2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 22

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

2x + 3у2у" = 0, у' = -^, у" = -3 w  - ' =-3- 4

3 у 3 у

2x

у - 2 x --2 і -2- 3 2

2 у - 2xy"      2 ^  3у2 J_     3у2     _   2 3у3 + 4x2

3 у3 + 4 x2

3     у3 3 у3 у3 3 3у5

= 2 x2 + 3x2 + 3у3 = 2 x2 + 3(x2 + у3)= 2 x2 + 3• 4 = 2 x2 +12 = - 9 у5        "~ 9 у1        "~ 9     y^""~ 9 ^   у5 '

Приклад. Похідна другого порядку функції, заданої параметрично. Нехай

x = x(t), у = y(t). Подвійним застосуванням формули (12) ми отримуємо

= у = —, у " = у , =1 У I x =^-^— = -

у  = yx = у   = у = =

Таким чином,

у " = у'х = 4, у " = у'" 2 =(yx)" -     f (,Y xt     x xt      (xt )

(у ') t   у "2 x" - x "2 у" y ==  x"   =        )3     . ( 13 )

Приклад. Знайти першу і другу похідні параметрично заданої функції

x = a cos t, у = b sin t.,     ,    у"    (b sin t) t     b cos t b

y' = yX = 4 = j-V =-= -- cott,

xt    (a cos t) t   - a sin t a

(- ^ cot t 11 1

(a cos t)"t       a 2 sin31

Для функцій декількох змінних розглядають частинні похідні другого, третього, . порядків.

Нехай, наприклад, задано функцію двох змінних z = f (x, у). Для неї роз­глядають чотири частинні похідні другого порядку, а саме:

" = д2z = Э2Дху) = ( ,)    " = д2z = д2f(x,у) = ( ,)

x    dx        dx дхду дхду

= д2z 2f(х,у) = ( ,)'    " =5^ ^.f(х,у) = ( ,)' дудх      дудх      У2у)х, Zy2    ду2       ду2 lz^y

ух    дудх      дудх      Уу/ ' у     ду2       ду2 Частинні похідні z"y, zyx називаються мішаними. Приклад. Нехай

z = f (х, у ) = х 4 у6 + х 2 у5.

Тоді

z" = 4х4у6 + 2ху5, z' = 6х4у5 + 5х2у4,

z" 2 = (4х 4 у6 + 2ху5) х = 16х3 у6 + 2у5, z""y = (4х 4 у6 + 2ху5) у = 24х 4 у5 +10ху 4, zyx =(бх4у5 + 5х2у4) х = 24х3у5 + 10ху4, zy2 = (бх4у5 + 5х2у4) у = 30х4у4 + 20х2у3

Ми бачимо, що в цьому прикладі мішані частинні похідні другого поряд­ку виявилися рівними. Це є загальним фактом. Саме, справедливою є така

Теорема 6. Якщо мішані частинні похідні z"y, z"x неперервні в якійсь точ­ці, то вони в цій точці є рівними.

Z    = Z .

ху ух

Аналогічно означаються частинні похідні третього, четвертого, ..., n-го порядків і формулюється теорема про рівність відповідних мішаних похідних.

2.2.4. Диференціал

Означення 3. Нехай функція y = f (x) однієї змінної x диференційовна в точці x0, а отже її приріст в цій точці дається формулою

Ay = Af    ) = f (x) - f    ) = f    +Ax)- f    ) = f     )-Ax + a(Ax)-Ax, ( 14 ) де a = a(Ax) є нм при Ax — 0 (див. формулу (14) з п. 2.1.4). Вираз

f '(x0 )-Ax ( 15 )

називається диференціалом функції y = f (x) в точці x0. Якщо позначити його dy = df (x0), матимемо

dy = df(x0 ) = f '(x0 )-Ax. ( 16 )

Зокрема, для аргументу x функції за формулою (16) маємо

dx = x' -Ax = 1 - Ax = Ax, dx = Ax. Це означає, що диференціал незалежної змінної дорівнює його приросту, і ми можемо зобразити диференціал функції в його звичайному вигляді: dy = df x ) = f '(x0 )dx. ( 17 )

Приклад. Диференціал синуса y = sin x в до­вільній точці x дорівнює

dy = d (sin x) = (sin x) dx = cos xdx. Геометричний сенс диференціала ми можемо з"ясувати з рис. 1: dy = f '(x0 )-Ax = tana- M0 N = NT, тобто диференціал є приростом ординати дотичної до графіка функції в точці M0(y0), де, як звичайно, y0 = f ).

Поняття диференціала розглядають також для функцій декількох змінних. Означення 4. Нехай z = f (x, y) - функція двох незалежних змінних, ди­ференційовна в точці M 0 (x0, y0). В такому разі її повний приріст в цій точці да­ється формулою (16) з п. 2.1.4,

 

f

т

 

 

п

 

 

1/

Т

с

 

М

 

, АХ.

Я ъ

б

1

 

 

Рис. 1

 

Az = f (x0 +Ax, y0 + Ay)- f y0) = fx'(xo, y0) - Ax + fy(^ y0) - Ay + a-Ax + ^ - Ay, де a = a(Ax, Ay), (3 = ((Ax, Ay) - нескінченно малі функції при Ax 0, Ay 0. Диференціалом функції в точці M 0( x0, y0) називається (і відповідно позначає­ться) наступний вираз

dz = df(xo, y0 ) = fx (xo, y0)-Ax + fy (xo, y0)-Ay. ( 18 )

Зокрема, диференціали аргументів дорівнюють їх приростам, оскільки dx = x'x Ax + x'y -Ay = 1 - Ax + 0 - Ay = Ax, dy = y'x Ax + y' - Ay = 0 - Ax +1 - Ay = Ay.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1