2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Ua = Ua\{a}.

Зокрема, проколений є-окіл U'as точки a є об'єднанням двох інтервалів:

U'aє =(a - є, a)U (a, a + є). Аналогічні означення можна дати в n-вимірному просторі. Обмежимось випадком п = 2, тобто випадком Ж2 (площини х1Ох2).

Означення 11. Областю на площині називається точкова множина D сЖ2, яка задовольняє дві умови:

1) кожна точка х = (х1, х2) є D належить D разом з деяким колом з центром в цій точці; Рис. 3 2) кожні дві точки х = (х1, х2), у = (у1, у2) множини

D можна з"єднати якоюсь лінією /, яка цілком лежить в D (l a D) (рис. 3).

Приклад. Відкритий круг K(a, R) радіуса R з центром в точці a = (a1, a2) (круг без своєї границі, тобто без кола S (a, R)).

За аналогією до означень 9, 10 ми можемо дати

Означення 12. Околом Ua точки a = (a1, a2 )єЖ2 називається будь-яка область, яка містить цю точку (наприклад, відкритий круг K (a, R)).

Означення 13. Проколеним околом U'a точки a = (a1, a2 )єЖ2 назива­ється її окіл Ua без точки a, тобто множина     = Ua \ {a} (наприклад, проколе­ний круг K'(a, R) = K(a, R) \ {a}).

Дуже багато функцій (однієї і декількох змінних) розглядають в економі­ці, наприклад виробнича, пропозиційна і продуктивна функції, функції прибут­ку, витрат, вартості, попиту, корисності, втрат, ризику, збитків, ефектив-ності, банкрутства, втрати корисності, переваги, функція Кобба-Дугласа.

1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі А. Границя функції в точці

Розпочнімо з наступного прикладу.

Приклад. Нехай задано функцію однієї змінної (рис. 4)

f (х) = х2 - 9 х - 3

з областю визначення D(f) = (- да, 3)U (3, да), і нехай х прямує до числа 3 (тобто х 3). Ми бачимо (див. таблицю 1), що відповідні значення функції прямують до числа 6, f (х) 6. Цей факт ми фіксуємо наступними позначеннями

lim f ) = 6,   f ) 6 при х 3.

х 3

Ми повинні дати точне означення процесу прямування функції до числа.

Table 1

у = f (х) f )-6

Нехай х Ф 3, а є - довільне додатне число, яке ми можемо вважати як зав­годно малим. Розглянемо абсолютну величину різниці між довільними значен­нями функції і числом 6. Матимемо

2.94

2.96

2.98

3

3.02

3.04

3.06

5.94

5.96

5.98

Doesn't exist

6.02

6.04

6.06

0.06

0.04

0.02

 

0.02

0.04

0.06

f )-6 =

х2 - 9

- 6

= |(х + 3)- 6 = - 3 < є якщо - є< х - 3 < є,

х - 3 І

3 - є < х < 3 + є, х є (3 - є, 3 + є), х Ф 3 або х є (3 - є, 3)U (3, 3 + є).

Наприклад,

Границя функції 11 f (х)-6 < 0.01 (є = 0.01),

якщо х є (2.99, 3)U (3,3.01);

f(x)-6 <0.001 = 0.001), якщо х є (2.999, 3)U (3, 3.001) і х Ф 3.

Таким чином, для будь-якого додатного як завгодно малого числа є існує окіл точки х = 3, тобто інтервал U3 = (3 - є,3 + є) (U3 = (m, п) на рис. 4), такий, що для довільного х є D(f), що потрапляє в проколений окіл U3 точки х = 3, тобто х є U3 = (3 - є, 3 + є)\{3} = (3 - є, 3)U (3, 3 + є) = (m, 3)U (3, п), виконується нерівність

f (х)- 6 < є.

Сказане можна висловити символічно таким чином: Ує > 0,3U3 = (3 - є,3 + є), Vx є D(f): є U3 = (3 - є, 3)U (3, 3 + є) ^ f (х)-6 < є)

Це й є точне означення того факту, що границя нашої функції, якщо х прямує до 3, дорівнює 6, або, що те ж саме, функція прямує до числа 6, якщо її аргу-

мент х прямує до числа 3.

Нерівність f (х)-6 < є є еквівалентною наступним співвідношенням (нерівності та включенню)

6 - є < f )< 6 + є,   f ^,є =(6 - є,6 + є), що дозволяє висловити геометричний сенс того факту, що

Рис. 4 lim f ) = 6 (див рис. 4). Саме, якщо х належить проколено-

х 3

му околу

U3 =(m,3)U (3, п)

точки х = 3, то відповідні значення функції f (х) знаходяться в є -околі U точ­ки 6, а відповідна частина її графіка лежить в заштрихованій 2 є -смужці, обме­женій прямими

у = 6 - є, у = 6 + є.

На основі розглянутого прикладу ми в змозі дати загальне означення гра­ниці функції y = f (x), якщо x прямує до якоїсь точки a (або, як часто кажуть, границі функції в точці x = a). Функція може залежати як від однієї, так і від n змінних.

Означення 14. Число b називається границею функції y = f (x) при x a (границею функції в точці a), lim f (x) = b або f (x) b при x    a, якщо для

будь-якого додатного як завгодно малого числа є існує окіл Ua точки a такий, що для довільного значення x з області визначення D(f) функції, яке належить проколеному околу U'a точки a, виконується нерівність

f (x)- b\ < є,

або, що те ж саме, подвійна нерівність і включення

b - є < f(x)< b + є,   f(x)eUb^ =(b - є, b + є). Символічно,

lim f (x) = b,

якщо

\/є > 0, 3Ua, \/x є D(f): (x є U'a =*f (x)-b\ < є О ( b - є < f(x)< b + є)). Зауваження.

1) Точка a може належати або не належати області визначення D(f) фун­кції y = f (x). Тому в означенні границі фігурує проколе­ний окіл Ua точки a. Останній можна замінити простим околом Ua, якщо a є D(f).

2) У випадку функції декількох змінних означення границі передбачає можливість прямування x до точки a Рис. 5 вздовж будь-якого шляху, який повністю лежить всере-

дині області визначення функції.

3) У випадку n = 1, тобто для функції однієї змінної, неважко встановити геометричний сенс означення границі функції в точці a (рис. 5). Саме, для будь-якого є > 0 існує окіл Ua точки a (інтервал (m, n) на рис. 5) такий, що для всіхточок x є D(f), які потрапляють в проколений окіл U'a = (m, a) U (a, n) точки a, значення функції f (x) знаходяться в є -околі Ub є точки b, а відповідна частина її графіка лежить в заштрихованій 2 є -смузі між прямими y = b - є, y = b + є.

4) Означення границі в точці а для функції однієї змінної y = f (x) часто-густо дається в формі, дещо відмінній від викладеної. Саме, окіл Ua точки а припускається симетричним відносно точки. В такому разі його можна подати у вигляді інтервалу (a - S, a + S) довжини 25 і назвати S -околом точки a, UaS.

Оскільки

(x єuaS, x єu'aS )<=>( x - a < s, о < \x - a < S),

означення границі набуває однієї з двох форм:

lim f (x ) = b,

якщо

> 0, 38 > 0, //x є D(f): (x       S =>\ f (x)-b\ < є О ( b - є< f (x )< b + є)) або ж якщо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1