2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 20

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

y = ±лІ 1 - x2 , підстановка яких в рівняння дає тотожність

x2 + (±j 1 - x2 J = 1.

Теорема 3. Нехай:

1) функція F (x, y) в рівнянні (6) і її частинні по­хідні Fx', Fy визначені і неперервні в деякому околі

им0точки M 0 {х0, y0) (рис. 1);

2) F(M0) = F(x0, У0)= 0,

але

Рис. 1

Fy(M0) = Fy(x0, У00. Тоді рівняння (6) визначає єдину неявну функцію y = f (x) в певному околі U M0 С      точки M0. Ця функція є неперервною і диференційовною в

деякому околі (a, b) с 911 точки      а її графік проходить через точку M0 (тобто

f (x0 ) = y0).

Щоб знайти похідну неявної функції y = f (x), трактуватимемо рівняння (6) як тотожність (F (x, f (x)) = 0) і продиференціюємо його по x. Використову­ючи правило диференціювання складеної функції, отримаємо

(F(x, у)) x = 0, F'x - x'x + Fu - yx = 0, F'x-1 + Fu - y'x = 0, F'x-1 + Fu - y'x = 0,

f f

У = yx

F9 F9

У

( 7 )

В подальшому ми можемо, залежно від ситуації, застосовувати як форму­лу (7), так і метод, за допомоги якого її отримано.

Приклад. Знайти похідну функції, неявно заданої рівнянням

x2 + у2 = 7 xy + 6. Перший спосіб (за допомогою формули (7)). Тут функція

F(x, y)= + у2 - 7xy - 6, її частинні похідні по x і y дорівнюють

FU = 2x - 7 y, FU = 2 y - 7 x,

звідки за формулою (7), = - К = - 2x - 7y = 7y - 2x У      F;      2y - 7x   2y - 7x

Другій спосіб (безпосереднє знаходження похідної). Продиференціюємо задане рівняння по x, беручи до уваги, що змінна y є функцією від x:

(x2 + У 2) x =(7xy + 6) x ,2x + 2y y' = 7(x' ■ y + x y'),2x + 2y y' = 7y + 7x y'. Ми отримали лінійне рівняння відносно шуканої похідної y'. Розв"язуючи його, маємо

2y y' - 7x y' = 7y - 2x, (2y - 7x)^ y' = 7y - 2x, y' = 7   2*.

2 y - 7 x

Приклад. Скласти рівняння дотичних до кола x2 + y2 = 16, які проходять через точку A (0; 5).

Зауважмо, що точка A (0; 5) не лежить на колі. Розв"язок задачі можна по­дати в декілька кроків.

а) Взявши до уваги, що дотичні повинні проходити через точку A (0; 5), шукатимемо їх рівняння у вигляді

y - 5 = к(x - 0), або ж y - 5 = kx, де к - невідомі кутові коефіцієнти дотичних.

б) Диференціюємо обидві частини рівняння кола і знаходимо кутовий ко­ефіцієнт дотичної в довільній його точці M (x; у),

2 x + 2yy' = 0, y' = -x / y.

в) В спільних точках шуканих дотичних і кола повинні виконуватися умо­ви

y - 5 = kx, < x2 + y2 = 16, ^ к = -x / y,

які породжують систему рівнянь відносно к і координат точок дотику.

г) Немає потреби повністю розв"язувати систему, достатньо знайти з неї шукані значення к. Діємо наступним чином:х = -ky,

2 2

' + y =

[y - 5 = k (- ky);

k2y2 +    =       |y2(k2 +1) = 16,     y 2 (k 2 +1) = 16.

25 = 16 -(k2 +1); k2 = 3; k = ± — v      y       4 2

Отримали два значення k, і шуканими рівняннями дотичних будуть

y = 5 ± — х.

2

Приклад. Знайти кути, під якими перетинаються лінії

х2 + y2 = 8, y2 = 2 х.

Розв"язання.

а) Спочатку знаходимо точки перетину ліній (кола і параболи), розв"я-зуючи систему їх рівнянь,

Г  х2 + y2 = 8,      Г    y2 = 2х        Г х = 2, , ч

1  2        ,      ч   1  2 1 ^МП1(2;2),МП2(2; -2)

[y2 = 2х (х > 0);   [х2 + -8 = 0;   [y = ±2, }

b) Далі ми знаходимо кутові коефіцієнти дотичних до обох кривих в дові­льних їх точках. Знаходячи похідні функцій, заданих неявно, маємо

а) х2 + y2 = 8,2х + 2yy' = 0, y' = y| = -х;   b) y2 = 2х, 2yy' = 2, y' = y2 = -.

y y

c) В точці M01 (2;2) (х° = 2, = 2) кутові коефіцієнти дотичних до кривих дорівнюють

k1 = y1 0) = - = -2 = -l, k2 = y20) =   = 2,

y0 2 y0 2

і тому криві перетинаються тут під кутом, тангенс якого дорівнює

k2 - k1      1/2 - (-1) „

tana = -1-L = -L-= 3.

1 + k1k2    1 +1/2 - (-1)

d) В точці M02 (2;-2) криві перетинаються під кутом, для якого (перевір­те!)

tan ср2 = -3.

Досі йшлося про існування і диференційовність неявної функції однієї змінної x, визначеної рівнянням вигляду (6). Аналогічно можна вести розмову про існування і диференційовність неявної функції будь-якої кількості змінних, визначеної одним рівнянням, і навіть декількох неявних функцій, визначених системою рівнянь.

Обмежмось декількома словами щодо функції двох змінних

z = f (x, y ),

неявно визначеної рівнянням вигляду

_(x, y, z ) = 0. ( 8 )

Її частинні похідні по x і y знаходяться за формулами

,      Fx'( x, y, z)      ,      F'y( x, y, z) _ ) )

Zx = -F^r-7,   zy = -F}-7,   якщо   Fz(x,y,z) ф 0      ( 9 )

Fz (x, y, z) Fz (x, y, z)

Спробуйте довести ці формули самостійно! Вказівка.

(f (x, y, z)) x = о, f; xx + f; yx + f; zx = o, f> .1+ о+f; zx = o, f;+f; z; = o, z; = - f'x /f; ,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1