 1 відповідно), а ряди (також гармонічні)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 + — + - + — + ...+ — + ..., 1 + —= + —= + —= + ... + —= + ...
2 3 4 n 4n
розбігаються (відповідно p = 1, p = 13 < 1).
Теорема 1. Необхідна (але не достатня!) умова збіжності ряду (1) така:
lim un = 0. ( 9 )
n—от
Теорема 1 означає, що якщо ряд (1) збігається, то границя його загального члена un при n — от повинна бути рівною нулю.
■Нехай ряд (1) збігається до S * от. Це означає, що
З lim Sn = S, З lim Sn-1 = S.
n — от n —от
Але
і тому
lim un = lim(Sn -Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S = 0^
n — ОТ n —ОТ n —ОТ n — OT
Приклад 8. Ряди
n==f4n+7 ;=f3n+2
розбігаються, оскільки для першого з них
,. ,. 3n - 2 f—Л ,. n(3 - 2/n) 3 - 21 n 3 - 0 3 n limun = lim-= | — | = lim—)-= lim--— =-= — * 0,
п—от п—от 4n + 7 .—J п—от n(4 + 7/ n) п—от 4 + 7 n 4 + 0 4
а для другого
lim un = lim—Є— = | — | =
n—OT n—— 3n + 2 V —
є* (єх) єх
lim-= lim —^—-—T = lim — = +—
x—+ot 3x + 2 x—+ot (3* + 2) x—+ot 3
= + —,
і необхідна умова збіжності для обох рядів не виконується.
Приклад 11. Необхідна умова збіжності виконується для двох наступних
рядів
У 1 УУ n
n=2 n ln2 n n=1 n 2+1'
але тільки на підставі цього ми не можемо нічого сказати про їх збіжність чи розбіжність. Нижче ми доведемо, що перший ряд збігається, а другий - розбігається.
Теорема 2. Якщо ряд (1) збігається, то для будь-якого n збігається його залишок після n-го члена (n-й залишок) (3). Якщо, далі, залишок (3) ряду (1) збігається при деякому n, то збігається і сам ряд (1).
■Доведімо першу частину теореми. Нехай ряд (1) збігається до S, і позначмо ак k-у частинну суму залишку (3),
°к = un+1 +un+2 + ... +un+k .
Очевидно, що
ak = Sn+k - Sn
а отже існує границя
lim ak = lim(Sn+k - Sn )= lim Sn+k - Sn = S - Sn * —.
k—от k—от k—от
Це значить, що залишок (3) збіжного ряду (1) збігається для будь-якого n.^
Сенс теореми 2 полягає в наступному: факт збіжності чи розбіжності ряду не змінюється, якщо додати до нього чи відкинути в ньому скінченну кількість членів.
Наслідок 1. Позначмо Rn суму n-го залишку збіжного ряду. На підставі доведення теореми 2 отримуємо
Rn = limcik = S - Sn,
k—от
і тому
S = Sn+Rn. ( 10 )
Формула (10) подає суму S збіжного ряду сумою його n-ої часткової суми Sn і суми Rn відповідного n-го залишку.
Наслідок 2. Сума Rn n-го залишку збіжного ряду прямує до нуля при
n — —,
lim Rn = 0 ( 11 )
n—OT
■З формули (10) випливає, що
lim Rn = lim(S - Sn ) = S - lim Sn = S - S = 0.^
n—OT n—OT n—OT
Наслідок 3. Для великих n сума S збіжного ряду наближено дорівнює
S * Sn ( 12 )
з абсолютной похибкою
« = S - SJ = Rn|. ( 13 )
Останню можна зробити як завгодно малою для достатньо великих значень n.
На практиці часто-густо нема необхідності досліджувати ряди на збіжність тільки за допомоги означень 5, 6, тобто відшуканням границі n-ої часткової суми . Достатньо встановити факт його збіжності чи розбіжності з інших міркувань і в разі збіжності знайти наближене значення його суми.
Існує багато ознак збіжності або розбіжності рядів. Розпочнімо з формулювання наступної теореми.
Теорема 3 (необхідна і достатня ознака Коші[1] збіжності числового ряду). Числовий ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, якщо для довільного додатного як завгодно малого числа є існує (натуральне) число N таке, що для будь-якого більшого натурального числа n и для довільного натурального m виконується нерівність
|Sn+m - Sn| < Є .
Символічно
(Ує > 0,3N є X, Vn є X, Vm єК: {n > N => |Sn+m - Sn\< є}). ( 14 )
Буквою X позначена множина всіх натуральних чисел.
Теорема 4 (почленні лінійні операції над числовими рядами). Нехай дано два числових ряди з сумами S і T відповідно,
от от
u1 + u2 + u3 +... + un +... = У un = S, v1 + v2 + v3 +... + vn +... = У vn = T .
12 3 n / j n '12 3 n / j n
Похожие статьи
2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1