2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 17

Лz = f (М)-f (М0 ) = A Ах + B -А; + а-Ах + /З-Лу, ( 15 )

де A, B - якісь числа, а, /З - нм при Ах — 0, Лу — 0. Нескладно довести, що A = ГХ(М0) = f'x(х0,У0), B = f;(М0) = f;(х0,У0),

і тому

Лz = f(M)-f(Mo ) = Гх(М0 )-Лх + f; (М0 )-Л; + а-Лх + /З-А; =       ( 16 ) = f'А х0, У0) -Ах + fy( х0, У0) -А; + а-Лх + //-А;

Теорема 1 (достатня умова диференційовності). Якщо функція z = f (М ) = = f (х, y) має частинні похідні в деякому околі точки М 0 (х0, ;0), які в самій точ­ці неперервні, то функція є диференційовною в цій точці.

Доведення теореми ми дамо дещо пізніше.

Можна показати (в більш повних курсах аналізу є відповідні приклади), що для диференційовності функції в точці не є достатнім одного тільки існу­вання частинних похідних функції в цій точці.

Теорема 2 (необхідна, але недостатня умова диференційовності). Якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці (але не нав­паки!).

■Нехай, наприклад, y = f (х) - функція однієї змінної, яка диференційов-на в точці х0, і нехай Лх = х- х0 — 0. З формули (14) випливає, що приріст фу-нкції в точці х0 прямує до нуля,

А; = f (х0 + Ах) - f (х0) — 0 == f (х0 + Ах) — f (х0), що означає неперервність функції в точці х0 .■

Зауваження. Однієї тільки неперервності функції недос­татньо для її диференційовності. Існують неперервні функції, які не є диференційовними принаймні в одній точці. Приклад. Функція Рис. 5 y = |х|

(рис. 5) неперервна в усіх точках хє^, але її похідна не існує в точці х = 0. ■Маємо

х0 = 0, f (х0) = f (0) = 0 = 0, f (х0 + Ах) = І Ах |,

А; = f (х0 +Лх)- f (х0) = ІЛхІ == лУ = 1 для Лх> 0, лУ = -1 для Ах < 0,

Ах Ах

і тому у' = lim Лу/Ах не існує.

Ах—0

Зауважимо, що для графіка функції y = |х| точка O(0; 0) є кутовою. Ана­логічна обставина справедлива для графіка будь-якої функції, яке не має похід­ної в тій чи іншій точці.

2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки

Нехай

u = и(х),   v = v (х)

- дві диференційовні функції змінної х. Тоді похідні їх суми, різниці, добутку і частки обчислюються за такими правилами

1. (u ± v) = u' ± v' (похідна суми і різниці).

2. (u - v) = u' - v + u - v' (похідна добутку).

u ~\    u' - v - u - v'

3. 1-І =-2-       (похідна частки).

І v ) v2

■Дамо доведення для випадку добутку двох функцій. Зауважимо, що

Лu =     + Ах) - u(х), u(х + Ах) = u^)+ Лu = u +

u(х + Ах) = u + Лu      + Ах) = v + Лv.

Якщо Ах — 0, то Лu — 0, Лv — 0 внаслідок диференційовності, а отже і непе­рервності функцій u = u^), v = v^). Тому

/    \'    ,.    u(х + Лх)- v(х + Лх)- u(х)- v(х) (u + Лu)-(v + Лv)- u - v

(u - v) = lim —--—----——— = lim--—---=

Ах—0 Ах Ах—0 Ах

,.    u - v + v- Лu + u - Лv + Лu - Лv-u - v         v- Лu + u - Лv + Лu - Лv = lim-= lim-=

Ах—0 Ах Ах—0 Ах

..   (Лм         Лv   Лu     ^    , , , ,

= lim І--v + u---1---Лv 1 = u - v + u - v + 0 = u - v + u - v .■

Ах—0^Лх Ах   Ах )

Частинні випадки.

a) (С - u) = C - u' (C - const)

(сталий множник можна винести за знак диференціювання), бо

(C - u) = С' - u + С - u' = 0 - u + С - u' = С - u'.

b) (1 )'=-£

оскільки

1 ^    1' - v -1-v'   0 - v -1-v' v'

, 2 2 2 '

v )        v v v

Приклад. Похідні тангенса і котангенса.

sn^^) = (sinх) -cosх-sn^-(cosх) = cos2 х + sin

t

(tan х)

cosх) cos2 х cos2 х        cos2 х

t

(cot х)

t

(tan х)

1

tan х )       tan2 х      tan2 х - cos2 х     sin2 х

Приклад. Знайти частинні похідні по х і y функції двох змінних

z = ln х- 5y - arctan х- y5. Знаходячи частинну похідну по х (у), ми розглядаємо другу змінну y (від­повідно ) як фіксовану (або просто сталу).

^z = z'x = (ln х- 5 у ) х - (arctan х- у5) х = (ln х) х- 5 у - (arctan х) х- у5 =

1 _„ 1

Эх

х        1 + х

ЭУ = zy = (ln х - 5 у ) у - (arctan х- у5) у = ln х - (5 у )'у - arctan х - (у5) у =

= ln х- 5 у ln5 - arctan х- 5 у 4. Приклад. Продиференціювати функцію (тобто знайти її похідну)

у = arcsin х - \/х.

'   /     •     згІ   (     ■    \ зг        ■     (зг'І arcslnx у = larcsu^-л/х) = (arcsinх) -л/х + arcsinх-ых) =  ,      н--;=^-.

Приклад. Довести формулу диференціювання добутку трьох функцій. (u - v - w) = u ' - v - w + u - v ' - w + u - v - w '

■ (u - v - w) = (u -(v - w)) = u' -(v - w)+ u -(v - w) = u' - v - w + u -(v ' - w + v - w') = = u' - v - w + u - v ' - w + u - v - w' .■

Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1