2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 21

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

і таким же чином для z'y.

Приклад. Знайти частинні похідні функції z = f (x, y), неявно визначеної рівнянням

cos(x2 + y3 + z4) = exyz.

Відповідно формулам (9) послідовно маємо

F(x, y, z) = exyz - cos(x2 + y3 + z4 )   F'x = yzexyz + 2xsin(x2 + y3 + z4 ) F; = xzexyz + 3y2 sin(x2 + y3 + z4 )   FZ = xyexyz + 4z3 sin(x2 + y3 + z4 ) 5z =    yzexyz + 2x sin(x2 + y3 + z4) 5z =   xzexyz + 3y 2 sin(x2 + y3 + z4) dx      xyexyz + 4z3 sin(x2 + y3 + z )' 5y ;~^y;T4Z3sin^^+^y3~+;4]

Б. Випадок оберненої функції

Теорема 4. Нехай функція y = / ( x ) однієї змінної задовольняє умови,про які йшлося у властивості 3 неперервних функцій (неперервність оберненої функції, п. 1.2.1 Б), і, крім того, є диференційовною. В цьому випадку обернена функція x = g (y) також диференційовна, а її похідну можна знайти за такою формулою:

x'v = g '(y ) = —"гт = ( 10 )

■Обидві функції y = f (х), х = g(y) є неперервними, отже якщо Ах — 0,

то Ay 0, і навпаки, якщо Ay 0, то Ах 0. Крім того, Ay Ф 0, якщо Ax Ф 0

і навпаки. Таким чином, ми отримуємо

,     ,     г    Ax           1         1 1 x = x v = lim= lim —— =--— = — .■

у   ay0 Ay   Ay—0 Ay    lim Ay ;X

Ax    Ax—0 Ax

Приклад. Похідні обернених тригонометричних функцій (arcsin x) , 1   г, (arccos x) = , 1    , (arctan x) = —-, (arc cot x)

Vl - x2 Vl - x2 1 + x2 1 + x2

■Нехай, наприклад, y = f (x) = arctan x і x = g(y) = tan y. На підставі (10)

11111

(arctan x) = y'x = =- = —-— =-- =-

xv    (tan y) y       1       1 + tan y   1 + x

cos2 y

Доведіть решту формул самостійно.

В. Випадок функції, заданої параметрично

Функцію y = f (x) однієї змінної x часто-густо можна задати парою рів­нянь

які містять допоміжну змінну (параметр) t. Такий спосіб задання функції нази­вається параметричним. Приклад. Рівняння

x = a cos t, y = b sin ля 0 < t < я визначають функцію, графіком якої є верхня частина еліпса (з пів­осями a, b); для я < t < 2я вони визначають функцію з графіком - нижньою ча­стиною того ж еліпса.

Приклад. Рівняння

визначають функцію, графіком якої є циклоїда.

Параметрично задану функцію можна подати у вигляді прямої залежності між x і у, якщо в рівняннях (11) одна з функцій x(t), y (t) має обернену. Нехай, наприклад, існує функція обернена функція t = t (x) для x = x(t). Тоді ми може­мо виразити змінну у як функцію безпосередньо від x, а саме у = y(t(x)).

Проте для знаходження похідної від параметрично заданої функції зовсім не обовзково виражати у (чи x) через x (відповідно через у).

Теорема 5. Якщо функції x = x(t), у =    ) параметричного представлен­ня (11) функції у = f (x) диференційовні, а функція x = x(t) має обернену, то функція у = f (x) має похідну, яка дається наступною формулою:

■Використовуючи правила диференціювання спочатку складеної, а потім оберненої функцій, маємо

x = a(t - sin t), у = a(1 - cos t)

( 12 )

у=ух=у\-tx=у;

і=^

Приклад. Написати рівняння дотичної і нормалі до еліпса

x = a cos t , у= = b sin t

в точці, для якої t = t0

3

Рівняння дотичної і нормалі ми шукаємо у вигляді

у - уо= у; (xoXx - xo)>   у - уо

lxo)

Алея     1 . л/3

x0 = cos t0 = cos — = —, у0 = sin t0 = sin— =-,

3     2 3 2

,/ \   у;    bcost      b ,r  \     b b     я bV3

у (x) = -*- =-:-=--cott, у x) =--cott0 =--cot— =---—,

x;    - a sin t     a a a     3      a 3

і шуканими рівняннями будуть такі:

V3     b V3 ,     К       V3     3a , 1

у - T = - ~aTix - iX у - T = bV3(x -

2.2.3. Похідні вищих порядків

Нехай у = f (x) є функцією однієї змінної, а у" = f" (x) - її похідна. Остан­ня є функцією від x, і ми можемо ставити питання про її диференціювання.

Означення 2. Похідна похідної функції однієї змінної називається похід­ною другого порядку (коротше - другою похідною) цієї функції і позначається

у "=у; 2 = 42у=f" (x)=fx2 (x)=d^=');=(f1 (x));=4- {]=4- (f' (x)).

dx2 x2 dx2 dx \ dx J dx

Аналогічно ми означаємо похідні третього, четвертого, n-го порядків (третю, четверту,..., n-ну похідні),

у - = " )" = f - (x), уІУ = у(4) = (у " )" = fIV (x) = f(4) (x),..., у(n) = (n= f(n) (x). Приклад. Нехай дано степеневу функцію

у = ax.

Тоді

у " = ax In a, у" = ax In2 a, у = ax In3 a, уш = у(4) = ax In4 a,..., у(n) = ax Inn a. Приклад. Нехай

у = sin x.

Тоді

у' = cos x = sin^x +1 • ^у " = - sin x = sin^x + 2 • ^у = - cos x = sin^x + 3 • я2 і загалому{n ) = (sin x )(n ) = sin ^ x + n •я

Аналогічно отримуємо для функції

у = cos x

у ' = (cosx)   = cosl x + n

Приклад. Знайти перші дві похідні функції, неявно заданої рівнянням

x2 + у3 = 4.

Розв"язання. Для знаходження похідної першого порядку скористаємося методом прямого диференціювання.

.2 f   2 1 о    і 2

2x    "=   2 (x) • у2 -x•(у2) =   2 1-у2 -x2уу'

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1