2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 116

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

. x - 3x - 3-2 - 4n-1 X - 3 . n2 x - 3 |x - 3І = lim J-Ц-1---=J--       lim---7 =J-L-1 =J--

X - 3n-1 (n +1)2 - 4n-1 - 4      4   n—°(n +1)2      4 4

Ряд абсолютно збігається, якщо

X - 3j

< 1, x - 3 < 4, - 4 < x - 3 < 4, -1 < x < 7, x є (-1,7),

4

і розбігається, якщо

"x - 3 < -4, x - 3 > 4,

1     '■> 1, x - 3 > 4,

x < -1, x є (-ад, -1)U(7, ад). x > 7,

4

Таким чином, ми знаєм поведінку ряду в усіх точках, за винятком точок

x = -1, x = 7 .

Для x = -1 ряд набуває вигляду

//(- 1)n-1 (- 4)n-1 =//(- 1)n-1 (- 1)n-14n-1 =//(- 1)2n-2 =// J_ =1 + J_ + J_ + J_ + ^    n2 -4n-1     =h       n2 -4n-1       =^    n2 n2 "+ 22 + 32 + 42 +...

і збігається, як гармонічний з p= 2 > 1 .

Для x = 7 ряд має вигляд

//(- 1)n-14n-1 =//(- 1)n-1    - J_ + л - J_ + ^  n2 - 4n-1   =^   n2    ~    22 + 32   42 +...

і абсолютно збігається (його збіжність, але не абсолютна, випливає також з оз­наки Лейбніца).

Отже, областю збіжності ряду є відрізок [-1,7]. Останній має довжину 8 і центр x = x0 = 3 і може бути поданим у вигляді [3 - 4, 3 + 4].

9.3.4. Деякі властивості рядів з довільними дійсними членами

Теорема 4 з п. 9.1 встановлює деякі, так би мовити, "арифметичні" влас­тивості рядів. Вони аналогічні властивостям сум скінченної кількості доданків. Але ряди - це не суми, и їх властивості мають ряд особливостей. Зокрема, цестосується сполучної й переставної властивостей та множення рядів.

Теорема 13. Можна заключати в дужки довільні групи членів збіжного ряду. Сума ряду при цьому не змінюється.

Але, взагалі кажучи, не є припустимим відкидати дужки в збіжних рядах.

Приклад 37. Ряд

(1 _ 1)+(1 _ 1)+(1 _ 1) +... + (1 _ 1) +...

збігається до нуля (чому?). але відкидання дужок веде до розбіжного ряду

1 _ 1 +1 _ 1 +... +1 _ 1 +....

Абсолютно збіжні ряди посідають переставну властивість.

Теорема 14. Можна міняти місцями члени абсолютно збіжного ряду, і при цьому його сума не змінюється.

Умовно збіжні ряди такой властивості не мають, про що свідчить наступ­на теорема.

Теорема 15 (Ріман[12]). Міняючи місцями члени умовно збіжного ряду, ми можемо отримати ряд довільною сумою або навіть розбіжний ряд.

Справедливість теорем 14, 15 заснована на тому, що в абсолютно збіжно­му ряді збігаються ряди як з додатних, так і від"ємних членів, а в умовно збіж­ному ряді обидва вони розбігаються.

Теорема 16. Добуток двох абсолютно збіжних до S і T рядів абсолютно збігається до добутку ST.

Нехай, например,

со со

Zw = w + u2 + u3 +... + un +... = S,   У vn = v, + v2 + v3 +... + vn +... = T n 12 3 n ?      /  j   n 12        3 n

n=1 n=1

- названі абсолютно збіжні ряди. Теорема 16 означає, що

Оо 00

У Un  Vn =(u1 + U2 + U3 + ... + Un + ...)'(v1 + V2 + V3 + ... + Vn + ...)= S  T .

n=1 n=1

На підставі абсолютної збіжності добутку рядів його члени можна запи­сувати різними способами. Зокрема, ми можемо написати

S ^ T =(u1 + U2 + U3 + ... + Un + ...)^(v1 + v2 + v3 + ... + vn + ...) =

= u1v1 +(u1v2 + u2 v2 + u2v1 )+(u1v3 + u2 v3 + u3v3 + u3v2 + u3v1) + ... (див. таблицю 1) або краще

S T = u1v1 +(u1v2 + u2v1 )+(u1v3 + u2v2 + u3v1 )+(u1v4 + u2v3 + u3v2 + u4 v1)+... ( 38 ) (див. таблицю 2).

Розвинення (38) залишається справедливим, якщо тілько один з рядів збі­гається абсолютно, а другий - просто збігається.

Table 1 Table 2

u1v1

U2v1

u3v1

U4 v1

 

U1v2

U2v2

U3v2

U4 v2

 

u1v3

U2 v3

u3v3

u4 v3

 

u1v4

U2v4

u3v4

 

 

 

 

 

 

 

u1v3 u2v3 u3v3 u4v3

u1v4 u2 v4 u3v4 u4 v4

Приклад 38. Знайти добуток рядів прикладів 34, 35 , оба з яких абсолютно збігаються на інтервалі (_ 1,1).

За теореою 16 шуканий добуток абсолютно збігається на (_ 1,1). Запише­мо перші чотири члени добутку, впорядковуючи їх за формулою (38) (див. таб­лицю 2), тобто за зростаючими степенями x,

(        XX 2      X 3 1 + —г + г + —г + ... +"

V

= X-

22   32 42

1 1

2 22

n

V

— +---+ ... + (_ 1)n

2   3   4 n

1111

3   22 2 32

2 + 23 з

= X--X   +--X -

111111

+

4

23 4

4   22 3   32 2 42

72

144

X +....

u1v1 u2v1 u3v1 u4v1

u1v2 u2 v2 u3v2 u4 v2

n 1

X

10. СТЕПЕВІ РЯДИ

10.1. СТЕПЕНЕВИЙ РЯД І ВЛАСТИВОСТІ ЙОГО СУМИ

10.1.1. Степеневий ряд, його радіус, інтервал і область збіжності

Ми вже мали справу з функціональними рядами в п. 9.3 (див. Приклади 31 - 35). Зараз ми розглянемо один з найпоширеніших типів функціональних рядів, а саме степеневих.

Означення 1. Степеневим рядом називається функціональний ряд вигля­ду

У anXn = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +... + anXn +( 1 )

n=0

де дійсні числа

a0, a1,: a2, aз,       an , ...

- коефіцієнти, а

і =0       =12      3 n 1 — X , X X , X , X ,      X , ...

- степеневі функції з цілими невід"ємними показниками.

Приклад 1. Ряди

со      n_1 2 3 n_1

ZX XXX X

T- = 1 + г + Г + ~Г + ... +T~ + ... , n=1 n2 22    32   42 n2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1