2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 15

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Вищенаведені приклади дозволяють з"ясувати декілька сенсів похідної.

1. З формули (1) випливає, що швидкість зміни функції y = f (x) в точці x0 - це похідна функції в цій точці,

V(x0) = f '(x0) = lim Ay = lim Af(xJ = lim f (x0 +Ax)  f (x0)       ( 7 )

V   0J     J   V  °'     Ax—0 Ax      Ax—0     Ax Ax—0 Ax

2. З формули (2) випливає, що продуктивність праці фабрики в момент часу t0 - це похідна функції U (t), тобто похідна кількості виробленої фабрикою продукції, в цей момент,

f (t0) = U >(t0) = lim^ = lim U (t0 +At) U (t0) ( 8 )

V0/ V^      At—0     At At—0 At

3. З формули (3) випливає геометричний сенс похідної:

Кутовий коефіцієнт kgg дотичної M0T до графіка функції y = f (x) в йо­го точці M(x0, y0), y0 = f (x0) (рис. 1) - це похідна функції в точці x0,

kt = tga = f(x0 )= lim Ay = lim ^ = lim f (x0 + Ax) f (x0)      ( 9 )

ts v °'   Ax0Ax   Ax0   Ax      Ax0 Ax

Рівняння дотичної M0T (з кутовим коефіцієнтом ktg = tga = f '(x0)) є

y = y0 + f '(x0)(xx0), y0 = f(x0). ( 10 )

Похідна

Нормаль M0Q _L M0T до графіка функції y = f (x) в точці M(x0, y0), y0 = f (x0) (рис. 2) має кутовий коефіцієнт

f' (xo)

і таке рівняння

Fig. 2

y y 0

f'(

(x0 ) ( 11 )

Часто доводиться розглядати таку задачу: знайти кут ф, під яким перетина­ються дві криві

А : у = f1 (x) та L2 : y = f2(x) (рис. 3). Розв"язок. Нехай M0 (x0, y0) - точка перетину кри­вих Li і L2 , а M0Ti, M0T2 - дотичні до Li, L2 в точці M0. Їх кутові коефіцієнти дорівнюють

Рис. 3

а отже

tan q> = k     — k

_ _    f2 (x0 ) f 1 (x0 )

1 + kM0T1 ' kM0T2       1 + f 1 (x0 )' f 2 (x0 ) ( 12 )

Б. Частинні похідні функції декількох змінних

Рис. 4

Для функцій декількох змінних ми вводимо поняття частинних похідних. Нехай, наприклад, задано функцію двох змінних x, y

z = f (M)= f (x, y),M(x, y). Ми вводимо чотири точки M0 (x0, y0 ), M (x, y), N (x, y0),

P(x0, y) і покладаємо Ax = x x0, Ay = y y0, звідки x = x0 + Ax, y = y0 + Ay (див. рис. 4).

Означення 2. Різниця (при фіксованому y = y0)

A xz = A xf (M0) = f (N) f (M0) = f (x, y 0) f (x0, У0) = f (x0 +Ax, У0) f (x0, У0)

1

1

k

norm

k

tgназивається частинним приростом по x функції z = f) = f (x, y) в точці М0(x0, y0). Різниця (для фіксованого x = x0)

AyZ = Ayf0) = f (P) - f (M0) = f    , y) - f (X0, У0) = f (X0, У0 + Ay) - f (X0, У0)

називається частинним приростом по y функції в цій точці.

Означення 3. Частинними похідними функції z = f) = f (x, y) по x, y

в точці M0(x0, y0) називаються (і позначаються) відповідно наступні границі:

zX = f;(M 0 )= ffe, y0 )= dfM) = = lim AxZ = lim =

x      J:c\     0)     Jx\  0,S0f dx dx ax-0 Ax       ax-0 Ax

f (x y0 )- f (Xo, y0) = lim f (x0 +Ax, y0) - f (X0, y0)

lim

Ax ^0 Ax Ax ^° Ax

z- = f;(M 0 ) = ffe, y0 )= = =|,m^ =|imAyfM£) =( 13 )

y     yV   °'     yV 0   0/      dy dy        ay-0 Ay    ay-0 Ay

= |im f (xo, y)- f (Xo, y0) = |im f (Xo, y0 +Ay) - f (^ y0)

ay-0 Ay ay ^0 Ay

2.1.3. Похідні основних елементарних функцій

Похідні багатьох основних елементарних функцій можна знайти, виходя­чи з означення похідної.

1. C' = 0, C - const.

■Нехай y = f (x) = C. Тоді

f (x + Ax) = C, Ay = f (x + Ax)- f (x) = C-C = 0, Ay = 0, y^Hm^ = 0.^

Ax Ax^0 Ax

2. x' = 1.

■ Нехай y = f (x) = x. Тоді

f (x + Ax) = x + Ax, Ay = f (x + Ax)- f (x)= Ax, — = 1, y' = lim — = 1, x'= '.■

Ax Ax ^0 Ax

3. (xa ) = ax"-1, осєШ. Зокрема, (\/x) =   1/, (Vx) = - 1

■ Нехай y = f (x) = xa. Тодf (x + Ax) = (x + Ax)", Ay = f (x + Ax)- f (x) = (x + Ax)" -xa =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1