2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 17
Лz = f (М)-f (М0 ) = A Ах + B -А; + а-Ах + /З-Лу, ( 15 )
де A, B - якісь числа, а, /З - нм при Ах — 0, Лу — 0. Нескладно довести, що A = ГХ(М0) = f'x(х0,У0), B = f;(М0) = f;(х0,У0),
і тому
Лz = f(M)-f(Mo ) = Гх(М0 )-Лх + f; (М0 )-Л; + а-Лх + /З-А; = ( 16 ) = f'А х0, У0) -Ах + fy( х0, У0) -А; + а-Лх + //-А;
Теорема 1 (достатня умова диференційовності). Якщо функція z = f (М ) = = f (х, y) має частинні похідні в деякому околі точки М 0 (х0, ;0), які в самій точці неперервні, то функція є диференційовною в цій точці.
Доведення теореми ми дамо дещо пізніше.
Можна показати (в більш повних курсах аналізу є відповідні приклади), що для диференційовності функції в точці не є достатнім одного тільки існування частинних похідних функції в цій точці.
Теорема 2 (необхідна, але недостатня умова диференційовності). Якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці (але не навпаки!).
■Нехай, наприклад, y = f (х) - функція однієї змінної, яка диференційов-на в точці х0, і нехай Лх = х- х0 — 0. З формули (14) випливає, що приріст фу-нкції в точці х0 прямує до нуля,
А; = f (х0 + Ах) - f (х0) — 0 == f (х0 + Ах) — f (х0), що означає неперервність функції в точці х0 .■
Зауваження. Однієї тільки неперервності функції недостатньо для її диференційовності. Існують неперервні функції, які не є диференційовними принаймні в одній точці. Приклад. Функція Рис. 5 y = |х|
(рис. 5) неперервна в усіх точках хє^, але її похідна не існує в точці х = 0. ■Маємо
х0 = 0, f (х0) = f (0) = 0 = 0, f (х0 + Ах) = І Ах |,
А; = f (х0 +Лх)- f (х0) = ІЛхІ == лУ = 1 для Лх> 0, лУ = -1 для Ах < 0,
Ах Ах
і тому у' = lim Лу/Ах не існує.
Ах—0
Зауважимо, що для графіка функції y = |х| точка O(0; 0) є кутовою. Аналогічна обставина справедлива для графіка будь-якої функції, яке не має похідної в тій чи іншій точці.
2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
Нехай
u = и(х), v = v (х)
- дві диференційовні функції змінної х. Тоді похідні їх суми, різниці, добутку і частки обчислюються за такими правилами
1. (u ± v) = u' ± v' (похідна суми і різниці).
2. (u - v) = u' - v + u - v' (похідна добутку).
u ~\ u' - v - u - v'
3. 1-І =-2- (похідна частки).
І v ) v2
■Дамо доведення для випадку добутку двох функцій. Зауважимо, що
Лu = + Ах) - u(х), u(х + Ах) = u^)+ Лu = u +
u(х + Ах) = u + Лu + Ах) = v + Лv.
Якщо Ах — 0, то Лu — 0, Лv — 0 внаслідок диференційовності, а отже і неперервності функцій u = u^), v = v^). Тому
/ \' ,. u(х + Лх)- v(х + Лх)- u(х)- v(х) (u + Лu)-(v + Лv)- u - v
(u - v) = lim —--—----——— = lim--—---=
Ах—0 Ах Ах—0 Ах
,. u - v + v- Лu + u - Лv + Лu - Лv-u - v v- Лu + u - Лv + Лu - Лv = lim-= lim-=
Ах—0 Ах Ах—0 Ах
.. (Лм Лv Лu ^ , , , ,
= lim І--v + u---1---Лv 1 = u - v + u - v + 0 = u - v + u - v .■
Ах—0^Лх Ах Ах )
Частинні випадки.
a) (С - u) = C - u' (C - const)
(сталий множник можна винести за знак диференціювання), бо
(C - u) = С' - u + С - u' = 0 - u + С - u' = С - u'.
b) (1 )'=-£
оскільки
1 ^ 1' - v -1-v' 0 - v -1-v' v'
, 2 2 2 '
v ) v v v
Приклад. Похідні тангенса і котангенса.
sn^^) = (sinх) -cosх-sn^-(cosх) = cos2 х + sin
t
(tan х)
cosх) cos2 х cos2 х cos2 х
t
(cot х)
t
(tan х)
1
tan х ) tan2 х tan2 х - cos2 х sin2 х
Приклад. Знайти частинні похідні по х і y функції двох змінних
z = ln х- 5y - arctan х- y5. Знаходячи частинну похідну по х (у), ми розглядаємо другу змінну y (відповідно ) як фіксовану (або просто сталу).
^z = z'x = (ln х- 5 у ) х - (arctan х- у5) х = (ln х) х- 5 у - (arctan х) х- у5 =
1 _„ 1
Эх
х 1 + х
ЭУ = zy = (ln х - 5 у ) у - (arctan х- у5) у = ln х - (5 у )'у - arctan х - (у5) у =
= ln х- 5 у ln5 - arctan х- 5 у 4. Приклад. Продиференціювати функцію (тобто знайти її похідну)
у = arcsin х - \/х.
' / • згІ ( ■ \ зг ■ (зг'І arcslnx у = larcsu^-л/х) = (arcsinх) -л/х + arcsinх-ых) = , н--;=^-.
Приклад. Довести формулу диференціювання добутку трьох функцій. (u - v - w) = u ' - v - w + u - v ' - w + u - v - w '
■ (u - v - w) = (u -(v - w)) = u' -(v - w)+ u -(v - w) = u' - v - w + u -(v ' - w + v - w') = = u' - v - w + u - v ' - w + u - v - w' .■
Похожие статьи
2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1