2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 123
y(5) = 2y + xy(4) - 6y " - 6xy " - x2y - cos x,... ми знаходимо значення похідних
y"(0) = 0, y(4)(0) = -2, y(5^(0)= 5,... і перші чотири ненульових члени ряду Маклорена для шуканої функції
, 1 4 5 5
y = 1 - x--x +--x + ...
12 120
б) Метод невизначених коефіцієнтів для лінійних рівнянь
Проілюструємо цей метод на двох прикладах.
Приклад 24. Розв"язати ту ж задачу Коші, що й в Прикладі 23,
y " - xy" + x2y = sin x, y(0) = 1, y"(0) = -1. Шукатимемо розв"язок задачі у вигляді степеневого ряду з невизначеними коефіцієнтами с0, с1, с2,....
.2
y = с0 + с1 x + с2 x2 + с3 x3 + ... y" = с1 + 2с2 x + 3с3 x2 + 4с4 x3 +... y " = 2с2 + 6с3 x + 12с4 x2 + 20с5 x3 +...
x
x
1
Початкові умови дають
y (0) = С0 = 1, y "(0) = С1 = -1 С0 = 1, С1 = -1. Тепер ми підставляємо ряд в ліву частну рівняння, а sin x в його правій частині замінюємо рядом (16). Отримуємо рівність двох рядів
2c2 + (- c1 + 6c3 )x + (c0 - 2c2 +12c4 )x2 + (c1 - 3c3 + 20c5 )x3 +...
3!
+....
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, дістаємо систему рівнянь відносно коефіцієнтів c2,c3,c4,....
= 0
- c1 + 6c3 = 1
c0 - 2c2 +12c4 = 0
c1 - 3c3 + 20c5 = - ^6
С2 = 0,
С3 = 1/6 (1 + С ) = 0, С4 = 1/12 (2С2 - С0 ) = -1/12, = 1/20 (-1/6 - c1 + 3c3) = 5120,
Перші чотири ненульових члени ряду, який дає розв"язок задачі,
, 1 4 5 5
y = 1 - x--x +--x + ...
12 120
збігаються з отриманими в Прикладі 23.
Приклад 25. Знайти загальний розв"язок диференціального рівняння
y" + k2 y = 0.
За аналогією з Прикладом 24 шукаємо розв"язок в вигляді степеневого ряду з невизначеними коефіцієнтами c0, c1, с2,...та підставляємо цей ряд в рівняння.
y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 + c7 x7 + c8 x8 + ... y" = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 + 5c5 x4 + 6c6 x5 + 7c7 x6 + 8c8 x7 + 9c9 x8 +... y " = 2! c2 + 2 • 3c3 x + 3 • 4c4 x2 + 4 • 5c5 x3 + 6c6 x5 + 6 • 7c7 x6 + 76c6 x5 + 7c7 x6 + 8c8 x7 +...
k2
0 1
(2! c2 + k 2c0 )+(2 • 3c3 + k2 c1 )x + (3^ 4c4 + k 2c2 )x2 + (4 • 5c5 + k2 c3 )x3 + + (5 • 6c6 + k 2c4 )x3 + (6 • 7c7 + k 2c5 )x4 + (7 • 8c8 + k 2c6 )x5 + (8 • 9c9 + k 2c8 )x6 +... = 0. Тепер ми прирівнюємо до нуля всі коефіцієнти ряду в лівій частині 2!c2 + k2c0 = 0,2 • 3c3 + k2c1 = 0,3 • 4c4 + k2c2 = 0,4 • 5c5 + k2c3 = 0,5 • 6c6 + k2c4 = 0, 6 • 7c7 + k2c5 = 0, 7 • 8c8 + k2c6 = 0, 8 • 9c9 + k2c8 = 0,... і виражаємо c2, c4, c6, c8,... через c0, а c3, c5, c7, c9,... - через c1.
c2
k 2 k 4
6!
' С0 , С8
8!
c0 , ... ,
3
x
0
x
x
3
c
x
k2 k4 k6 k8
c3 = - ~3~ ^ c5 = "5.Г' al, c7 = - С1, c9 = 79! С1,....
Відсутність початкових умов означає, що ми можемо вважати коефіцієнти c0,
c1 довільлними числами. Після декількох простих кроків з використанням рядів
(16), (17) ми дістаємо остаточний результат,
k2 2 k2 3 k4 4 k4 5 k6 6 k6 7 k8 8 2! 0 3! 1 4! 0 5! 1 6! 0 7! 1 8! 0
f /2 .4 ,6 ,8 \ f ,2 ,4 ,6 .8 Л
k 2 k 4 k 6 k 8
1--x + — x--x + — x
v 2! 4! 6! 8! ,
f _>„Л2 _>„.Y> li„\6 (i„.\8 \
v 2! + 4! 6! + 8!
k3 k5 k7 k9
x--x +--x--x +--x
v 3! 5! 7! 9! ,
f d„.\3 d„.\5 (i„.\7 d„.\9 \
3! + 5! 7! + 9!
y = c0 cos kx + — sin kx. k
10.3.2. Наближене обчислення інтеґралів
Обмежимось двома цікавими прикладами.
Приклад 26. В теорії ймовірностей розглядається так звана функція Лапласа
x і 2
0(x) = -i= f e 2 dt. ( 28 )
V2^ J0
Відомо, що первісна підінтеґральнї функціх не виражається за допомоги елементарних функцій. Але ми можемо представити функцію Лапласа у вигляді ряду. Замінивши в розвиненні (15) змінну x на -12/2 і почленно проінтеґрува-вши, дістанемо
t2 ,2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,2n со ,2n
e2 = 1 --+4—3t—+4—5—+...+(- 1)n—+...=S(- 1)n—,
0(x) = ^-L f e 2dt = ^= x--— + ^--... + (- 1)n-*~ ~ . +... .(29)
t2 л ( 3 5 2n+1 "N
= С0
k
Приклад 27. За допомоги розвинення (16) ми представляємо рядом так званий інтеґральний синус
Похожие статьи
2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1