2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

f

x\ 1

Ax

v v    x yy

1 -11 ~ xa-a = ax"-1 Ax =>^ = ax"-1, y' = lim Ay = ax"-1 У      I x Ax Ax^0 Ax

4. (ax) = ax ln ax, зокрема (ex) = ex. ■Нехай y = f (x) = ax. Тоді

f (x + Ax ) = ax+Ax, Ay = f (x + Ax)- f (x ) = ax+Ax - ax = ax (a Ax -1) ~ ax -Ax - ln a

Ay     x , t   ,•   Ay     x ,

= a - ln a == y = lim = a - ln a .■

Ax Ax^0 Ax

5. (loga x) = 1, зокрема (ln x) = —.

x ln a x

■ Нехай y = f (x) = loga x. Тоді

f (x + Ax) = loga (x + Ax), Ay = f (x + Ax) - f (x) = loga (x + Ax) - loga x =

x + Ax   ,    Л   Ax 1     Ax      Ay      1      ,   , .Ay      1 ■

= loga-= loga\ 1 + I--= =-, y'= hm — =-.

x V     x y   x ln a     Axx ln a        Ax^0 Ax   x ln a

6. (sin x) = cos x,   (cos x) = - sin x.

■ Нехай, наприклад, y = f (x) = sin x. Тоді

f (x + Ax) = sin(x + Ax), Ay = f (x + Ax) - f (x) = sin(x + Ax) - sin x =

(     Ax 1 . Ax   „    (     Ax 1 Ax       (     Ax 1 k      Ay       ( Ax" = 2cos\ x +--I sin--2cos\ x +--I--= cos\ x +--I-Ax => — = cos\ x +--

2 V      2 У  2        V      2 У Ax

y' = lim= lim cos( x + | = cos x .■

Ax-0 Ax      Ax-0        V 2 У

Приклад. Знайти кут, під яким перетинаються криві

f1 (x) = sin x, f2 (x) = cos x. Розв"язання. Точки перетину кривих визначаються рівнянням sin x = cos x => tan x = 1, x0 = nj4 + m, n є Z, fi'(x0) = cos x0 = cos(n/ 4 + тт), f2'(x0) = - sin x0 = - sin (nj 4 + im), і на підставі формули (12)

- xa =

- sin(n/ 4 + nn)- cos(n/ 4 + nn) 42 sin(n/ 4 + nn)

tg<P =

1 + cos(V4 + nn\(- sin(V4 + nn))     x - ^sin(n4 + 2nn)

= -V2^ nn = -^^2cos nn = -2V2(- l)n = 2V2(- l)n+1. 1/2

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої y = sin х в точці

з абсцисою х0 = .

6

Розв"язання. Нехай

y = f ) = sin х.

Маємо

У0 = f (х0 ) = sin Х0 = sin =     f '(х) = cos х, f '(х() ) = cos Х0 = cos = ^33.

6    2 6 2

Використовуючи формули (10), (11), маємо рівняння дотичної

1    л/3 ( n

і рівняння нормалі

У = — + І х 2    2 І 6

12 ( n

У=2-Т31х- б

2.1.4. Диференційовність і неперервність

Означення 4. Функція однієї змінної y = f (х) (х є 9Ї) називається дифе-ренційовною в точці х0, якщо в цій точці існує її похідна f '(х0).

Нехай функція y = f (х) є диференційовною в точці х0. На підставі озна­чення похідної і теорії границь

)= lim лУ ^лУ =       ) + a, Ay = f'^ х + а-Ах, '  >0 Ах Ах

Лх-

де а = а(Лх) є нм при Ах — 0. Отже, приріст функції, диференційовної в точці х0, можна подати в такій формі:

Ay = Af0) = f (х) - f 0) = f 0 + Ах)- f 0 ) = A - Ах + а(Лх )-Лх,    ( 14 )

де A = f' (х0), а а = а (Ах) є нм при Ах — 0.

Означення диференційовної функції декількох змінних більш тонке і по­в'язане з узагальненням формули (14). Обмежимось для простоти функцією двох змінних.

Означення 5. Функція двох змінних z = f) = f (х, y) називається дифе-ренційовною в точці М 0 (х0, y0), якщо її повний приріст в цій точці, тобто вираз Лz = Лf (М 0) = f) - f0) = f (х, y) - f 0,     = f 0 +Лх, y0 + Лу) - f 0, y0) (див. означення 4 з п. 2.1.1 Вступу до аналізу і рис. 4), може бути представле­ний в наступому вигляді:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1