2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 14

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Відповідь. Областю визначення функції Z є заштриховане об"єднання круга x + y2 < 4 (без його границі x2 + y2 = 4) і зовнішності кола x2 + y2 = 16,включно з цим колом.

Приклад. Дослідити функцію

У = f (x)--

x3

8 - x

і побудувати наближений ескіз її графіка.

Будемо проводити дослідження в такому порядку.

1) Область визначення функції є D(f) = (-да, 8)U(8, + да). Графік функції не перетинає прямої x = 8, яка перпендикулярна до осі Ox.

2) Знаходимо інтервали, де функція має сталі знаки (скорочено: знаходи­мо інтервали знакосталості функції). Точки x = 0 (нуль функції) і x = 8 (точка розриву другого роду) утворюють три інтервали (- да, 0), (0, 8), (8,+да) . На інтер­валі (0, 8) функція додатна, так що її графік лежить вище осі Ox. На інтервалах (-да, 0), (8,+да) функція від"ємна, і її графік лежить нижче осі Ox.

3) Знаючи знаки функції, ми знаходимо її ліву і праву границі в точці роз­риву x = 8, а саме:

f (8 - 0) = lim -x = f- = ool = +да, f (8 + 0) = lim -x = f- = ool = -да. v     !   x8-0 8 - x   \ 0     J x8+0 8 - x   \ 0 J

Отже, графік функції необмежено здіймається вго­ру, якщо x 8 - 0 і необмежено спускається вниз при x 8 + 0.

4) Границя функції при x — ±да

3 3 xx

lim f (x) = lim-= lim-= - lim x2 = -да.

x—±cO x—±cO 8 — x        x—±cO x x—±cO

Рис. 9 Це означає, що графік функції необмежено

спускається вниз, якщо x — ±да.

5) Знаходимо точки перетину графіка функції з осями Ox, Oy. Oy: x = 0 => y = 0 O(0;0); Ox: y = 0 => x = 0 => O(0;0).

Беручи до уваги всі отримані результати, будуємо ескіз графіка (рис. 9).

Приклад. Самостійно проведіть дослідження і побудуйте ескіз графіка функції

f (x )=(x + f - x) . v '   (x - 5)(x + 6)

Рис. 10 Вказівки.

1) D(f) = (-да,-б) U (- 6,5) U (5, +да).

2) f (x) > 0 на (- 6,-1)U (2, 5), f (x) < 0 на (-да,-б)U (-1,2)U (5, +да).

3) f(-6- 0)=-да, f(-6 + 0) = +да;   f (5 - 0) = +да, f(5 + 0) = -да.

4) lim f (x) = -1.

x—±да

5) (-1; 0) є Ox, (2; 0) є Ox, (0; -1/15) є Oy. Ескіз графіка показано на рис. 10.

2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ 2.1. ПОХІДНА

2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної А. Швидкість зміни функції

Нехай y = f (x) - функція однієї змінної, а x = x0 - якась точка. Якщо ар­гумент x отримує приріст Ax = x x0, то функція набуває приросту

Ay = Af x) = f (x) f x) = f    + Ax) f x), який дає зміну функції на інтервалі [x0, x0 + Ax] = [x0, x]. Відношення

V  =Ay =Af (x0) = f (x)f (x0) = f (x0 + Ax) f (x0) av   Ax      Ax Ax Ax

Називається середньою швидкістю зміни функції на названому інтервалі. Нехай

далі Ax 0, тобто x x0. Границя

тг,   ч    і-   тг     ,•   Ay    ,.   Af (x0) f (x0 +Ax) f (x0)

V(x0) = limV  = lim — = lim    v o; = li^^-0-;     y °'       ( 1 )

Ax0 Ax—0 Ax      Ax—0     Ax Ax—0 Ax

називається швидкістю зміни функції в точці x0. Б. Продуктивність праці

Нехай U (t) - кількість продукції, виготовленої якоюсь фабрикою протя­гом часу t (тобто протягом часового проміжку від, наприклад, 0 до t). Тоді при­ріст функції U (t) в точці t0, тобто

AU (t0 ) = U (t0 +At) U (t0), є кількість продукції, виготовленої протягом часового проміжку від t0 до t0 + At. Відношення

= AU (t0) = U (tp +At) U (t0)

Jav      At At

є середньою продуктивністю праці фабрики протягом цього інтервалу. Границясередньої продуктивності при At0, саме

f(t0 )=limf  =1,,^ = ,^0 + At)U(t0)

J У0>      At(/ av      At0 At

At0

At

( 2 )

Називається продуктивністю праці фабрики в момент часу t0. В. Дотична до кривої

Нехай задано криву y = f (x), M0(x0, y0), де y0 = f (x0), - фіксована її точка, M(x, y) її довільна

- у

 

 

ft

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

&

X

 

 

далі M^Mq вздовж кривої. Якщо існує гранична по­зиція MoT січної при M^Mo (як зліва, так і справа), Рис. 1 то прямаM0T називається дотичною до кривої в точці

M(x0, y0). Її кутовий коефіцієнт дорівнює

NM

k  = tga = lim tgP = lim

M —M 0 Ax—0

Ax—0 M0 N   Ax—0 AB

lim BM - BN = lim f (X)- f (X0)

Ax—0

Ax

Ax Ax—0   Ax     Ax—0 Ax

( 3 )

Ax—0

2.1.2. Похідна і частинні похідні А. Похідна функції однієї змінної

Нехай задано функцію однієї змінної y = f (x). Даючи аргументу x приріст

Ax = x x0 і знаходячи відповідний приріст функції

Ay = Af (x0) = f (x)f (x0) = f (x0 +Ax)f (x0) ( 4 )

в точці x0, ми знаходимо їх відношення

Ay = Af    ) = f (x) f    ) = f    + Ax) — f ) Ax      Ax Ax Ax

і переходимо до границі при Ax = x x0 — 0.

Означення 1. Границя

lim Ay = lim ^ = lim f (x) f (x0) = lim f (x0 +Ax) f (x°),     ( 5 )

Ax—0 Ax   Ax—0   Ax     Ax—0      Ax Ax—0 Ax

тобто границя відношення приросту функції y = f (x) в точці x0 і відповідного приросту аргументу Ax при прямуванні останнього до нуля, називається похід­ною функції в точці x0. Ми позначаємо похідну одним з поданих нижче спосо­бів

x x

так що

У= f'(x0) = dy = ^ = lim Ay = lim Af(xJ = lim f(x0 +Ax) f(x0)  ( 6 )

dx      dx      Ax0 Ax   Ax—0   Ax      Ax—0 Ax

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1