2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

BI 2T1 = b{t 1 + b{TК^ = BfTV1 +  T- | =

n J     V n J     V n J100 n     V n J V    100 n,

PI1 +T Y1 +  T ) = рГ1 +   ^2

100 n JV    100 n J     V    100 n, В момент часу 3T/n матимемо

вГ К Л = рҐ1+T )2 Ґ1+Z Л = рҐ1+Z13

V n J     V    100 nJ V    100 nJ     V    100 n, Продовжуючи міркувати таким же чином, знаходимо, що в момент часу T = nT/n будемо остаточно мати

nT 1   „Л    a T = bi- =

Формула (6) називається формулою складних відсотків.

Припустимо, нарешті, що протягом часу кількість інвестицій необмежено зростає, n — +да. В цьому випадку остаточна кількість грошей B * (T) в момент часу T на підставі другої стандартної границі дорівнюватиме

B*(T) = lim B(T) = lim P(1 + a T )n = P lim(1 + a T)n =

n—да n—co       100 n        n—да     100 n

T-i    100n   aT a m

= P lim((1 +-) aT )100 = Pe100

n—да      100n

B*(T) = P^e100 ( 7 )

Формула (7) називається формулою неперервних відсотків. Вона дає ос­таточну кількість отриманих нами грошей в момент часу T за умови, що ми здійснюємо інвестиції неперервно.

1.2. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЙ 1.2.1. Неперервність функції в точці

А. Основні означення

Означення 1. Функція y = f (x) однієї або декількох змінних називається неперервною в точці a, якщо:

1) функція визначена в точці a і деякому її околі;

2) існує границя функції

lim f (x)

x—a

в точці a ;

3) ця границя дорівнює значенню функції в точці a,

limf (x) = f (limx) = f (a). ( 1 )

На мові теорії границь це означає:

Ує > 0, 3Ua, Vx є D(f) : (x eUa => | f (x) - f (a) < є). Приклад. Функція

y = f (x) = x 2

неперервна в довільній точці a.

■На підставі означення неперервної функції ми повинні довести, що lim f (x) = lim x2 = a2 = f (a).

x—a x—a

Нехай є > 0 - настільки мале, що a2 - є > 0, а число а, для визначеності, є додатним. Маємо

f (x) - f (a) = |x2 - a2 J < є,

якщо

- є < x2 - a2 < є, 0 < a2 - є < x2 < a2 + є, Va2 - є < x < Va2 + є,

x eUa = (\/ a2 - є, л/ a2 + є). Таким чином на підставі означення границlim x2 = a2.

Аналогічно можна довести неперервність в будь-якій точці степеневої функції

У = f (x )= xn з довільним натуральним показником. Приклад. Функція

У = f (x) = sin x

неперервна в довільній точці a Потрібно довести, що

lim f (x ) = limsin x = sin a = f (a).

x—a x—a

Для довільного є > 0 маємо

sin x - sin a

x + a . x - a 2 cos-sin

< 2

2

x-a

2cos:

x+a

sin x-a

< 2 sin x-a

2

= x

- a|.

Таким чином,

якщо

Це означає, що

I sin x - sin a < є, |x - a < є, x eUa = (a - є, a + є). limsin x = sin a

Доведіть самостійно неперервність в довільній точці функції

У = f (x) = cos x.

Зауважимо, що в п. 1.2.1 за допомогою тригонометричного круга була фактично доведена неперервність тангенса в будь-якій точці a Ф л/2 + кл, к є Z . Там же відзначалася можливість аналогічним чином довести неперервність си­нуса, косинуса і котангенса (останнього - в довільній точці a Ф кл, к є Z).

Теорема 1. Функція однієї змінної x єЩ1 неперервна в точці a єЩ1 тоді і

2

2

2 тільки тоді, якщо: а) існують ліва і права границі

f (a - 0)= lim f (x), f (a + 0)= lim f (x)

x—a-0 x—a+0

функції в точці a; b) ці границі дорівнюють значенню функції в цій точці,

f(a - 0) = f(a + 0) = f(a). ( 2 )

Справедливість теореми випливає з теореми 2 попереднього розділу (див

п. 1.2.2).

Означення 2. Функція однієї змінної x називається неперервною в точці a зліва, якщо вона визначена в деякому інтервалі (m, a) і f (a - 0) = f (a). Вона називається неперервною в точці a справа, якщо вона визначена в якомусь ін­тервалі (a, n) і f (a + 0) = f (a).

Таким чином, функція однієї змінної є неперервною в точці тоді і тільки тоді, якщо вона в цій точці неперервна як зліва, так і справа.

Означення 3. Для функції однієї змінної y = f (x) різниця

Ax = x - a

називається приростом аргументу x, а різниця

Ay = Af (a) = f (x) - f (a) = f (a + Ax) - f (a) ( 3 )

- приростом функції в точці a .

Очевидно, що x a тоді і тільки тоді, якщо Ax — 0, (x a) <=> (Ax — 0). Означення 4. Для функції n змінних різниці

називаються приростами її аргументів, n-вимірній вектор

Ax = (Ax1, Ax2,...,     ) = (x -    x2 - a2,..., xn - an)

- приростом її (n-вимірного) аргументу, а різниця

Ay = Af (a) = f (x) - f (a) = f (x^ x2,.- xn ) - f ^ a2,.- an ) = ( 4 )

= f (a + Ax) - f (a) = f    +Ax„ a2 + Ax2,..., an +     ) - f     a2,..., an).

- приростом (так званим повним приростом) функції в точці a = (a1, a2,..., an).

Очевидно (як і для випадку n = 1), x a тоді і тільки тоді, якщо Ax — 0, (x a)<=> (Ax — 0).

Теорема 2. Функція y = f (x) неперервна в точці a тоді і тільки тоді, ко­ли з прямування до нуля приросту аргументу Ax випливає прямування до нуля її приросту Ay = Af (a) = f (x) - f (a) в цій точці, або якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції в точці a .

Теорема випливає з означення границі функції в точці a, якщо покласти b = f (a).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1