2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 18

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Приклад. Знайти похідну функції

у = cos х - 2х - х5.

На підставі формули, доведеної в попередньому прикладі, маємо

у ' = (cosх) - -х5 + cosх-(2х) -х5 + cosх-2х -(х5) = = - sin х - 2х - х5 + cos х - 2х ln 2 - х5 + cos х - 2х - 5х4.

2.2. ТЕХНІКА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

2.2.1. Похідна складеної функції

Теорема 1. Якщо функції однієї змінної у = f (u), u = р(х) диференційов-ні, то складена функція у = f (р(х)) має похідну, яка обчислюється за таким правилом:

у ' = f' {ср{х ))-ср'{х) ( 1 )

або більш коротко

Ух = yu - u'x .

■З п. 2.1.4 (теорема 2) випливає, що функції у = f (u), u = р(х) неперервні. На цій підставі, якщо приріст Ах аргументу х прямує до нуля, Ах 0, то при­ріст Au функції u = р(х) прямує до нуля, Au = р(х + Ах)- р(х) 0, а тому при­ріст Ау функції у = f (u) також прямує до нуля, Ay = f (u + Au)- f (u) 0.

На підставі формули (14) з п. 2.1.4 можемо записати

Ay = f' (u )Au + a - Au, де a є нм при Au 0 (а отже і при Ax 0). Поділивши обидві частини рівно­сті на Ax і переходячи до границі при Ax 0, отримаємо

Ay     ,/ xAu      Au       Ay     ,/ ч   .   Au Au     ,/ ч   , ,

= f (u)+ a--, lim= f (u)- lim + a - lim= f (u)-u + 0- u

Ax Ax       Ax Ax—0 Ax Ax—0 Ax      Ax—0 Ax

звідки випливає формула (1). ■

Зауваження. Функцію u = р(х) часто називають проміжним аргумен­том, або внутрішньою функцією, і ми можемо сформулювати наступне прави­ло диференціювання складеної функції: похідна складеної функції дорівнює до­бутку її похідної по проміжному аргументу [по внутрішній функції] і похідної проміжного аргументу [внутрішньої функції].

Застосовуючи теорему і попередні результати щодо диференціювання ос­новних елементарних функцій (див. пп. 2.1.3 і 2.1.5), ми можемо скласти насту­пну таблицю похідних, в якій u = u(x) означає деяку функцію.

Таблиця похідних

і     і Л a-1     , /И' 1        ,    (зГ\ 1 r   f 1 ї 1

1. u j = au    - u , зокрема \\]u) = -j= - u , ^vu j = т= - u , I -

= -^2- u'

2. (au) = au ln a - u ', зокрема (eu) = eu - u '

3. (loga u) = ^og^- u' = —1— u', зокрема (lnu) =1 -u' u u ln a u

4. (sin u) = cosu - u '

5. (cos u) = - sin u - u '

1,2 ,   f 1

6. (tanu) =-2 u ' = sec2 u - u ' I де sec x =

cos2 u l cos x

7. (cotu) =--12 u' =-cosec2u - u' I де cosecx = —1

sin u l sin x

8. (secu) =f-"1 = secu - tan u - u'

cos u.

t

9. (cosecu) =[-I =-cosecu - cotu -u'

sin u

1

~2

10. (arcsin u) =  ,      r - u '

V1 - u 2

11. (arccos u) =—, 1    - u'

V1 - u1

12. (arctan u) = 1- - u'

1 + u2

13. (arccotu) =--1- - u'

1 + u2

Приклад. (sin6 x) = ((sin x)6) = 6(sin x)5 - (sin x) = 6sin5 x - cos x. Приклад. (ln24 x) =((ln4 x )2) = 2ln4 x -(ln4 x) = 2ln4 x - — -(4 x)

„,  „     1   л 2ln4x

2ln4 x---4

4 x

Приклад. (>/arc cot x) = —.     1     = - (arc cot x) =--. 1 =-,-г

3^ (arc cot x )2 3^ (arc cot x )2 (1 + x 2)

Приклад. Знайти частинні похідні по х і по у функції двох змінних

z = y x2 +y2

Вважаючи фіксованим y, знаходимо частинну похідну по x: = {V+?) x = ^== -(x 2 + У 2)' x = -(2x + 0) =

— - Vа x~—/ 2     2     x~/ 2     2  У"*™ -~Г2==ї-

dx 2yJ x 2 + y 2 2yj x 2 + y 2 д/x2 + У 2

Фіксуючи тепер x, знаходимо частинну похідну по y:

Приклад (логарифмічне диференціювання, або диференціювання за до­помоги попереднього логарифмування). Нехай задано функцію

y = )fx), ( 2 )

яка не є ні степеневою, ні показниковою (іноді її називають степенево-показни­ковою).

Прологарифмуємо ліву і праву частини рівності (2), а потім продиферен-ціюємо отриману рівність почленно (по аргументу x). Використовуючи правила диференціювання складеної функції і добутку, маємо:

Iny = ln(p(x))ф(x), Iny = ф(У)- In cp(x), (iny) = (x)- In cp(x)) , - y' = ^(x)) - lnp(x) + ф^^тр^)) V,

y

і y = ^{x)-in p(x) + Vflvix). y <P(x)

Помножаючи тепер обидві частини на

y = (p(x ))ф( x),

знаходимо y',

y' = V(x ))ф( x (ф^ )-in p(x ) + V\V (x )\ I p(x) J

Приклад. Застосуємо цей метод для диференціювання функції

y = xtan x.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1