2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 19

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Маємо послідовно

in y = in xtmx, ln y = tan x - ln x, (ln y) = (tan x - ln x) , - y' = (tan x) - ln x +

y

(.   \     ln x    tan x      ,      f ln x    tan x Л    tan x f ln x    tan x + tan x-(in x) =—— +-=> y' = y-\ —— +-1 = xtanx-\ —— +

cos x     x у cos x     x J у cos x x

Метод попереднього логарифмування можна застосовувати не тільки до степенево-показникових функцій вигляду (2), а і в багатьох інших випадках. Як приклад знайдемо цим методом похідну добутку трьох функцій

y = u - v - w,

яку ми вже знаходили в інший спосіб в п. 1.5. Маємо

iny = ln(u-v-w),   lny = lnu + lnv + lnw,   (lny) = (lnu) +(lnv) +(lnw) ,

1 1 ' 1 1 '    '   f 1 ' 1 1 '

y = u + v + w ,   y = y\— u + v + w y      u      v     w у u      v w

і    f 1 і 1 і 1   і і    і і

y = uvwl u + v + w I,   y = uvw + uvw + uvw . У uvw J

Для функцій декількох змінних існує безліч аналогічних формул. Одна з них дається наступною теоремою.

Теорема 2. Якщо функції

z = f (u, v), u = u(x, y), v = v(x, y) диференційовні, то існують частинні похідні складеної функції

z = f (u( ^ y X v( x,

які обчислюються за такими формулами:

dz    df du + df dv    dz    df du + df dv ( 3 )

dx   du dx   dv dx    dy   du dy   dv dy

Доведіть теорему самостійно за допомогою формули (16) з п. 2.1.4 і на­ступної схеми доведення:

А xz = v ) xu + fv(u, v ) xv + а- А xu + Р- А xV,

= f'(u, v) -      + f(u, v)-+ a-      + Р-, Ax Ax Ax Ax A= hm^- = fu(u, v)--+ fv(u, v)—.

dx   Ax^0 Ax dx dx

(P(x ))Ф( x),

Приклад. Знайти похідну степенево-показникової функції (2)

y

використовуючи формулу на кшталт (3). Введемо позначення

u = p(x), v = ф(\).

Тоді, перш за все,

v    dy        v-1     dy     v, y = u ,   = v-u   ,    = u lnu. du dv

Першу частинну похідну ми знаходимо як похідну степеневої функції (основа степеня - змінна, а показник степеня - фіксований), а другу - як похідну показ­никової функції (основа степеня - фіксована, а показник степеня - змінний). Тепер знаходимо похідну складеної функції двох змінних, а саме:

y' = ^-u' + ^-v' = v-uv-1 -u' + uv lnu-v' =

du dv

=     Mx))Ф(x)-1 - V(x)+ V(x))ф(x) lnp(x)-^(x) = = V(x ))ф( x L'(x)-lnp(x ) + M\-P'{x).

У p(x) J

Приклад. Знайти похідну функції

і \sin x

y = (cos x) ,

використовуючи правило диференціювання складеної функції декількох змін­них (без попереднього логарифмування). Послідовно маємо

u = cosx,   v = sin x,   y = uv,   y'u= vuv-\   y'v= uv ln u, y = yu-u + yv - v,  y = sin x(cos x)     - (- sin x) + (cos x)   lncos x - cos x =

(cos x )si

f sin2 xЛ

ln cos x - cos x

cos x j

Приклад. Записати формули для диференціювання складених функційу = f (x, p(x),ф^)), z = F(u(x), v(x), w(x)) ( 4 )

Відповідь.

У = dx + fV + f-V,    z' = FU-u' + Fl-v' + F'w-w\ ( 5 )

dx   dp dф

Приклад. Знайдімо ще в один спосіб похідну добутку трьох функцій

y = u - v- w.

Спочатку знаходимо частинні похідні функції по u, v, w :

y'u = v - W,     y'v = u - W,     y'w = u - v .

Тепер за допомоги другої з формул (5) маємо

t

yі = (u - v - w) = y'u - uі + y'v - vі + y'w - w' = uі - v - w + u - vі - w + u - v - w', тобто отримуємо той же самий результат, якій вже двічі мали вище.

2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій

А. Випадок неявної функції

Означення 1. Функція y = f (x) однієї змінної x єУі називається неяв­ною (або неявно заданою), якщо вона визначена рівнянням вигляду

F(x,y) = 0, ( 6 )

тобто рівнянням, яке не розв"язане відносно у.

Якщо з рівняння (6) можна знайти y = y(x), то функція y(x) перетворює

рівняння на тотожність

F (x, y(x )) = 0.

Приклад. Рівняння x2 + y2 = 1 визначає дві неявні функції

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1