2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

На цій підставі диференціал (18) можна записати у вигляді

dz = df ^ y0 ) = fx'(xo, y0) - dx + f'y (xo, y0) - dy. ( 19 )

Приклад. Знайти диференціал функції двох змінних z = f (x, y) = x3y2 в довільній точці (x, y).

Частинні похідні функції по x і по y відповідно дорівнюють fx'(x, y) = 3x2y2,   fy'(x, y) = 2x3y, а тому на підставі формули (19)

dz = df (x, y) = fx'(x, y) - dx + fy'(x, y) - dy = 3x2y2dx + 2x3ydy.

Властивості диференціала схожі з властивостями похідної. Саме, якщо u, v - дві диференційовні функції, то диференціали їх суми, різниці, добутку і частки дорівнюють

1. d(u ± v) = du ± dv. 2. d(u - v) = u - dv + v - du. 3. d(U 1 =

v - du - u - dv

v 2

Як наслідок маємо

d(Cu) = C - du (C - const), d\ 1 = - d^.

У v) v2

■Якщо, наприклад, u = u(x), v = v(x) - дві диференційовні функції однієї змінної, то диференціал їх добутку дорівнює

d(u - v) = (u - v) dx = vu 'dx + uv'dx = v - du + u - dv .■

Техніка диференціювання 88 4 (інваріантність, тобто незмінність форми диференціала). Диференціал функції має одну і ту ж форму незалежно від того, чи її аргументи є незалежни­ми змінними, чи вони є функціями інших незалежних змінних. ■Розглянемо дві типові ситуацій.

a) Якщо, наприклад,

y = f \ u = ф(ї),

тобто функція

У = f (<Ж))

є складеною функцією незалежної змінної , то за правилом диференціювання складеної функції і за формулою (17) маємо

dy = y't- dt = у'х x'(t)dt = f '(х)dx. Отже, диференціал функції дорівнює

dy = f' ~)dx

і отже має таку ж саму форму (17), яку б він мав, якби змінна х була незалеж­ною, а не функцією.

b) Нехай тепер

z = f (х, y),   х = х(и, v), y = y(u, v),

і в цьому випадку

z = f (х(и, v), y(u, v)) є складеною функцією двох незалежних змінних и і v. В наступних міркуваннях ми декілька разів використовуємо формулу (19), а також формули, схожі з фор-муламии (3) з п. 2.2.1. Маємо

dz = fu-du+fv-dv = (f' х'и + f; yu ) du + (f: х:+f; yv ) dv =

= f (Kdu + ^vdv)+ fy (y'udu + yvdv) = f'x (х, y+ f'y (х, y)dy,

dz = fl(x, y ^х+fy(x, y )dy.

Ми знов отримали диференціал в тій же самій формі, яку б він мав, якби х і y були не функціями, а незалежними змінними.^

Приклад. Знайти похідну функції y = f ), яку задано неявно рівняннямх3 = 3y .

Скориставшись тим, що ліва частина рівності залежить тільки від х, а права - тільки від y, візьмемо диференціали лівої і правої частин рівності. На підставі властивості 4 ми можемо це зробити, диференціюючи зліва по змінній х, а справа - по y, не замислюючись над тим, яка з змінних х, y є незалежною, а яка - функцією. Отже,

d3)= d(3y),   3'сіх = (3y)y ' dy,   3х2dx = 3y ln3dy,

t = dy = 3х2  = 31- ух 2 y = dx ~ 3y ln3 =  ln3 .

Міркування, подібні використаним, часто будуть застосовуватись пізніше

в так званому інтегральному численні.

Диференціали часто-густо застосовуються в наближених обчисленнях.

A) З одного боку ми можемо, наприклад, користуватися наближеними формулами:

f (х) = f (х0 +Ах )* f (х0) + df (х0 ) = f (х0)+ f' (х0 >Ах ( 20 )

для функцій однієї змінної і

f (x, y) = f 0 + Аx, y0 у) * f (xo, y0 ) + df 0, y0 ) =

= f (xo,y0)+ fx(xo,y0) Ах + fy(xo,y0)у ( 21 )

для функцій двох змінних.

B) З іншого боку, ми можемо для функції однієї змінної покласти

f (х) = f 0 + Ах)* f 0) ( 22 )

з абсолютною похибкою

5 = I f (х0 + Ах)- f (х0) * df (х0 ) = I f'(х0 )■     = I f'(х0 )|А^|.

Для функції двох змінних ми можемо покласти

f (x, y) = f 0 x, y0 + Ау) * f 0, y0) ( 23 )

з абсолютною похибкою

5 = If (x, y)- f      y0 ) * |df      y0 ) = І fx(xo, у0)Ах + fy (xo, у0)Ау| ^

< ІЛ'(о)\\Щ + IЛ'(^-УоAy| • Приклад. Нехай необхідно знайти наближене значення кореня

V8.003.

A) Беручи до уваги формулу (20), матимемо

f (x) = Vx, f '(x) = X, x0 = 8.000, Ax = 0.003, f (x0 + Ax) = Vx0 + Ax =

= V2.000 + 0.003 * f (x0) + f'(x0)Ax = V8.000 +   . 1      0.003 = 2 + 0.003 * 2.000

3V 8.0002 1 2

B) Використовуючи тепер формулу (22), отримаємо

f (x0 +Ax) = Vx0 +Ax = ^2.000 + 0.003 * f (x0) = ^8.000 « 2.000 з абсолютною похибкою

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1