2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 24

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

5 = I f'(x0)| Axl =    . 1      • 0.003 = 0.00025. 3V8.0002

Порівняймо цей результат з більш точним значенням кореня:

V8.003 « 2.000249969... .

Приклад. Знайти наближене значення величини 1.031.98.

A) За допомоги формули (21) маємо

f (x,y) = xy, f'(x,y) = yxy~\ f'y(x,y) = xy Inx, x0 = 1, У0 = 2, Ax = 0.03, Ay = -0.02, f (x0 + Ax, y0 + Ay) = x + Ax)y0+Ay = (1 + 0.03)2+(-0.02) - f (^, y,) + f'x (x0, y0)Ax +

+ f'y (x0,y0)Ay = 12 + 2 12-1 0.03 +12 ln1 (- 0.02) = 1 + 0.06 = 1.06.

B) Використовуючи тепер формулу (23), маємо

f (x0 + Ax,y0 + Ay) = (1 + 0.03)2+(-002) * f (x0,= 12 = 1.0 з абсолютною похибкою

5 < I f;(x0, У0^| A^l +1 f; (Я))! Ay I < 2 • 12-1 • 0.03 +12 ln1 • (- 0.02) = 0.06 < 0.1.

Означення 5. Диференціалом другого, третього,    n-го порядку функції називається диференціал її диференціала першого, другого, ... (n - 1)-го поряд­ку,

d2f = d(df), d3f = d(d2f )    dnf = d(d"~lf) ( 24 )

Якщо y = f (x) - функція однієї незалежної змінної x, то dx = Ax є довіль­ним приростом аргументу, а отже є довільною сталою. На цій підставі отриму­ємо диференціал функції другого порядку:

d 2 f (x) = d (df (x)) = d (f '(x)dx) = dx d (f '(x)) = dx f "(x)dx = f "(x )dx2.

Аналогічно ми доводимо, що

d3f (x) = f "'(x)dx3,dnf (x) = f{"\x)dxn. ( 25 )

Якщо z = f (x, y) є функцією двох незалежних змінних x, y, то dx = Ax, dy = Ay - довільні прирости арґументів і також є довільними сталими. Припус­каючи неперервність частинних похідних другого порядку функції (а отже рів­ність мішаних частинних похідних) отримаємо

d 2f (x, y) = d (df (x, y)) = d (f"dx + f' dy) = dx df" + dy df" = = dx (f'\ dx + f'dy) + dy (f'dx + f'\ dy )= f* dx2 + 2f"dxdy + f'\ dy2

d 2f (x, y) = f" dx2 + 2fxydxdy + f" dy2 = I 31 dx + 31 dy I f (x, y).     ( 26 )

' xy

y

д

д

dx

dy

Аналогічно

d3f(x,y) = f""dx3 + f"" dx2dy + f"' dxdy2 + f""dx3 =\— dx + — dy \ f(x,y)

xy

( д ,     d    >"

dx

dy

d"f (x,y) = \jxdx+dydyj f (x,y) ( 27 )

Формула (26) показує, що диференціал другого порядку функції двох змінних f (x, y) є квадратичною формою з матрицею

H

J yx      J y2 j

( 28 )

5 ,.8

Приклад. Знайти диференціал другого порядку функції z = x y Частинні похідні функції двох перших порядків дорівнюють

z'x = 5x4y8, zy = 8x5y\ z"xl = 20x3y8, z"xy = z"yx = 40x4y\ z"yl = 56x5y6,

і за формулою (26) отримуємо

d 2 z = 20x3 y sdx 2 + 80x 4 y 7 dxdy + 56 x5 y6 dy 2.

2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт

Нехай деякий напрям (або напрямок) l на площині xOy визначено оди­ничним вектором (ортом)

l° =(cosa, cos /З), ( 29 )

а точки М0(x0; y0), M(x; y) такі, що векторM00M є колінеарним вектору l°,

M0M tt l° (див. рис. 2).

Означення 6. Похідною функції двох змінних z = f) = f (x,y) в точці M0(x0; y0) за напрямом l називається (і відповідно позначається) така границя:

f (M0) = f (x0,y0) = lim f(M)-f(M0)    ( 30 )

dl 8l        M^M0      MM '

Зауваження. Крім вислову "за напрямом" можна Рис. 2 використовувати такі: за напрямком, в напрямі, в нап-

рямку.

Означення 7. Градієнтом функції двох змінних z = f (M) = f (x, y) в точ­ці M0(x0; y0) називається вектор

Теорема 7. Похідна функції z = f (M) = f (x, y) в точці M 0( x0; y0) за на­прямом l дорівнює скалярному добутку значення градієнта функції в цій точці і орта l° напряму l,

■Нехай

M

0M = t, а тому

M0M = t = (t cosa, t cos 3) = (x - x0, y - y0); x - x0 = t cos a, y - y0 = t cos 3; x = x0 +1 cosa, y = y0 +1 cos 3. Задану функцію f (M) = f (x, y) можна розглядати як функцію p(t) однієї змін­ної t, а саме:

f (M) = f (x, y) = f (x0 +1 cos a, y = y0 +1 cos /) = p(t)^ f (M0 ) = f     y0 ) = pp0). Формула (30) дає, що

^ = lim f(MtAM0) = limp(t)-p(0) = p(0),

8l      m    0      MM] t

і тому ми повинні знайти p (0). Але на підставі формули (3)

p(t) = f"(x, y)^x" + f"(x, y)^ y"= f"(x, y)cosa + f"(x y)cos 33 = = f"( x0 +1 cosa, y0 +1 cos 3) cosa + f"( x0 +1 cosa, y0 +1 cos/)cos 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1