2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 13

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

4 + 2 y

Якщо x 2 - 0, то, як було показано вище, y 0, і

f (x)f

Якщо ж x 2 + 0, то, як ми вже знаємо, y — +оо, і

lim f (x) = lim -—'5-y- = lim5-^y = - . x—2+0 y—+o 4 + 2 y   y—+o 2 y 2

Отже,

f (2- 0) = 34, f (2 + 0) = -5/2, f (2-0) Ф f (2 + 0), і точка x = 2 є точкою розриву першого роду. Стрибок функції в цій точці

h = f (2 + 0) - f (2 - 0) = -13/4.^

Приклад. Нехай

f3x - 2,  якщо x < 1,

f (x) = U 2

[2 + ax , якщо x > 1.

При якому значенні параметра a функція f (x) буде неперервною?

Функцію на двох різних інтервалах (- ос, 1), (1, + ос) задано різними вира­зами. Вона, очевидно, є неперервною для всіх значень аргументу, крім, можли­во, точки стику x = 1. Тому треба забезпечити неперервність функції тільки в цій точці. Подальші міркування засновані на теоремі 1.

Ліва і права границі функції в точці x = 1 дорівнюють f (1 - 0) = lim f (x) = lim(3x- 2) = 1; f (1 + 0) = lim f (x) = lim (2 + ax2) = 2 + a.

x—1-0 x—1-0 x—1+0 x —1+0

Для неперервності функції в точці x = 1 повинна виконуватись умова

f (1 - 0) = f (1 + 0),1 = 2 + a, звідки випливає, що a = -1. Функція

f (x)

3x - 2, якщо x < 1, 2 -x2, якщо x > 1

є неперервною для всіх значень аргументу x.

Для функцій декількох змінних множина точок розриву може бути значно складнішою, ніж для функцій однієї змінної.

Приклад. Точки розриву функції двох змінних

f (x, У) :

утворюють цілу пряму, а саме x = y.

3x - 4y + 5 x - У

1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області

Теорема 4. Якщо функція однієї змінної неперервна на відрізку [a, b], то (див. рис. 5):

1) вона набуває найбільшого M і найменшого m значень на [a, b]: існують такі точки c1 є [a, b] c2 є [a, b], що

Рис. 5

f (C2) = M = mf (x) ,   f (C1) = m = ^^Ift f (x)

[a, b] [a, b]

(теорема Вейерштрасса1);

Рис. 6

2) вона набуває всіх значень, які знаходяться між m і M (теорема Больцано -Коші про проміжне значення);

3) якщо вона має значення

різних знаків в двох точках відрізка, то вона хоча б один раз між цими точками набуває нульового значення.

Вейерштрасс, Карл Теодор Вільгельм (1815 - 1897), - німецький математик ' Больцано, Бернард (1781 - 1

■ чеський математик, філософ і логік

Коші, Огюстен Луї (1780 - 1859), - знаменитий французький математик

Зауваження. Заключення теореми можуть не справджуватись, якщо функ­ція має принаймні одну точку розриву. Наприклад, функція, графік якої зобра­жено на рис. 6а, має розрив в точках a і b і не має ні найменшого, ні найбільшо­го значень. Функція з графіком, зображеним на рис. 6b, має точку розриву x0,

набуває найбільшого M і найменшого m значень, але не набуває жодного про­міжного значення між c і d.

Відзначимо, нарешті, що функція, яка має графік, показаний на рис. 6c, має дві точки розриву a і x0 і тим не менш перші два заключення теореми для неї справджуються. Це означає, що умови теореми є достатніми для заключень 1), 2), 3), але вони не є необхідними.

Аналогічні теореми є справедливими для функцій декількох змінних.

Означення 7. Об"єднання D області D та її границі 3D називається за­мкненою областю,

D = D U 3D.

Означення 8. Область на площині (або в просторі будь-якого виміру) на­зивається обмеженою, якщо вона міститься всередині якогось кола (відповід-но якоїсь сфери) з центром в початку координат.

Теорема 5. Якщо функція декількох змінних неперервна в замкненій об­меженій області D, то:

1) вона набуває в D своїх найбільшого M і найменшого m значень;

2) вона набуває всіх значень, заключених між m і M;

3) якщо вона має різні знаки в двох точках області, то вона в ній принай­мні один раз набуває нульове значення.

1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення

Третя частина теореми 4 часто застосовується в так званому методі інтер­валів для розв"язання нерівностей або визначення знаків функцій.

Нехай функція y = f (x) однієї змінної має, наприклад, три нулі b, c, e і дві

точки розриву a, d на множині всіх дійс-^"""Р^с^Р^ них чисел 9Ї1 = (-да, да) (рис. 7). Точки a, b,

x, а Щ і X} с xt d іґ z

c, d, e породжують шість інтервалів Рис. 7 (-да,a), (a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (e, + да),

на кожному з яких функція має один і той же сталий знак.

Дійсно, якби в двох точках якогось інтервалу функція мала різні знаки, то вона повинна була б хоча б один раз перетворитися в нуль між цими точками. Але це неможливо, бо всі нулю функції вже враховано.

Для знаходження знака функції на названих інтервалах треба знайти її знак в якійсь одній точці кожного інтервалу. На рис. 7 літерами

позначено точки, довільно вибрані на інтервалах, і показано можливий розподіл знаків функції.

Приклад. Розв"язати нерівність

2 2

x > a

для випадку a > 0.

Розглянемо функцію

f (x) = x2 - a2.

Вона неперервна на 9Ї1 і має два нулі ± a, що породжують три інтервали

(-ao,-a), (- a, a), (a,+ao). Для точок x = -2a є (- oo,-a) і x = 2a є (a, + да) першого і третього інтервалів маємо

f (- 2a )> 0, f (2a )> 0, а для точки x = 0 є (- a, a) середнього інтервалу маємо

f (0)< 0.

Отже, нерівність виконується для

x є (-<3o,-a)U (a, + да),або, що те ж саме, якщо

|x| > a.

Доведіть самостійно, що для випадку a < 0 розв"язком нерівності буде

|x| > -a.

В загальному випадку розв"язок нерівності можна записати у вигляді

\x\ > |a|

Приклад. Задано функцію

y = f (x ЬЦ4^.

x (x - 5)

Знайти інтервали, на яких вона має сталий знак, є невід"ємною або недодатною, а також ліву і праву границі функції в точках її розриву.

Областю визначення функції є об"єднання трьох інтервалів D(f ) = (-да,0) U (0, 5) U (5, + да); точки x = 0, x = 5 є точками розриву другого роду функції, тому що при пряму­ванні x до 0 або до 5 знаменник прямує до нуля, а чисельник набуває відмінні від нуля значення - відповідно -28 Ф 0, -18 Ф 0. Функція має два нулі, а саме x = -4, x = 7, бо f(- 4) = 0, f(7) = 0.

Нулі і точки розриву функції утворюють п"ять інтервалів (- да, - 4), (- 4, 0), (0, 5), (5, 7), (7, + да).

Оскільки, наприклад,

f (- 5) < 0, f (-1) > 0, f (1) > 0, f (6) < 0, f (8) > 0,

то на інтервалах

(- 4, 0), (0, 5), (7, + да) функція є додатною, на інтервалах

[- 4, 0), (0, 5), [7, + да)

невід"ємною; на інтервалах

(-да, -4), (5,7) вона є від"ємною, а на інтервалах

(-со, -4 (5,7]

недодатною.

Далі, враховуючи знаки функції в околах точок x = 0, x = 5, отримуємо /(0-0)= lim f(x) = +»,    /(0 + 0)= lim f(x) = +»,

x—0-0 x—0+0

f (5 - 0) = lirn f (x) = ■+»,   f (5 + 0) = Urn f (x) =.

x—5-0 x—5+0

Аналогічний метод можна застосовувати для випадку функцій двох змін-

них.

Приклад. Знайти область визначення функції двох змінних x, y

z

x2 + y2 -16 \ x2 + У2 - 4

Розглянемо функцію (підкореневий вираз даної функції Z)

f (x, У ) =

x2 + y2 -16 x2 + У2 - 4 '

Областю визначення функції Z є множина точок (x, y) площини xOy, для яких виконується нерівність

/•/     ч   x2 + y2 -16 п

f(x, у) -     2 2      4   ^ 0.

x2 + У2 - 4

Функція f (x, y) дорівнює нулю на колі x2 + y2 -16 = 0 і не існує на колі x2 + y2 - 4 = 0. Ці кола поділяють площи­ну xOy на три частини 1, 2, 3 (див. рис. 8), в кожній з яких Рис. 8 функція f (x, y) має сталий знак (на підставі заключення

3 теореми 5). Для визначення цього знака ми знаходимо знаки функції в довіль­ній точці кожної частини, наприклад,

f (0) = f (0; 0) = 4 > 0, f (A) = f (2; 2) = -2 < 0, f (B) = f (4; 4) = 4/7 > 0. Отже, функція f (x, y) є додатною в частинах 1 і 3.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1