2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Лz = f )-f (М0 ) = A Ах + B -А; + а-Ах + -Лу, ( 15 )

де A, B - якісь числа, а, - нм при Ах — 0, Лу — 0. Нескладно довести, що A = ГХ(М0) = f'x(х0,У0), B = f;0) = f;0,У0),

і тому

Лz = f(M)-f(Mo ) = Гх(М0 )-Лх + f; 0 )-Л; + а-Лх + -А; =       ( 16 ) = f х0, У0) -Ах + fy( х0, У0) -А; + а-Лх + //-А;

Теорема 1 (достатня умова диференційовності). Якщо функція z = f (М ) = = f (х, y) має частинні похідні в деякому околі точки М 0 (х0, ;0), які в самій точ­ці неперервні, то функція є диференційовною в цій точці.

Доведення теореми ми дамо дещо пізніше.

Можна показати (в більш повних курсах аналізу є відповідні приклади), що для диференційовності функції в точці не є достатнім одного тільки існу­вання частинних похідних функції в цій точці.

Теорема 2 (необхідна, але недостатня умова диференційовності). Якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці (але не нав­паки!).

■Нехай, наприклад, y = f (х) - функція однієї змінної, яка диференційов-на в точці х0, і нехай Лх = х- х0 — 0. З формули (14) випливає, що приріст фу-нкції в точці х0 прямує до нуля,

А; = f 0 + Ах) - f 0) — 0 == f 0 + Ах) — f 0), що означає неперервність функції в точці х0 .■

Зауваження. Однієї тільки неперервності функції недос­татньо для її диференційовності. Існують неперервні функції, які не є диференційовними принаймні в одній точці. Приклад. Функція Рис. 5 y = |х|

(рис. 5) неперервна в усіх точках хє^, але її похідна не існує в точці х = 0. ■Маємо

х0 = 0, f 0) = f (0) = 0 = 0, f 0 + Ах) = І Ах |,

А; = f (х0 +Лх)- f (х0) = ІЛхІ == лУ = 1 для Лх> 0, лУ = -1 для Ах < 0,

Ах Ах

і тому у' = lim Лу/Ах не існує.

Ах—0

Зауважимо, що для графіка функції y = |х| точка O(0; 0) є кутовою. Ана­логічна обставина справедлива для графіка будь-якої функції, яке не має похід­ної в тій чи іншій точці.

2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки

Нехай

u = и(х),   v = v (х)

- дві диференційовні функції змінної х. Тоді похідні їх суми, різниці, добутку і частки обчислюються за такими правилами

1. (u ± v) = u' ± v' (похідна суми і різниці).

2. (u - v) = u' - v + u - v' (похідна добутку).

u ~\    u' - v - u - v'

3. 1-І =-2-       (похідна частки).

І v ) v2

■Дамо доведення для випадку добутку двох функцій. Зауважимо, що

Лu =     + Ах) - u(х), u(х + Ах) = u^)+ Лu = u +

u(х + Ах) = u + Лu      + Ах) = v + Лv.

Якщо Ах 0, то Лu 0, Лv 0 внаслідок диференційовності, а отже і непе­рервності функцій u = u^), v = v^). Тому

/    \'    ,.    u(х + Лх)- v(х + Лх)- u(х)- v(х) (u + Лu)-(v + Лv)- u - v

(u - v) = lim —--—----——— = lim--—---=

Ах—0 Ах Ах—0 Ах

,.    u - v + v- Лu + u - Лv + Лu - Лv-u - v         v- Лu + u - Лv + Лu - Лv = lim-= lim-=

Ах—0 Ах Ах—0 Ах

..   (Лм         Лv   Лu     ^    , , , ,

= lim І--v + u---1---Лv 1 = u - v + u - v + 0 = u - v + u - v .■

Ах—0х Ах   Ах )

Частинні випадки.

a) (С - u) = C - u' (C - const)

(сталий множник можна винести за знак диференціювання), бо

(C - u) = С' - u + С - u' = 0 - u + С - u' = С - u'.

b) (1 )'=-£

оскільки

1 ^    1' - v -1-v'   0 - v -1-v' v'

, 2 2 2 '

v )        v v v

Приклад. Похідні тангенса і котангенса.

sn^^) = (sinх) -cosх-sn^-(cosх) = cos2 х + sin

t

(tan х)

cosх) cos2 х cos2 х        cos2 х

t

(cot х)

t

(tan х)

1

tan х )       tan2 х      tan2 х - cos2 х     sin2 х

Приклад. Знайти частинні похідні по х і y функції двох змінних

z = ln х- 5y - arctan х- y5. Знаходячи частинну похідну по х (у), ми розглядаємо другу змінну y (від­повідно ) як фіксовану (або просто сталу).

^z = z'x = (ln х- 5 у ) х - (arctan х- у5) х = (ln х) х- 5 у - (arctan х) х- у5 =

1 _1

Эх

х        1 + х

ЭУ = zy = (ln х - 5 у ) у - (arctan х- у5) у = ln х - (5 у )'у - arctan х - (у5) у =

= ln х- 5 у ln5 - arctan х- 5 у 4. Приклад. Продиференціювати функцію (тобто знайти її похідну)

у = arcsin х - \/х.

'   /     •     згІ   (     ■    \ зг        ■     г'І arcslnx у = larcsu^/х) = (arcsinх) + arcsinхх) =  ,      н--;=^-.

Приклад. Довести формулу диференціювання добутку трьох функцій. (u - v - w) = u ' - v - w + u - v ' - w + u - v - w '

(u - v - w) = (u -(v - w)) = u' -(v - w)+ u -(v - w) = u' - v - w + u -(v ' - w + v - w') = = u' - v - w + u - v ' - w + u - v - w' .■

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1